バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(p\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(p \in \{M \text{ のインテリア（内部）ポイントたち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists (B_p \subseteq M, \phi_p) \in \{p \text{ の周りの } M \text{ 上の全てのチャートたち }\} (\phi_p (B_p) = \mathbb{R}^d)\)
)
\(\land\)
(
\(p \in \{M \text{ の全てのバウンダリー（境界）ポイントたち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists (H_p \subseteq M, \phi_p) \in \{p \text{ の周りの } M \text{ 上の全てのチャートたち } \} (\phi_p (H_p) = \mathbb{H}^d)\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意の\(p \in M\)に対して、もしも、\(p\)が\(M\)の任意のインテリア（内部）ポイントである場合、\(p\)の周りに以下を満たすあるチャート\((B_p \subseteq M, \phi_p)\)、つまり、\(\phi_p (B_p) = \mathbb{R}^d\)、がある、そして、もしも、\(p\)は\(M\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである場合、\(p\)の周りに以下を満たすあるチャート\((H_p \subseteq M, \phi_p)\)、つまり、\(\phi_p (H_p) = \mathbb{H}^d\)、がある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p\)は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定し、\(p\)の周りの、\(B_p\)をチャートボールとする任意のチャート\((B_p \subseteq M, \phi_p)\)を取る; ステップ2: ディフェオモーフィズム\(f\)、当該チャートレンジ（値域）オープンボール（開球）から当該ユークリディアンスペース（空間）の上へ、を取る; ステップ3: チャートを\((B_p \subseteq M, f \circ \phi_p)\)として取る; ステップ4: \(p\)は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定し、\(p\)の周りの、\(H_p\)をチャートハーフボール（半球）とする任意のチャート\((H_p \subseteq M, \phi_p)\)を取る; ステップ5: ディフェオモーフィズム\(g\)、チャートレンジ（値域）オープンハーフボール（半球）から当該ハーフユークリディアンスペース（空間）の上への、を取る; ステップ6: チャートを\((H_p \subseteq M, g \circ \phi_p)\)として取る。
ステップ1:
\(p\)は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定しよう。
\(p\)の周りの、\(B_p\)をチャートボールとする任意のチャート\((B_p \subseteq M, \phi_p)\)を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題によって。\(\phi_p (B_p) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_p (p)\)の周りのオープンボール（開球）である。
ステップ2:
ディフェオモーフィズム\(f: \phi_p (B_p) \to \mathbb{R}^d\)を取ろう、それは可能である、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題によって。
ステップ3:
チャート\((B_p \subseteq M, f \circ \phi_p)\)を取ろう、それは本当にチャートである、なぜなら、\(f \circ \phi_p (B_p) = \mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である; \(f \circ \phi_p: B_p \to \mathbb{R}^d\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である; チャートたちトランジション（遷移）\(f \circ \phi_p \circ {\phi_p}^{-1}: \phi_p (B_p) \to \mathbb{R}^d\)は\(f\)、それはディフェオモーフィックである。
ステップ4:
\(p\)は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定しよう。
\(p\)の周りの、\(H_p\)をチャートハーフボールとする任意のチャート\((H_p \subseteq M, \phi_p)\)を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題によって。\(\phi_p (H_p) \subseteq \mathbb{H}^d\)は\(\phi_p (p)\)の周りのオープンハーフボール（開半球である。
ステップ5:
ディフェオモーフィズム\(g: \phi_p (H_p) \to \mathbb{H}^d\)を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題によって。
ステップ6:
チャート\((H_p \subseteq M, g \circ \phi_p)\)を取る、それは実際にチャートである、なぜなら、\(g \circ \phi_p (H_p) = \mathbb{H}^d\)は\(\mathbb{H}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である; \(g \circ \phi_p: H_p \to \mathbb{H}^d\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である; そして、チャートたちトランジション（遷移）\(g \circ \phi_p \circ {\phi_p}^{-1}: \phi_p (H_p) \to \mathbb{H}^d\)は\(g\)であり、それはディフェオモーフィックである。
