614: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）$C^{\mathrm{\infty }}$アトラスの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）から任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_1\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_2\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$S_1$: $\in \{V_1\text{ 上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）全てのアファインまたはコンベックスセット（集合）たち }\}$, $\subseteq V_1$で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
$f$: $:S_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$.
//

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2: 自然言語記述

任意の$d_1$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_1$でカノニカル（自然な）トポロジーを」持つもの、任意の$d_2$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_2$でカノニカル（自然な）トポロジーを」持つもの、the affine or convex set spanned by any possibly non-affine-independent set of base points on $V_1$上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）$S_1$でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの、任意のアファインマップ（写像）$f:S_1\to V_2$に対して、$f$はコンティニュアス（連続）である。

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3: 証明

当該ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$\{p_0^{\prime },...,p_k^{\prime }\}\subseteq \{p_0,...,p_n\}$で、それによって当該アファインマップ（写像）が定義されているものがある、(リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義またはリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を参照）、そして、$f:\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{p}_j^{\prime }\mapsto \sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}f(p_j^{\prime })$。

私たちは、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を適用する。

$V_1$のあるベーシス（基底）$\{p_1^{\prime }-p_0^{\prime },...,p_k^{\prime }-p_0^{\prime },v_{k+1},...,v_{d_1}\}$およびカノニカル（自然な）チャート$(V_1\subseteq V_1,\varphi )$がある。今や、$V_1$は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）となり、$S_1$はそれのトポロジカルサブスペース（部分空間）である。

各$p\in S_1$に対して、$p=\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{p}_j^{\prime }=\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}(p_j^{\prime }-p_0^{\prime })+\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{p}_0^{\prime }=\sum _{j\in \{1,...,k\}}{t}^{\prime j}(p_j^{\prime }-p_0^{\prime })+p_0^{\prime }$。$\varphi (p)=(t^{\prime 1}+{p_0^{\prime }}^1,...,t^{\prime k}+{p_0^{\prime }}^k,{p_0^{\prime }}^{k+1},...,{p_0^{\prime }}^{d_1})$、ここで、$\varphi (p_0^{\prime })=({p_0^{\prime }}^1,...,{p_0^{\prime }}^{d_1})$。

$V_2$のあるベーシス（基底）$\{w_1,...,w_{d_2}\}$およびカノニカル（自然な）チャート$(V_2\subseteq V_2,\psi )$がある。今や、$V_2$は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である。

$\psi (\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}f(p_j^{\prime }))=(\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{q}_j^1,...,\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{q}_j^{d_2})$、ここで、$\psi (f(p_j^{\prime }))=(q_j^1,...,q_j^{d_2})$。

$f$の以下の拡張を考えよう、つまり、$f^{\prime }:V_1\to V_2,\sum _{j\in \{1,...,k\}}{t}^{\prime j}(p_j^{\prime }-p_0^{\prime })+p_0^{\prime }+\sum _{j\in \{k+1,...,d_1\}}{t}^{\prime j}{v}_j\mapsto \sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}f(p_j^{\prime })$、ここで、$t^{\prime j}$は$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$へ拡張される。$f$は本当に$f^{\prime }$の、ドメイン（定義域）$S_1$に関するリストリクション（制限）である。

$f^{\prime }$の当該チャートたちに関するコーディネート（座標）たちファンクション（関数）は、$\psi \circ f\circ {\varphi }^{-1}:{\mathbb{R}}^{d_1}\to {\mathbb{R}}^{d_2},(t^{\prime 1}+{p_0^{\prime }}^1,...,t^{\prime k}+{p_0^{\prime }}^k,t^{\prime k+1}+{p_0^{\prime }}^{k+1},...,t^{\prime d_1}+{p_0^{\prime }}^{d_1})\mapsto (\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{q}_j^1,...,\sum _{j\in \{0,...,k\}}{t}^{\prime j}{q_j}^{d_2})$; $t^{″j}:=t^{\prime j}+{p_0^{\prime }}^j$と取ると、それは、$(t^{″1},...,t^{″k},t^{″k+1},...,t^{″d_1})\mapsto (\sum _{j\in \{0,...,k\}}(t^{″j}-{p_0^{\prime }}^j){q_j}^1,...,\sum _{j\in \{0,...,k\}}(t^{″j}-{p_0^{\prime }}^j){q_j}^{d_2})$、それは、リニア（線形）であるからコンティニュアス（連続）である。すると、当該コーディネート（座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）$\psi \circ f\circ {\varphi }^{-1}{|}_{\varphi (V_1\cap S_1)}$もコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

したがって、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって、$f$はコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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