632: シンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上のポイントは、ユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にある

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シンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上のポイントは、ユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}$
$C$: $\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$|C|$: $=C\text{ のアンダーライイング（下にある）スペース }$
$p$: $\in |C|$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }!S\in C(p\in S^{\circ })$、ここで、$!$はユニークな存在を表わし、$\circ$はシンプレックスインテリア（内部）を表わす
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース$V$、$V$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C$、アンダーライイング（下にある）スペース$|C|$、任意のポイント$p\in |C|$に対して、以下を満たすあるユニークなシンプレックス$S\in C$、つまり、$p\in S^{\circ }$、がある。

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3: 注

任意のバーテックス（頂点）（それは、0シンプレックスである）のシンプレックスインテリア（内部）は、当該バーテックス（頂点）のみからなるセット（集合）である。したがって、"あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にある"というのは、バーテックス（頂点）であることを意味するかもしれない。

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4: 証明

$p\in |C|$は、ある$[p_0,...,p_n]\in C$に対して$p\in [p_0,...,p_n]$であることを含意する（そうしたシンプレックスたちが複数あるかもしれないが、それらの内の任意の1つを取り上げる）。$p=\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j$。$\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j=1$および$0\le t^j$であるから、サブセット（部分集合）$J=\{j\in \{0,...,n\}|0<t^j\}=\{j_0,...,j_k\}\subseteq \{0,...,n\}$がある。$S:=[p_{j_0},...,p_{j_k}]\in C$、そして、$p\in S^{\circ }$。したがって、$p$は、少なくとも1つのシンプレックス$S$のシンプレックスインテリア（内部）上にある。

$p$は、ある$S^{\prime }\in C$のシンプレックスインテリア（内部）上にもあると仮定しよう。

$p\in S^{\circ }\cap S^{\prime \circ }\subseteq S\cap S^{\prime }$。$S\cap S^{\prime }$は$S$のフェイスである。しかし、もしも、$S\cap S^{\prime }$が$S$のプロパー（真）フェイスであったら、$p\in S\cap S^{\prime }$は$S$のシンプレックスインテリア（内部）上にはいないであろう: シンプレックスインテリア（内部）$S^{\circ }$は、$S$マイナス全てのプロパー（真）フェイスたちである。したがって、$S\cap S^{\prime }=S$。同様に（対称性により）、$S\cap S^{\prime }=S^{\prime }$ 。したがって、$S=S^{\prime }$。

したがって、$p$はユニークなシンプレックス$S$のインテリア（内部）上にある。

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参考資料

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