708: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）からC∞マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）中へのマップ（写像）でポイントにおいてCkであるものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するCkエクステンション（拡張）がある

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）から$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関する$C^k$エクステンション（拡張）があることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全てのバウンダリー（境界）付き }{d}_1\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全てのバウンダリー（境界）付き }{d}_2\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$S_1$: $\subseteq M_1$
$S_2$: $\subseteq M_2$
$p$: $\in S_1$
$f$: $:S_1\to S_2$, $\in \{\text{ 全ての }\text{ マップ（写像）たちで }p\text{ において }{C}^k\text{ であるものたち }\}$、ここで、$k\in (\mathbb{N}\setminus \{0\})\cup \{\mathrm{\infty }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{U}_p\in \{p\text{ の }{M}_1\text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\},\mathrm{\exists }{U}_{f(p)}\in \{f(p)\text{ の }{M}_2\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\},\mathrm{\exists }\tilde{f}:U_p\to U_{f(p)}\in \{\text{ 全ての }{C}^k\text{ マップ（写像）たち }\}(\tilde{f}{|}_{U_p\cap S_1}=f{|}_{U_p\cap S_1})$
//

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2: 自然言語記述

任意のバウンダリー（境界）付き$d_1$ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M_1$、任意の$d_2$ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_1\subseteq M_1$、任意のサブセット（部分集合）$S_2\subseteq M_2$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のマップ（写像）で$p$において$C^k$であるもの、ここで、$k\in (\mathbb{N}\setminus \{0\})\cup \{\mathrm{\infty }\}$、$f:S_1\to S_2$に対して、$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_1$、$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq M_2$、以下を満たすある$C^k$マップ（写像）$\tilde{f}:U_p\to U_{f(p)}$、つまり、$\tilde{f}{|}_{U_p\cap S_1}=f{|}_{U_p\cap S_1}$、がある。

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3: 注

$M_2$はバウンダリー（境界）無しである、それは本命題のために必要である、それが、本命題の結論が、'バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む'の定義として採用できない理由である。

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4: 証明

全体戦略: $C^k$性の定義は、$M_1$上のあるチャートがおよび$M_2$上のあるチャートおよびコーディネート（座標）たちファンクション（関数）のある$C^k$エクステンション（拡張）$f^{\prime }$があるという問題であるが、$\tilde{f}$は$f^{\prime }$に基づいて構成される、しかし、そのためには、当該チャートたちは特別に選ばれる必要がある; ステップ1: $p$の周りのあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$、$f(p)$の周りのあるチャート$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）のある$C^k$エクステンション（拡張）$f^{\prime }:U_{{\varphi }_p^{\prime }(p)}\to {\mathbb{R}}^{d_2}$を取る、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって、${\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})={\mathbb{R}}^{d_2}$および${\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime })\subseteq U_{{\varphi }_p^{\prime }(p)}$であるという条件たちを持って; ステップ2: $U_p:=U_p^{\prime }$および$\tilde{f}:U_p\to U_{f(p)}:={{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ f^{\prime }\circ {\varphi }_p^{\prime }$と定義する; ステップ3: $\tilde{f}$は必要な条件たちを満足することを見る。

ステップ1:

以下を満たすあるチャート$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$、つまり、${\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})={\mathbb{R}}^{d_2}$、がある、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題によって。

$U_{f(p)}\cap S_2$は$f(p)$の$S_2$上のオープンネイバーフッド（開近傍）であるが、$f$は$p$においてコンティニュアス（連続）である、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義に対する"注"内に記述されている通り、ので、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\cap S_1\subseteq S_1$、つまり、$f(U_p^{″}\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}\cap S_2\subseteq U_{f(p)}$、がある。以下を満たすあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$、つまり、$U_p^{\prime }\subseteq U_p^{″}$、がある。$f(U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq f(U_p^{″}\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}$。

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$と$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$のペアは当該定義の条件を満たす。

さらに、$U_p^{\prime }$を、${\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime })\subseteq U_{{\varphi }_p^{\prime }(p)}$であるように取ろう、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義内に記述されているとおり。

これで、私たちは、当該コーディネート（座標）たちファンクション（関数）のある$C^k$エクステンション（拡張）$f^{\prime }:U_{{\varphi }_p^{\prime }(p)}\to {\mathbb{R}}^{d_2}$を持つ。

ステップ2:

$U_p:=U_p^{\prime }$および$\tilde{f}:U_p\to U_{f(p)}:={{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ f^{\prime }\circ {\varphi }_p^{\prime }$を定義しよう、それは妥当である、なぜなら。${\varphi }_p^{\prime }$のドメイン（定義域）は$U_p$である、${\varphi }_p^{\prime }$のコドメイン（余域）${\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime })$は$f^{\prime }$のドメイン（定義域）$U_{{\varphi }_p^{\prime }(p)}$内に包含されている、$f^{\prime }$のコドメイン（余域）${\mathbb{R}}^{d_2}$は${{\varphi }_{f(p)}}^{-1}$のドメイン（定義域）${\mathbb{R}}^{d_2}$内に包含されている、${{\varphi }_{f(p)}}^{-1}$のコドメイン（余域）は$U_{f(p)}$である。

ステップ3:

$\tilde{f}$は$C^k$マップ（写像）であることを見よう。

各$p^{\prime }\in U_p^{\prime }$に対して、チャートたち$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$を取ろう。

$\tilde{f}(U_p^{\prime }\cap U_p^{\prime })\subseteq U_{f(p)}$。

${\varphi }_{f(p)}\circ \tilde{f}\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}:{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap U_p^{\prime })\to {\mathbb{R}}^{d_2}$ is $={\varphi }_{f(p)}\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ f^{\prime }\circ {\varphi }_p^{\prime }\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}=f^{\prime }$、それは$C^k$である。

$\tilde{f}{|}_{U_p\cap S_1}=f{|}_{U_p\cap S_1}$であることを見よう。

$\tilde{f}{|}_{U_p\cap S_1}={{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ f^{\prime }\circ {\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p\cap S_1}={{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ {\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p\cap S_1)}\circ {\varphi }_p^{\prime }{|}_{U_p\cap S_1}$、なぜなら、$f^{\prime }$は$f^{\prime }{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p\cap S_1)}={\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p\cap S_1)}$を満足するように選ばれている、したがって、$=f{|}_{U_p\cap S_1}$。

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参考資料

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