ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）から任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
\(S_1\): \(\in \{V_1 \text{ 上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）全てのアファインまたはコンベックスセット（集合）たち }\}\), \(\subseteq V_1\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(f\): \(:S_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのアファインマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\).
//
2: 自然言語記述
任意の\(d_1\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)でカノニカル（自然な）トポロジーを」持つもの、任意の\(d_2\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)でカノニカル（自然な）トポロジーを」持つもの、the affine or convex set spanned by any possibly non-affine-independent set of base points on \(V_1\)上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）\(S_1\)でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの、任意のアファインマップ（写像）\(f: S_1 \to V_2\)に対して、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
3: 証明
当該ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{p'_0, ..., p'_k\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)で、それによって当該アファインマップ（写像）が定義されているものがある、(リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義またはリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を参照）、そして、\(f: \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j p'_j \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j f (p'_j)\)。
私たちは、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を適用する。
\(V_1\)のあるベーシス（基底）\(\{p'_1 - p'_0, ..., p'_k - p'_0, v_{k + 1}, ..., v_{d_1}\}\)およびカノニカル（自然な）チャート\((V_1 \subseteq V_1, \phi)\)がある。今や、\(V_1\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）となり、\(S_1\)はそれのトポロジカルサブスペース（部分空間）である。
各\(p \in S_1\)に対して、\(p = \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j p'_j = \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j (p'_j - p'_0) + \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j p'_0 = \sum_{j \in \{1, ..., k\}} t'^j (p'_j - p'_0) + p'_0\)。\(\phi (p) = (t'^1 + {p'_0}^1, ..., t'^k + {p'_0}^k, {p'_0}^{k + 1}, ..., {p'_0}^{d_1})\)、ここで、\(\phi (p'_0) = ({p'_0}^1, ..., {p'_0}^{d_1})\)。
\(V_2\)のあるベーシス（基底）\(\{w_1, ..., w_{d_2}\}\)およびカノニカル（自然な）チャート\((V_2 \subseteq V_2, \psi)\)がある。今や、\(V_2\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である。
\(\psi (\sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j f (p'_j)) = (\sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j q_j^1, ..., \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j q_j^{d_2})\)、ここで、\(\psi (f (p'_j)) = (q_j^1, ..., q_j^{d_2})\)。
\(f\)の以下の拡張を考えよう、つまり、\(f': V_1 \to V_2, \sum_{j \in \{1, ..., k\}} t'^j (p'_j - p'_0) + p'_0 + \sum_{j \in \{k + 1, ..., d_1\}} t'^j v_j \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j f (p'_j)\)、ここで、\(t'^j\)は\((- \infty, \infty)\)へ拡張される。\(f\)は本当に\(f'\)の、ドメイン（定義域）\(S_1\)に関するリストリクション（制限）である。
\(f'\)の当該チャートたちに関するコーディネート（座標）たちファンクション（関数）は、\(\psi \circ f \circ {\phi}^{-1}: \mathbb{R}^{d_1} \to \mathbb{R}^{d_2}, (t'^1 + {p'_0}^1, ..., t'^k + {p'_0}^k, t'^{k + 1} + {p'_0}^{k + 1}, ..., t'^{d_1} + {p'_0}^{d_1}) \mapsto (\sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j q_j^1, ..., \sum_{j \in \{0, ..., k\}} t'^j {q_j}^{d_2})\); \(t''^j := t'^j + {p'_0}^j\)と取ると、それは、\((t''^1, ..., t''^k, t''^{k + 1}, ..., t''^{d_1}) \mapsto (\sum_{j \in \{0, ..., k\}} (t''^j - {p'_0}^j) {q_j}^1, ..., \sum_{j \in \{0, ..., k\}} (t''^j - {p'_0}^j) {q_j}^{d_2})\)、それは、リニア（線形）であるからコンティニュアス（連続）である。すると、当該コーディネート（座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）\(\psi \circ f \circ {\phi}^{-1} \vert_{\phi (V_1 \cap S_1)}\)もコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
したがって、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
