ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちはアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース
About: トポロジカルスペース
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点）のスターの定義を知っている。
- 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、各シンプレックス（単体）の各バーテックス（頂点）で別のシンプレックス（単体）上にあるものは、後者シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちのセット（集合）はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}\)
\(C\): \(\in \{V \text{ 上の全てのファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(\vert C \vert\): \(= C \text{ のアンダーライイング（下にある）スペース }\)
\(\{st (p) \vert p \in Vert (S), S \in C\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{st (p)\} \in \{\vert C \vert \text{ の全てのオープンカバーたち（開被覆）たち }\}\)。
//
2: 自然言語記述
任意の\(d'\)ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース\(V\)、\(V\)上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックス\(C\)、アンダーライイング（下にある）スペース\(\vert C \vert\)に対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちのセット（集合）\(\{st (p) \vert p \in Vert (S), S \in C\}\)は\(\vert C \vert\)のオープンカバー（開被覆）である。
3: 証明
\(C = \{S_j \vert j \in J'\}\)、ここで、\(J'\)はファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、としよう。注意として、\(C\)内の要素たちの間に重複はない、なぜなら、\(C\)はセット（集合）として定義されており、任意のセット（集合）は、定義上、重複を含まない。
\(st (p)\)は\(\vert C \vert\)上でオープン（開）であることを証明しよう。
\(st (p) = \cup_{j \in J} S_j^\circ\)、ここで、\(J \subseteq J'\)、であるとしよう。
\(p' \in st (p)\)は任意のものであるとしよう。
\(p' \in S_k^\circ\)、ここで、\(k \in J\)、であるところ、\(S_k\)は\(C\)内で唯一のそうしたシンプレックスである、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題によって。
\(j \in J' \setminus J\)である各\(S_j\)に対して、\(p' \notin S_j\)、なぜなら、そうでなければ、ある\(k \in J\)に対して\(p' \in S_k^\circ \cap S_j\)、そして、\(p' \in S_k \cap S_j\)、しかし、\(S_k \cap S_j\)は\(S_k\)のあるフェイスであるが\(S_k\)のプロパー（真）フェイスではないであろう、なぜなら、\(p'\)は\(S_k\)のどんなプロパー（真）フェイス上にもないであろう、したがって、\(S_k \cap S_j = S_k\)、しかし、\(p \in S_k\)であるので、\(p \in S_j\)、それが意味するのは、\(p\)は\(S_j\)のバーテックス（頂点）であったということ、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、各シンプレックス（単体）の各バーテックス（頂点）で別のシンプレックス（単体）上にあるものは、後者シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）であるという命題によって、\(j \notin J\)に反する矛盾。
\(S_j\)は\(\vert C \vert\)上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって、ので、\(p'\)の\(\vert C \vert\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p', j} \subseteq \vert C \vert\)で\(U_{p', j} \cap S_j = \emptyset\)を満たすものがあり、\(U_{p'} := \cap_{j \in J' \setminus J} U_{p', j} \subseteq \vert C \vert\)は\(p'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。これ以降に私たちが\(p'\)の\(\vert C \vert\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）を取るときは、私たちは常にそれを\(U_{p'}\)内に包含されているものとして取る、それは、当該ネイバーフッド（近傍）と\(U_{p'}\)のインターセクション（共通集合）を取ることによって達成される。
\(p' = p\)であると仮定しよう。
