706: バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）に対して、オープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックである

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バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、オープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{H}}^d$: $=\text{ 当該バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$p$: $\in Bou({\mathbb{H}}^d)$、ここで、$Bou({\mathbb{H}}^d)$は、${\mathbb{H}}^d$のマニフォールド（多様体）バウンダリー（境界）を表わす
$H_{p,ϵ}$: $=p\text{ の周りの }{\mathbb{H}}^d\text{ 上のオープンハーフボール（開半球） }$
$g$: $:H_{p,ϵ}\to {\mathbb{H}}^d,p^{\prime }\mapsto (p^{\prime }-p)/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2}$
//

ステートメント（言明）たち:
$H_{p,ϵ}{\cong }_g{\mathbb{H}}^d$、ここで、${\cong }_g$は、$g$によってディフェオモーフィックであることを表わす
//

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2: 自然言語記述

当該バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{H}}^d$、任意の$p\in Bou({\mathbb{H}}^d)$の周りの任意のオープンハーフボール（開半球）、ここで、$Bou({\mathbb{H}}^d)$は、${\mathbb{H}}^d$のマニフォールド（多様体）バウンダリー（境界）を表わす、に対して、$H_{p,ϵ}\subseteq {\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{H}}^d$へディフェオモーフィックである、$g:H_{p,ϵ}\to {\mathbb{H}}^d,p^{\prime }\mapsto (p^{\prime }-p)/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2}$によって。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $g$は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題内に挙げられた$f$のリストリクション（制限）であることを見る; ステップ2: ${\mathbb{H}}^d$上のアイデンティティ（恒等）チャート, $({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$を取る; ステップ3: $id\circ g\circ i{d}^{-1}{|}_{id(H_{p,ϵ})}:id(H_{p,ϵ})\to id({\mathbb{H}}^d)$は$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）$f:B_{p,ϵ}\to {\mathbb{R}}^d$を持つことを見る; ステップ4: $id\circ g^{-1}i{d}^{-1}:id({\mathbb{H}}^d)\to id({\mathbb{H}}^d)$は$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）$f^{-1}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$を持つことを見る。

ステップ1:

$g$は本当に任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題内に挙げられた$f$のリストリクション（制限）である。

それが含意するのは、$g$はインジェクティブ（単射）であること; サージェクティブ（全射）性は明らかである: $p$の$d$番目コンポーネントはゼロであるところ、各$p^{″}\in {\mathbb{H}}^d$に対して、ある$p^{\prime }\in B_{p,ϵ}$で$f(p^{\prime })=p^{″}$を満たすものがある、しかし、$p^{″}$の$d$番目コンポーネントは非負なので、$p^{\prime }$の$d$番目コンポーネントは非負である、それが意味するのは、$p^{\prime }\in H_{p,ϵ}$。

したがって、インバース（逆）$g^{-1}:{\mathbb{H}}^d\to H_{p,ϵ}$がある。

ステップ2:

アイデンティティ（恒等）チャート$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$を取ろう。

ステップ3:

$g$の$C^{\mathrm{\infty }}$性は、$id\circ g\circ i{d}^{-1}{|}_{id(H_{p,ϵ})}:id(H_{p,ϵ})\to id({\mathbb{H}}^d)$がある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）を持つかどうかである、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によると。しかし、$f:B_{p,ϵ}\to {\mathbb{R}}^d$は実際にそういうエクステンション（拡張）である。

したがって、$g$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ4:

$g^{-1}$の$C^{\mathrm{\infty }}$性は、$id\circ g^{-1}\circ i{d}^{-1}:id({\mathbb{H}}^d)\to id({\mathbb{H}}^d)$がある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）を持つかどうかである、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含むによると。しかし、$f^{-1}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$は実際にそういうエクステンション（拡張）である: $f^{-1}$は本当は$f^{-1}:{\mathbb{R}}^d\to B_{p,ϵ}$であるが、当該コドメイン（余域）は何の害もなく拡張できる。

したがって、$g^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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