2024年6月16日日曜日

633: ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちはアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちはアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース
About: トポロジカルスペース

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちのセット（集合）はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈{ 全ての d′ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペースたち }
C: ∈{V 上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }
|C|: =C のアンダーライイング（下にある）スペース 
{st(p)|p∈Vert(S),S∈C}:
//

ステートメント（言明）たち:
{st(p)}∈{|C| の全てのオープンカバーたち（開被覆）たち }。
//

2: 自然言語記述


任意のd′ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペースV、V上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスC、アンダーライイング（下にある）スペース|C|に対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちのセット（集合）{st(p)|p∈Vert(S),S∈C}は|C|のオープンカバー（開被覆）である。

3: 証明


C={Sj|j∈J′}、ここで、J′はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、としよう。注意として、C内の要素たちの間に重複はない、なぜなら、Cはセット（集合）として定義されており、任意のセット（集合）は、定義上、重複を含まない。

st(p)は|C|上でオープン（開）であることを証明しよう。

st(p)=∪j∈JSj∘、ここで、J⊆J′、であるとしよう。

p′∈st(p)は任意のものであるとしよう。

p′∈Sk∘、ここで、k∈J、であるところ、SkはC内で唯一のそうしたシンプレックスである、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題によって。

j∈J′∖Jである各Sjに対して、p′∉Sj、なぜなら、そうでなければ、あるk∈Jに対してp′∈Sk∘∩Sj、そして、p′∈Sk∩Sj、しかし、Sk∩SjはSkのあるフェイスであるがSkのプロパー（真）フェイスではないであろう、なぜなら、p′はSkのどんなプロパー（真）フェイス上にもないであろう、したがって、Sk∩Sj=Sk、しかし、p∈Skであるので、p∈Sj、それが意味するのは、pはSjのバーテックス（頂点）であったということ、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、各シンプレックス（単体）の各バーテックス（頂点）で別のシンプレックス（単体）上にあるものは、後者シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）であるという命題によって、j∉Jに反する矛盾。

Sjは|C|上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって、ので、p′の|C|上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）Up′,j⊆|C|でUp′,j∩Sj=∅を満たすものがあり、Up′:=∩j∈J′∖JUp′,j⊆|C|はp′のオープンネイバーフッド（開近傍）である。これ以降に私たちがp′の|C|上のオープンネイバーフッド（開近傍）を取るときは、私たちは常にそれをUp′内に包含されているものとして取る、それは、当該ネイバーフッド（近傍）とUp′のインターセクション（共通集合）を取ることによって達成される。

p′=pであると仮定しよう。

{p}=Skおよびp′∈Sk∘=Sk、したがって、k≠lである各l∈Jに対してp′∉Sl∘。

l∈Jである各Slに対して、p′の|C|上のあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））Bp′,ϵl⊆|C|を取ろう。Bp′,ϵl∩Slのことを考えよう。Sl=[p′,p1,...,pn]で、任意のポイントp″∈Bp′,ϵl∩Slに対して、p″=(1−δ)p′+∑j∈{1,...,n}tjpj、ここで、1−δ+∑j∈{1,...,n}tj=1。ϵlが十分小さい時、p″は、Slの、st(p)に属するフェイスたちのインテリア（内部）たちのユニオン（和集合）の中にある、なぜなら、δ=0である時は、p″=p′、ここで、[p′]はSlのフェイス[p′]のインテリア（内部）であり、0<δ<1である時は、 もしも、tjたちの内の各々が0でなければ、p″はSlのインテリア（内部）の中にあり、もしも、tjたちの内のいくつかが0であれば、p″は、Slの、対応するバーテックス（頂点）たちが除かれたフェイスのインテリア（内部）内にあり、それらフェイスたちの内の各々はst(p)に属する、なぜなら、0<1−δであるから、当該フェイスはpを含む（例えば、t1のみが0である時は、[p″,p2,...,pn]は、Slの、st(p)に属するフェイスであり、p″=(1−δ)p″+∑j∈{2,...,n}tjpjは[p″,p2,...,pn]のインテリア（内部）内にある）。したがって、Bp′,ϵl∩Sl⊆st(p)。