\(\{p\} = S_k\)および\(p' \in S_k^\circ = S_k\)、したがって、\(k \neq l\)である各\(l \in J\)に対して\(p' \notin S_l^\circ\)。
\(l \in J\)である各\(S_l\)に対して、\(p'\)の\(\vert C \vert\)上のあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））\(B_{p', \epsilon_l} \subseteq \vert C \vert\)を取ろう。\(B_{p', \epsilon_l} \cap S_l\)のことを考えよう。\(S_l = [p', p_1, ..., p_n]\)で、任意のポイント\(p'' \in B_{p', \epsilon_l} \cap S_l\)に対して、\(p'' = (1 - \delta) p' + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j p_j\)、ここで、\(1 - \delta + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j = 1\)。\(\epsilon_l\)が十分小さい時、\(p''\)は、\(S_l\)の、\(st (p)\)に属するフェイスたちのインテリア（内部）たちのユニオン（和集合）の中にある、なぜなら、\(\delta = 0\)である時は、\(p'' = p'\)、ここで、\([p']\)は\(S_l\)のフェイス\([p']\)のインテリア（内部）であり、\(0 \lt \delta \lt 1\)である時は、 もしも、\(t^j\)たちの内の各々が\(0\)でなければ、\(p''\)は\(S_l\)のインテリア（内部）の中にあり、もしも、\(t^j\)たちの内のいくつかが\(0\)であれば、\(p''\)は、\(S_l\)の、対応するバーテックス（頂点）たちが除かれたフェイスのインテリア（内部）内にあり、それらフェイスたちの内の各々は\(st (p)\)に属する、なぜなら、\(0 \lt 1 - \delta\)であるから、当該フェイスは\(p\)を含む（例えば、\(t^1\)のみが\(0\)である時は、\([p'', p_2, ..., p_n]\)は、\(S_l\)の、\(st (p)\)に属するフェイスであり、\(p'' = (1 - \delta) p'' + \sum_{j \in \{2, ..., n\}} t^j p_j\)は\([p'', p_2, ..., p_n]\)のインテリア（内部）内にある）。したがって、\(B_{p', \epsilon_l} \cap S_l \subseteq st (p)\)。
\(B_{p', \epsilon} := \cap_{j \in J} B_{p', \epsilon_j} \subseteq \vert C \vert\)、\(p'\)の\(\vert C \vert\)上のあるオープンネイバー（開近傍）、を取ろう。\(B_{p', \epsilon} = B_{p', \epsilon} \cap \vert C \vert = B_{p', \epsilon} \cap (\cup_{j \in J} S_j \cup \cup_{j \in J' \setminus J} S_j) = (B_{p', \epsilon} \cap \cup_{j \in J} S_j) \cup (B_{p', \epsilon} \cap \cup_{j \in J' \setminus J} S_j) = B_{p', \epsilon} \cap \cup_{j \in J} S_j = \cup_{j \in J} (B_{p', \epsilon} \cap S_j) \subseteq \cup_{j \in J} (B_{p', \epsilon_j} \cap S_j) \subseteq \cup_{j \in J} st (p) = st (p)\)。
\(p' \neq p\)であると仮定しよう。
ある\(k \in J\)に対して\(p' \in S_k^\circ\)。
\(p'\)の\(\vert C \vert\)上の以下を満たすあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））\(B_{p', \epsilon_k} \subseteq \vert C \vert\)、つまり、\(B_{p', \epsilon_k} \cap S_k \subseteq S_k^\circ\)、を取ろう、それは、可能である、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題によって（\(S_k\)は\(V\)のサブスペースである一方、それは、\(\vert C \vert\)のサブスペースでもある、なぜなら、\(\vert C \vert\)は\(V\)のサブスペースである、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって）。したがって、\(B_{p', \epsilon_k} \cap S_k \subseteq S_k^\circ \subseteq st (p)\)。
\(l \in J\)かつ\(k \neq l\)である各\(S_l\)に対して、\(p' \notin S_l\)または\(p' \in S_l\)。
\(p' \notin S_l\)である時は、\(p'\)の\(\vert C \vert\)上の以下を満たすあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））\(B_{p', \epsilon_l} \subseteq \vert C \vert\)、つまり、\(B_{p', \epsilon_l} \cap S_l = \emptyset\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(S_l\)は\(\vert C \vert\)上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって。したがって、\(B_{p', \epsilon_l} \cap S_l \subseteq st (p)\)。
