ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\lnot \exists B \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} (d \lt \vert B \vert)\)、ここで、\(\vert B \vert\)は\(B\)のカーディナリティ（濃度）を表わす
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)に対して、カーディナリティ（濃度）が\(d\)より大きい\(V\)のベーシス（基底）\(B\)はない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(d\)カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）を取る; ステップ2: \(d\)より大きな任意のカーディナリティ（濃度）を持つ任意の他ベーシス（基底）を仮定する; ステップ3: ある矛盾を見つける: その他のベーシス（基底）は実はベーシス（基底）ではなかった。
ステップ1:
ディメンション（次元）は当該スペース（空間）の全ベーシス（基底）たちのミニマム（最小）カーディナリティ（濃度）であることを思い出そう。したがって、あるベーシス（基底）\(B = \{e_1, e_2, ..., e_d\}\)がある。
ステップ2:
あるベーシス（基底）は\(B' = \{e'_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）でカーディナリティ（濃度）が\(d\)より大きいもの、であったと仮定しよう。
ステップ3:
Step 3 Strategy: modify \(B\) by replacing each element of \(B\) by an element of \(B'\) to be still a basis, then the new basis would be a proper subset of \(B'\), which could not be any basis. ステップ3戦略: \(B\)を、\(B\)の各要素を\(B'\)のある要素で置き換えて、それでもあるベーシス（基底）であるようにすることで変更しよう、すると、新たなベーシス（基底）は\(B'\)のプロパー（真）サブセット（部分集合）だということになり、それはベーシス（基底）ではあり得ない。
各\(e'_\alpha\)は\(e_j\)たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、\(e_1\)に対するコエフィシェント（係数）が\(0\)でないある\(e'_\alpha\)があることになる、なぜなら、そうでなければ、\(V\)は\(\{e_2, e_3, ..., e_d\}\)のみによってスパン（張る）されるということになる、\(\{e_1, e_2, ..., e_d\}\)がベーシス（基底）であることに反する矛盾。したがって、\(e_1\)を\(e'_\alpha\)によって置き換えてあるベーシス（基底）を形成するということになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題によって。\(e'_\alpha\)を\(e''_1\)として表わそう。
\(e_1, ..., e_k\)が既に\(e''_1, ..., e''_k\)によって置き換えられてあるベーシス（基底）を形成したと仮定しよう。各\(e'_\alpha\)は新たなベーシス（基底）の要素たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、\(e_{k + 1}\)に対するコエフィシェント（係数）が\(0\)でなかったある\(e'_\alpha\)があるということになる、なぜなら、そうでなければ、\(V\)は\((e''_1, ..., e''_k, e_{k + 2}, ..., e_d)\)のみによってスパン（張る）されるということになる、\((e''_1, ..., e''_k, e_{k + 1}, ..., e_d)\)がベーシス（基底）であることに反する矛盾。実のところ、\(e'_\alpha\)は\(e''_j\)たちの内のいずれでもなかった、なぜなら、そうでなければ、\(e'_\alpha = e''_j = c^1 e''_1 + ... + c^k e''_k + c^{k + 1} e_{k + 1} + ... + d^d e_d\)で、\(c^1 e''_1 + ... + (c^j - 1) e''_j + ... + c^k e''_k + c^{k + 1} e_{k + 1} + ... + c^d e_d = 0\)、ここで、\(c^{k + 1} \neq 0\)、新たなベーシス（基底）の要素たちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることに反する矛盾。したがって、\(e_{k + 1}\)を\(e'_\alpha\)で置き換えて\(e''_{k + 1}\)とし、あるベーシス（基底）を形成することができる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題によって。
結局、\(e_1, ..., e_d\)が\(e''_1, ..., e''_d\)で置き換えられてあるベーシス（基底）を形成することになった。
\(e''_j\)として選ばれなかったある\(e'_\alpha\)があることになり、\(e'_\alpha\)は\(e''_1, ..., e''_d\)のリニアコンビネーション（線形結合）だということになる、\(B'\)がベーシス（基底）であることに反する矛盾。
したがって、\(B'\)の要素たちの数は、\(d\)に等しいか、より小さい。
4: 注
実際には、\(B'\)の要素たちの数は\(d\)より小さくはあり得ない、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義によって、したがって、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のベーシス（基底）の要素たちの数はディメンション（次元）であると保証される。
