705: ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）に対して、オープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックである

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、オープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
• 読者は、$d_1$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、$d_2$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意のゼロにならない$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものは、$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のオープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$B_{p,ϵ}$: $=p\text{ の周りの }{\mathbb{R}}^d\text{ 上のオープンボール（開球） }$
$f$: $:B_{p,ϵ}\to {\mathbb{R}}^d,p^{\prime }\mapsto (p^{\prime }-p)/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2}$
//

ステートメント（言明）たち:
$B_{p,ϵ}{\cong }_f{\mathbb{R}}^d$、ここで、${\cong }_f$は、$f$によってディフェオモーフィックであることを表わす
//

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2: 自然言語記述

当該ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^d$に対して、任意の$p\in {\mathbb{R}}^d$の周りの任意のオープンボール（開球）$B_{p,ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^d$は${\mathbb{R}}^d$へディフェオモーフィックである、$f:B_{p,ϵ}\to {\mathbb{R}}^d,p^{\prime }\mapsto (p^{\prime }-p)/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2}$によって。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ: $f$のインバース（逆）を得る; Step 3: $f$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ4: $f^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る。

$f$はウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、$B_{p,ϵ}$上で$0<{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2$。

ステップ1:

$f$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

$p^{\prime },p^{″}\in B_{p,ϵ}$は、$p^{\prime }\ne p^{″}$である任意のものたちであるとしよう。

2つのケースたちがある: ケース1: $\Vert p^{\prime }-p\Vert \ne \Vert p^{″}-p\Vert$; ケース2: $\Vert p^{\prime }-p\Vert =\Vert p^{″}-p\Vert$。

ケース1のことを考えよう。

$\Vert (p^{\prime }-p)/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2}{\Vert }^2=\Vert (p^{\prime }-p){\Vert }^2/({ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2)=1/({ϵ}^2/\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2-1)$。同様に、$\Vert (p^{″}-p)/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{″}-p{\Vert }^2}{\Vert }^2=1/({ϵ}^2/\Vert p^{″}-p{\Vert }^2-1)$。明らかに、$1/({ϵ}^2/\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2-1)\ne 1/({ϵ}^2/\Vert p^{″}-p{\Vert }^2-1)$、それが意味するのは、$\Vert f(p^{\prime }){\Vert }^2\ne \Vert f(p^{″}){\Vert }^2$、それが含意するのは、$f(p^{\prime })\ne f(p^{″})$。

ケース2のことを考えよう。

$p^{\prime }-p$と$p^{″}-p$の方向たちは異なる。したがって、$f(p^{\prime })$と$f(p^{″})$の方向たちは異なる。したがって、$f(p^{\prime })\ne f(p^{″})$。

したがって、$f$はインジェクティブ（単射）である。

$f$はサージェクティブ（全射）であることを見よう。

$p^{″}\in {\mathbb{R}}^d$は任意のものであるとしよう。ある$p^{\prime }\in B_{p,ϵ}$で、$f(p^{\prime })=p^{″}$を満たすものがあることを見よう。

$p^{\prime }:=(p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2})ϵ+p$であるとしょう。$f(p^{\prime })=(p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2})ϵ/\sqrt{{ϵ}^2-\Vert (p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2})ϵ{\Vert }^2}=p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2}ϵ/\sqrt{{ϵ}^2-(\Vert p^{″}{\Vert }^2/(1+\Vert p^{″}{\Vert }^2)){ϵ}^2}=p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2}ϵ/\sqrt{({ϵ}^2+{ϵ}^2\Vert p^{″}{\Vert }^2-{ϵ}^2\Vert p^{″}{\Vert }^2)/(1+\Vert p^{″}{\Vert }^2)}=p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2}ϵ/\sqrt{{ϵ}^2/(1+\Vert p^{″}{\Vert }^2)}=p^{″}$。

ステップ2:

ステップ1によって、$f^{-1}:p^{″}\mapsto (p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2})ϵ+p$。

ステップ3:

$f$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

$p^{\prime }-p$は明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$である。

${ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2$は明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$g:x\mapsto \sqrt{x}$は$\mathbb{R}/\{0\}$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$dg/dx=1/2x^{-1/2}$、$d^{2}g/d{x}^2=1/2(-1/2)x^{-3/2}$、...、$x\ne 0$であるところ。

したがって、コンポジション（合成）$\sqrt{{ϵ}^2-\Vert p^{\prime }-p{\Vert }^2}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、$f$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、$d_1$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、$d_2$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意のゼロにならない$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものは、$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

ステップ4:

$f^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

$p^{″}ϵ$は明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$1+\Vert p^{″}{\Vert }^2$は明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$g:x\mapsto \sqrt{x}$は$\mathbb{R}/\{0\}$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、前と同様に。

したがって、コンポジション（合成）$\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$p^{″}/\sqrt{1+\Vert p^{″}{\Vert }^2}ϵ$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、$d_1$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、$d_2$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意のゼロにならない$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものは、$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

$f^{-1}$は明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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