\(p' \in S_l\)である時は、\(p'\)の\(\vert C \vert\)上のあるオープンボール（開球）（したがって、あるオープンネイバーフッド（開近傍））\(B_{p', \epsilon_l} \subseteq \vert C \vert\)を取ろう。\(B_{p', \epsilon_l} \cap S_l\)のことを考えよう。\(S_l = [p, p_1, ..., p_n]\)で、\(p'\)は\(S_l\)のあるプロパー（真）フェイス上にある、なぜなら、\(p' \notin S_l^\circ\)、それが意味するのは、\(p' = t'^0 p + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t'^j p_j\)、ここで、\(t'^0 + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t'^j = 1\)、に対して、\(t'^j\)たちの内のいくつかは\(0\)であるが\(0 \lt t'^0\)、なぜなら、\(p' \in S_k^\circ\)（\(S_k\)を\([p, p'_1, ..., p'_m]\)と表記して、\(p' \in S_k \cap S_l\)、しかし、\(S_k \cap S_l\)は\(S_k\)のフェイスである、それは、\(S_k\)のプロパー（真）フェイスではない、したがって、\(S_k \cap S_l = S_k\)、それは、\(S_l\)のフェイスである、それが意味するのは、\(p' = t''^0 p + \sum_{j \in \{1, ..., m\}} t''^j p'_m\)であるところ、\(p'_j\)は実のところ\(S_l\)のバーテックス（頂点）であり、したがって、\(p' = t''^0 p + \sum_{j \in \{1, ..., m\}} t''^j p'_m\)は\(S_l\)のバーテックス（頂点）たちに関するコンベックスコンビネーションであり、当該コンベックスコンビネーションはユニークであるから、\(t'^j\)たちは対応する\(t''^j\)たちに等しく、特に、\(t''^0 = t'^0\)、しかし、\(0 \lt t''^0\)、なぜなら、\(p' \in S_k^\circ\)）。任意のポイント\(p'' \in B_{p', \epsilon_l} \cap S_l\)に対して、\(p'' = (t'^0 + \delta_0) p + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t'^j + \delta_j) p_j\)、ここで、\(t'^0 + \delta_0 + \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t'^j + \delta_j) = 1\)。\(\epsilon_l\)が十分小さい時は、\(0 \lt t'^0 + \delta_0\)で、もしも、\(t'^j + \delta_j\)たちの内の各々が\(0\)でなければ、\(p'' \in S_l^\circ\)、そして、もしも、\(t'^j + \delta_j\)たちの内のいくつかが\(0\)であれば、\(p''\)は、\(S_l\)の、対応するバーテックス（頂点）たちが除かれた\(st (p)\)に属するフェイスのインテリア（内部）上にある。したがって、\(B_{p', \epsilon_l} \cap S_l \subseteq st (p)\)。
\(B_{p', \epsilon} := \cap_{j \in J} B_{p', \epsilon_j} \subseteq \vert C \vert\)、\(p'\)の\(\vert C \vert\)上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）を取ろう。\(B_{p', \epsilon} = B_{p', \epsilon} \cap \vert C \vert = B_{p', \epsilon} \cap (\cup_{j \in J} S_j \cup \cup_{j \in J' \setminus J} S_j) = (B_{p', \epsilon} \cap \cup_{j \in J} S_j) \cup (B_{p', \epsilon} \cap \cup_{j \in J' \setminus J} S_j) = B_{p', \epsilon} \cap \cup_{j \in J} S_j = \cup_{j \in J} (B_{p', \epsilon} \cap S_j) \subseteq \cup_{j \in J} (B_{p', \epsilon_j} \cap S_j) \subseteq \cup_{j \in J} st (p) = st (p)\)。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(st (p)\)は\(\vert C \vert\)上でオープン（開）である。
\(\{st (p)\}\)は\(\vert C \vert\)をカバーすることを証明しよう。
各\(p' \in \vert C \vert\)に対して、\(p'\)は\(C\)内のあるシンプレックスのインテリア（内部）上にある、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上の任意のポイントは、あるユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあるという命題によって。当該シンプレックスは少なくとも1つのバーテックス（頂点）\(p\)を持ち、\(p' \in st (p)\)。
