610: Top2カテゴリー（圏）

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$To{p}^2$カテゴリー（圏）の定義

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話題

About: カテゴリー

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、カテゴリーの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$To{p}^2$カテゴリー（圏）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\ast To{p}^2$: $\in \{\text{ 全てのカテゴリーたち }\}$
//

コンディションたち:
$Obj(To{p}^2)=\{\text{ トポロジカルスペース（空間）と当該スペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）の全てのペアたち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }{O}_1=(T_1^{\prime },T_1),O_2=(T_2^{\prime },T_2)\in Obj(To{p}^2)(Mor(O_1,O_2)=\{f:T_1^{\prime }\to T_2^{\prime }|f\in \{\text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 }f(T_1)\subseteq T_2\}\})$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }{O}_1=(T_1^{\prime },T_1),O_2=(T_2^{\prime },T_2),O_3=(T_3^{\prime },T_3)\in Obj(To{p}^2),\mathrm{\forall }{f}_1\in Mor(O_1,O_2),\mathrm{\forall }{f}_2\in Mor(O_2,O_3)(f_2\circ f_1=f_2\circ f_1)$.
//

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2: 自然言語記述

以下を満たすカテゴリー$To{p}^2$、つまり、$Obj(To{p}^2)=\{\text{ トポロジカルスペース（空間）と当該スペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）の全てのペアたち }\}$、$\mathrm{\forall }{O}_1=(T_1^{\prime },T_1),O_2=(T_2^{\prime },T_2)\in Obj(To{p}^2)(Mor(O_1,O_2)=\{f:T_1^{\prime }\to T_2^{\prime }|f\in \{\text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 }f(T_1)\subseteq T_2\}\})$、そして、$\mathrm{\forall }{O}_1=(T_1^{\prime },T_1),O_2=(T_2^{\prime },T_2),O_3=(T_3^{\prime },T_3)\in Obj(To{p}^2),\mathrm{\forall }{f}_1\in Mor(O_1,O_2),\mathrm{\forall }{f}_2\in Mor(O_2,O_3)(f_2\circ f_1=f_2\circ f_1)$

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3: 注

"$f_2\circ f_1=f_2\circ f_1$"は当然のことに思えるかもしれないが、左辺内の$\circ$はモーフィズムたちのコンポジション（合成）である一方、右辺内の$\circ$はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）である、したがって、それが意味していることは、モーフィズムたちのコンポジション（合成）はマップ（写像）たちのコンポジション（合成）であると定義されているということ、それは当然のことではない。

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参考資料

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