シンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上のポイントは、ユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}\)
\(C\): \(\in \{V \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(\vert C \vert\): \(= C \text{ のアンダーライイング（下にある）スペース }\)
\(p\): \(\in \vert C \vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists ! S \in C (p \in S^\circ)\)、ここで、\(!\)はユニークな存在を表わし、\(\circ\)はシンプレックスインテリア（内部）を表わす
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース\(V\)、\(V\)上の任意のシンプリシャルコンプレックス\(C\)、アンダーライイング（下にある）スペース\(\vert C \vert\)、任意のポイント\(p \in \vert C \vert\)に対して、以下を満たすあるユニークなシンプレックス\(S \in C\)、つまり、\(p \in S^\circ\)、がある。
3: 注
任意のバーテックス（頂点）（それは、0シンプレックスである）のシンプレックスインテリア（内部）は、当該バーテックス（頂点）のみからなるセット（集合）である。したがって、"あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にある"というのは、バーテックス（頂点）であることを意味するかもしれない。
4: 証明
\(p \in \vert C \vert\)は、ある\([p_0, ..., p_n] \in C\)に対して\(p \in [p_0, ..., p_n]\)であることを含意する（そうしたシンプレックスたちが複数あるかもしれないが、それらの内の任意の1つを取り上げる）。\(p = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j\)。\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1\)および\(0 \le t^j\)であるから、サブセット（部分集合）\(J = \{j \in \{0, ..., n\} \vert 0 \lt t^j\} = \{j_0, ..., j_k\} \subseteq\{0, ..., n\}\)がある。\(S := [p_{j_0}, ..., p_{j_k}] \in C\)、そして、\(p \in S^\circ\)。したがって、\(p\)は、少なくとも1つのシンプレックス\(S\)のシンプレックスインテリア（内部）上にある。
\(p\)は、ある\(S' \in C\)のシンプレックスインテリア（内部）上にもあると仮定しよう。
\(p \in S^\circ \cap S'^\circ \subseteq S \cap S'\)。\(S \cap S'\)は\(S\)のフェイスである。しかし、もしも、\(S \cap S'\)が\(S\)のプロパー（真）フェイスであったら、\(p \in S \cap S'\)は\(S\)のシンプレックスインテリア（内部）上にはいないであろう: シンプレックスインテリア（内部）\(S^\circ\)は、\(S\)マイナス全てのプロパー（真）フェイスたちである。したがって、\(S \cap S' = S\)。同様に（対称性により）、\(S \cap S' = S'\) 。したがって、\(S = S'\)。
したがって、\(p\)はユニークなシンプレックス\(S\)のインテリア（内部）上にある。
