\(Top^*\)カテゴリー（圏）の定義
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カテゴリーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(Top^*\)カテゴリー（圏）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*Top^*\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリーたち }\}\)
//
コンディションたち:
\(Obj (Top^*) = \{\text{ トポロジカルスペース（空間）と当該スペース（空間）上の任意のポイントの全てのペアたち }\}\).
\(\land\)
\(\forall O_1 = (T_1, p_1), O_2 = (T_2, p_2) \in Obj (Top^*) (Mor (O_1, O_2) = \{f: T_1 \to T_2 \vert f \in \text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 } f (p_1) = p_2\})\)。
\(\land\)
\(\forall O_1 = (T_1, p_1), O_2 = (T_2, p_2), O_3 = (T_3, p_3) \in Obj (Top^*), \forall f_1 \in Mor (O_1, O_2), \forall f_2 \in Mor (O_2, O_3) (f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1)\)。
//
2: 自然言語記述
以下を満たすカテゴリー\(Top^*\)、つまり、\(Obj (Top^*) = \{\text{ トポロジカルスペース（空間）と当該スペース（空間）上の任意のポイントの全てのペアたち }\}\)、\(\forall O_1 = (T_1, p_1), O_2 = (T_2, p_2) \in Obj (Top^*) (Mor (O_1, O_2) = \{f: T_1 \to T_2 \vert f \in \text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 } f (p_1) = p_2\})\), and \(\forall O_1 = (T_1, p_1), O_2 = (T_2, p_2), O_3 = (T_3, p_3) \in Obj (Top^*), \forall f_1 \in Mor (O_1, O_2), \forall f_2 \in Mor (O_2, O_3) (f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1)\)
3: 注
"\(f_2 \circ f_1 = f_2 \circ f_1\)"は当然のことに思えるかもしれないが、左辺内の\(\circ\)はモーフィズムたちのコンポジション（合成）である一方、右辺内の\(\circ\)はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）である、したがって、それが意味していることは、モーフィズムたちのコンポジション（合成）はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）であると定義されているということ、それは当然のことではない。