Bp′,ϵ:=∩j∈JBp′,ϵj⊆|C|、p′の|C|上のあるオープンネイバー（開近傍）、を取ろう。Bp′,ϵ=Bp′,ϵ∩|C|=Bp′,ϵ∩(∪j∈JSj∪∪j∈J′∖JSj)=(Bp′,ϵ∩∪j∈JSj)∪(Bp′,ϵ∩∪j∈J′∖JSj)=Bp′,ϵ∩∪j∈JSj=∪j∈J(Bp′,ϵ∩Sj)⊆∪j∈J(Bp′,ϵj∩Sj)⊆∪j∈Jst(p)=st(p)。

p′≠pであると仮定しよう。

あるk∈Jに対してp′∈Sk∘。

p′の|C|上の以下を満たすあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））Bp′,ϵk⊆|C|、つまり、Bp′,ϵk∩Sk⊆Sk∘、を取ろう、それは、可能である、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題によって（SkはVのサブスペースである一方、それは、|C|のサブスペースでもある、なぜなら、|C|はVのサブスペースである、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって）。したがって、Bp′,ϵk∩Sk⊆Sk∘⊆st(p)。

l∈Jかつk≠lである各Slに対して、p′∉Slまたはp′∈Sl。

p′∉Slである時は、p′の|C|上の以下を満たすあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））Bp′,ϵl⊆|C|、つまり、Bp′,ϵl∩Sl=∅、を取ろう、それは可能である、なぜなら、Slは|C|上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって。したがって、Bp′,ϵl∩Sl⊆st(p)。

p′∈Slである時は、p′の|C|上のあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））Bp′,ϵl⊆|C|を取ろう。Bp′,ϵl∩Slのことを考えよう。Sl=[p,p1,...,pn]で、p′はSlのあるプロパー（真）フェイス上にある、なぜなら、p′∉Sl∘、それが意味するのは、p′=t′0p+∑j∈{1,...,n}t′jpj、ここで、t′0+∑j∈{1,...,n}t′j=1、に対して、t′jたちの内のいくつかは0であるが0<t′0、なぜなら、p′∈Sk∘（Skを[p,p1′,...,pm′]と表記して、p′∈Sk∩Sl、しかし、Sk∩SlはSkのフェイスである、それは、Skのプロパー（真）フェイスではない、したがって、Sk∩Sl=Sk、それは、Slのフェイスである、それが意味するのは、p′=t″0p+∑j∈{1,...,m}t″jpm′であるところ、pj′は実のところSlのバーテックス（頂点）であり、したがって、p′=t″0p+∑j∈{1,...,m}t″jpm′はSlのバーテックス（頂点）たちに関するコンベックスコンビネーションであり、当該コンベックスコンビネーションはユニークであるから、t′jたちは対応するt″jたちに等しく、特に、t″0=t′0、しかし、0<t″0、なぜなら、p′∈Sk∘）。任意のポイントp″∈Bp′,ϵl∩Slに対して、p″=(t′0+δ0)p+∑j∈{1,...,n}(t′j+δj)pj、ここで、t′0+δ0+∑j∈{1,...,n}(t′j+δj)=1。ϵlが十分小さい時は、0<t′0+δ0で、もしも、t′j+δjたちの内の各々が0でなければ、p″∈Sl∘、そして、もしも、t′j+δjたちの内のいくつかが0であれば、p″は、Slの、対応するバーテックス（頂点）たちが除かれたst(p)に属するフェイスのインテリア（内部）上にある。したがって、Bp′,ϵl∩Sl⊆st(p)。

Bp′,ϵ:=∩j∈JBp′,ϵj⊆|C|、p′の|C|上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）を取ろう。Bp′,ϵ=Bp′,ϵ∩|C|=Bp′,ϵ∩(∪j∈JSj∪∪j∈J′∖JSj)=(Bp′,ϵ∩∪j∈JSj)∪(Bp′,ϵ∩∪j∈J′∖JSj)=Bp′,ϵ∩∪j∈JSj=∪j∈J(Bp′,ϵ∩Sj)⊆∪j∈J(Bp′,ϵj∩Sj)⊆∪j∈Jst(p)=st(p)。

したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、st(p)は|C|上でオープン（開）である。

{st(p)}は|C|をカバーすることを証明しよう。

各p′∈|C|に対して、p′はC内のあるシンプレックスのインテリア（内部）上にある、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題によって。当該シンプレックスは少なくとも1つのバーテックス（頂点）pを持ち、p′∈st(p)。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: