バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、オープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{H}^d\): \(= \text{ 当該バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(p\): \(\in Bou (\mathbb{H}^d)\)、ここで、\(Bou (\mathbb{H}^d)\)は、\(\mathbb{H}^d\)のマニフォールド（多様体）バウンダリー（境界）を表わす
\(H_{p, \epsilon}\): \(= p \text{ の周りの } \mathbb{H}^d \text{ 上のオープンハーフボール（開半球） }\)
\(g\): \(: H_{p, \epsilon} \to \mathbb{H}^d, p' \mapsto (p' - p) / \sqrt{\epsilon^2 - \Vert p' - p \Vert^2}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(H_{p, \epsilon} \cong_g \mathbb{H}^d\)、ここで、\(\cong_g\)は、\(g\)によってディフェオモーフィックであることを表わす
//
2: 自然言語記述
当該バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{H}^d\)、任意の\(p \in Bou (\mathbb{H}^d)\)の周りの任意のオープンハーフボール（開半球）、ここで、\(Bou (\mathbb{H}^d)\)は、\(\mathbb{H}^d\)のマニフォールド（多様体）バウンダリー（境界）を表わす、に対して、\(H_{p, \epsilon} \subseteq \mathbb{H}^d\)は\(\mathbb{H}^d\)へディフェオモーフィックである、\(g: H_{p, \epsilon} \to \mathbb{H}^d, p' \mapsto (p' - p) / \sqrt{\epsilon^2 - \Vert p' - p \Vert^2}\)によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g\)は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題内に挙げられた\(f\)のリストリクション（制限）であることを見る; ステップ2: \(\mathbb{H}^d\)上のアイデンティティ（恒等）チャート, \((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)を取る; ステップ3: \(id \circ g \circ id^{-1} \vert_{id (H_{p, \epsilon})}: id (H_{p, \epsilon}) \to id (\mathbb{H}^d)\)は\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f: B_{p, \epsilon} \to \mathbb{R}^d\)を持つことを見る; ステップ4: \(id \circ g^{-1} id^{-1}: id (\mathbb{H}^d) \to id (\mathbb{H}^d)\)は\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(f^{-1}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)を持つことを見る。
ステップ1:
\(g\)は本当に任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題内に挙げられた\(f\)のリストリクション（制限）である。
それが含意するのは、\(g\)はインジェクティブ（単射）であること; サージェクティブ（全射）性は明らかである: \(p\)の\(d\)番目コンポーネントはゼロであるところ、各\(p'' \in \mathbb{H}^d\)に対して、ある\(p' \in B_{p, \epsilon}\)で\(f (p') = p''\)を満たすものがある、しかし、\(p''\)の\(d\)番目コンポーネントは非負なので、\(p'\)の\(d\)番目コンポーネントは非負である、それが意味するのは、\(p' \in H_{p, \epsilon}\)。
したがって、インバース（逆）\(g^{-1}: \mathbb{H}^d \to H_{p, \epsilon}\)がある。
ステップ2:
アイデンティティ（恒等）チャート\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)を取ろう。
ステップ3:
\(g\)の\(C^\infty\)性は、\(id \circ g \circ id^{-1} \vert_{id (H_{p, \epsilon})}: id (H_{p, \epsilon}) \to id (\mathbb{H}^d)\)がある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）を持つかどうかである、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義によると。しかし、\(f: B_{p, \epsilon} \to \mathbb{R}^d\)は実際にそういうエクステンション（拡張）である。
したがって、\(g\)は\(C^\infty\)である。
ステップ4:
\(g^{-1}\)の\(C^\infty\)性は、\(id \circ g^{-1} \circ id^{-1}: id (\mathbb{H}^d) \to id (\mathbb{H}^d)\)がある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）を持つかどうかである、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含むによると。しかし、\(f^{-1}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)は実際にそういうエクステンション（拡張）である: \(f^{-1}\)は本当は\(f^{-1}: \mathbb{R}^d \to B_{p, \epsilon}\)であるが、当該コドメイン（余域）は何の害もなく拡張できる。
したがって、\(g^{-1}\)は\(C^\infty\)である。
