707: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持つ

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持つことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題を認めている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$p$: $\in M$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$p\in \{M\text{ のインテリア（内部）ポイントたち }\}$
$⟹$
$\mathrm{\exists }(B_p\subseteq M,{\varphi }_p)\in \{p\text{ の周りの }M\text{ 上の全てのチャートたち }\}({\varphi }_p(B_p)={\mathbb{R}}^d)$
)
$\wedge$
(
$p\in \{M\text{ の全てのバウンダリー（境界）ポイントたち }\}$
$⟹$
$\mathrm{\exists }(H_p\subseteq M,{\varphi }_p)\in \{p\text{ の周りの }M\text{ 上の全てのチャートたち }\}({\varphi }_p(H_p)={\mathbb{H}}^d)$
)
//

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2: 自然言語記述

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意の$p\in M$に対して、もしも、$p$が$M$の任意のインテリア（内部）ポイントである場合、$p$の周りに以下を満たすあるチャート$(B_p\subseteq M,{\varphi }_p)$、つまり、${\varphi }_p(B_p)={\mathbb{R}}^d$、がある、そして、もしも、$p$は$M$の任意のバウンダリー（境界）ポイントである場合、$p$の周りに以下を満たすあるチャート$(H_p\subseteq M,{\varphi }_p)$、つまり、${\varphi }_p(H_p)={\mathbb{H}}^d$、がある。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p$は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定し、$p$の周りの、$B_p$をチャートボールとする任意のチャート$(B_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取る; ステップ2: ディフェオモーフィズム$f$、当該チャートレンジ（値域）オープンボール（開球）から当該ユークリディアンスペース（空間）の上へ、を取る; ステップ3: チャートを$(B_p\subseteq M,f\circ {\varphi }_p)$として取る; ステップ4: $p$は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定し、$p$の周りの、$H_p$をチャートハーフボール（半球）とする任意のチャート$(H_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取る; ステップ5: ディフェオモーフィズム$g$、チャートレンジ（値域）オープンハーフボール（半球）から当該ハーフユークリディアンスペース（空間）の上への、を取る; ステップ6: チャートを$(H_p\subseteq M,g\circ {\varphi }_p)$として取る。

ステップ1:

$p$は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定しよう。

$p$の周りの、$B_p$をチャートボールとする任意のチャート$(B_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題によって。${\varphi }_p(B_p)\subseteq {\mathbb{R}}^d$は${\varphi }_p(p)$の周りのオープンボール（開球）である。

ステップ2:

ディフェオモーフィズム$f:{\varphi }_p(B_p)\to {\mathbb{R}}^d$を取ろう、それは可能である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題によって。

ステップ3:

チャート$(B_p\subseteq M,f\circ {\varphi }_p)$を取ろう、それは本当にチャートである、なぜなら、$f\circ {\varphi }_p(B_p)={\mathbb{R}}^d$は${\mathbb{R}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）である; $f\circ {\varphi }_p:B_p\to {\mathbb{R}}^d$はホメオモーフィック（位相同形写像）である; チャートたちトランジション（遷移）$f\circ {\varphi }_p\circ {{\varphi }_p}^{-1}:{\varphi }_p(B_p)\to {\mathbb{R}}^d$は$f$、それはディフェオモーフィックである。

ステップ4:

$p$は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定しよう。

$p$の周りの、$H_p$をチャートハーフボールとする任意のチャート$(H_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題によって。${\varphi }_p(H_p)\subseteq {\mathbb{H}}^d$は${\varphi }_p(p)$の周りのオープンハーフボール（開半球である。

ステップ5:

ディフェオモーフィズム$g:{\varphi }_p(H_p)\to {\mathbb{H}}^d$を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題によって。

ステップ6:

チャート$(H_p\subseteq M,g\circ {\varphi }_p)$を取る、それは実際にチャートである、なぜなら、$g\circ {\varphi }_p(H_p)={\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{H}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）である; $g\circ {\varphi }_p:H_p\to {\mathbb{H}}^d$はホメオモーフィック（位相同形写像）である; そして、チャートたちトランジション（遷移）$g\circ {\varphi }_p\circ {{\varphi }_p}^{-1}:{\varphi }_p(H_p)\to {\mathbb{H}}^d$は$g$であり、それはディフェオモーフィックである。

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参考資料

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