'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カテゴリー（圏）の定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*K\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリーたち }\}\)
//
コンディションたち:
\(Obj (K) = \{\text{ ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }\}\).
\(\land\)
\(\forall O_1, O_2 \in Obj (K) (Mor (O_1, O_2) = \{f: O_1 \to O_2 \vert f \in \{\text{ 全てのシンプリシャルマップ（写像）たち }\}\})\).
\(\land\)
\(\forall O_1, O_2, O_3 \in Obj (K), \forall f_1 \in Mor (O_1, O_2), \forall f_2 \in Mor (O_2, O_3) (f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1)\).
//
2: 自然言語記述
以下を満たすカテゴリー\(K\)、つまり、\(Obj (K) = \{\text{ ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }\}\), \(\forall O_1, O_2 \in Obj (K) (Mor (O_1, O_2) = \{f: O_1 \to O_2 \vert f \in \{\text{ 全てのシンプリシャルマップ（写像）たち }\}\})\)、そして、\(\forall O_1, O_2, O_3 \in Obj (K), \forall f_1 \in Mor (O_1, O_2), \forall f_2 \in Mor (O_2, O_3) (f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1)\).
3: 注
"\(f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1\)"は当然のことに思えるかもしれないが、それは本当に意味がある、なぜなら、左辺内の\(\circ\)はモーフィズムたちのコンポジション（合成）である一方、右辺内の\(\circ\)はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）である、したがって、それが意味していることは、モーフィズムたちのコンポジション（合成）はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）であると定義されているということ、それは当然のことではない。
それは本当にカテゴリーである: 任意の\(f_1 \in Mor (O_1, O_2)\)、\(f_2 \in Mor (O_2, O_3)\)、\(f_3 \in Mor (O_3, O_4)\)に対して, 1) \(f_2 \circ f_1 \in Mor (O_1, O_3)\)、なぜなら、\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq Vert O_1\)が\(O_1\)内のあるシンプレックスをスパンする（張る）時、\(\{f_1 (p_0), ..., f_1 (p_n)\} \subseteq Vert O_2\)は\(O_2\)内のあるシンプレックスをスパンし（張り）、\(\{f_2 \circ f_1 (p_0), ..., f_2 \circ f_1 (p_n)\} \subseteq Vert O_3\)は\(O_3\)内のあるシンプレックスをスパンする（張る）; 2) 各オブジェクト\(O\)に対して、アイデンティティ（単位）モーフィズム\(id_O \in Mor (O, O)\)がアイデンティティマップ（恒等写像）\(id_0: Vert O \to Vert O\) としてある; 3) \(f_3 \circ (f_2 \circ f_1) = (f_3 \circ f_2) \circ f_1\)。
本定義は、シンプリシャルコンプレックスたちはファイナイト（有限）であるように要求する; その要求のないカテゴリーも可能である、しかし、私たちの直近の目的たちのためには、当該要求は何の問題も起こさず、その一方で、いくつかの面倒を省いてくれる。
