2024年6月2日日曜日

613: 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）

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'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義

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この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
∗K: ∈{ 全てのカテゴリーたち }
//

コンディションたち:
Obj(K)={ ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }.
∧
∀O1,O2∈Obj(K)(Mor(O1,O2)={f:O1→O2|f∈{ 全てのシンプリシャルマップ（写像）たち }}).
∧
∀O1,O2,O3∈Obj(K),∀f1∈Mor(O1,O2),∀f2∈Mor(O2,O3)(f2∘f1=f2∘f1).
//

2: 自然言語記述


以下を満たすカテゴリーK、つまり、Obj(K)={ ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }, ∀O1,O2∈Obj(K)(Mor(O1,O2)={f:O1→O2|f∈{ 全てのシンプリシャルマップ（写像）たち }})、そして、∀O1,O2,O3∈Obj(K),∀f1∈Mor(O1,O2),∀f2∈Mor(O2,O3)(f2∘f1=f2∘f1).

3: 注


"f2∘f1=f2∘f1"は当然のことに思えるかもしれないが、それは本当に意味がある、なぜなら、左辺内の∘はモーフィズムたちのコンポジション（合成）である一方、右辺内の∘はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）である、したがって、それが意味していることは、モーフィズムたちのコンポジション（合成）はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）であると定義されているということ、それは当然のことではない。

それは本当にカテゴリーである: 任意のf1∈Mor(O1,O2)、f2∈Mor(O2,O3)、f3∈Mor(O3,O4)に対して, 1) f2∘f1∈Mor(O1,O3)、なぜなら、{p0,...,pn}⊆VertO1がO1内のあるシンプレックスをスパンする（張る）時、{f1(p0),...,f1(pn)}⊆VertO2はO2内のあるシンプレックスをスパンし（張り）、{f2∘f1(p0),...,f2∘f1(pn)}⊆VertO3はO3内のあるシンプレックスをスパンする（張る）; 2) 各オブジェクトOに対して、アイデンティティ（単位）モーフィズムidO∈Mor(O,O)がアイデンティティマップ（恒等写像）id0:VertO→VertO としてある; 3) f3∘(f2∘f1)=(f3∘f2)∘f1。

本定義は、シンプリシャルコンプレックスたちはファイナイト（有限）であるように要求する; その要求のないカテゴリーも可能である、しかし、私たちの直近の目的たちのためには、当該要求は何の問題も起こさず、その一方で、いくつかの面倒を省いてくれる。

参考資料
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