678: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はない

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }B\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}(d<|B|)$、ここで、$|B|$は$B$のカーディナリティ（濃度）を表わす
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$に対して、カーディナリティ（濃度）が$d$より大きい$V$のベーシス（基底）$B$はない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ある$d$カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）を取る; ステップ2: $d$より大きな任意のカーディナリティ（濃度）を持つ任意の他ベーシス（基底）を仮定する; ステップ3: ある矛盾を見つける: その他のベーシス（基底）は実はベーシス（基底）ではなかった。

ステップ1:

ディメンション（次元）は当該スペース（空間）の全ベーシス（基底）たちのミニマム（最小）カーディナリティ（濃度）であることを思い出そう。したがって、あるベーシス（基底）$B=\{e_1,e_2,...,e_d\}$がある。

ステップ2:

あるベーシス（基底）は$B^{\prime }=\{e_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）でカーディナリティ（濃度）が$d$より大きいもの、であったと仮定しよう。

ステップ3:

Step 3 Strategy: modify $B$ by replacing each element of $B$ by an element of $B^{\prime }$ to be still a basis, then the new basis would be a proper subset of $B^{\prime }$, which could not be any basis. ステップ3戦略: $B$を、$B$の各要素を$B^{\prime }$のある要素で置き換えて、それでもあるベーシス（基底）であるようにすることで変更しよう、すると、新たなベーシス（基底）は$B^{\prime }$のプロパー（真）サブセット（部分集合）だということになり、それはベーシス（基底）ではあり得ない。

各$e_{\alpha }^{\prime }$は$e_j$たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、$e_1$に対するコエフィシェント（係数）が$0$でないある$e_{\alpha }^{\prime }$があることになる、なぜなら、そうでなければ、$V$は$\{e_2,e_3,...,e_d\}$のみによってスパン（張る）されるということになる、$\{e_1,e_2,...,e_d\}$がベーシス（基底）であることに反する矛盾。したがって、$e_1$を$e_{\alpha }^{\prime }$によって置き換えてあるベーシス（基底）を形成するということになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題によって。$e_{\alpha }^{\prime }$を$e_1^{″}$として表わそう。

$e_1,...,e_k$が既に$e_1^{″},...,e_k^{″}$によって置き換えられてあるベーシス（基底）を形成したと仮定しよう。各$e_{\alpha }^{\prime }$は新たなベーシス（基底）の要素たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）だということになり、$e_{k+1}$に対するコエフィシェント（係数）が$0$でなかったある$e_{\alpha }^{\prime }$があるということになる、なぜなら、そうでなければ、$V$は$(e_1^{″},...,e_k^{″},e_{k+2},...,e_d)$のみによってスパン（張る）されるということになる、$(e_1^{″},...,e_k^{″},e_{k+1},...,e_d)$がベーシス（基底）であることに反する矛盾。実のところ、$e_{\alpha }^{\prime }$は$e_j^{″}$たちの内のいずれでもなかった、なぜなら、そうでなければ、$e_{\alpha }^{\prime }=e_j^{″}=c^1{e}_1^{″}+...+c^k{e}_k^{″}+c^{k+1}{e}_{k+1}+...+d^d{e}_d$で、$c^1{e}_1^{″}+...+(c^j-1)e_j^{″}+...+c^k{e}_k^{″}+c^{k+1}{e}_{k+1}+...+c^d{e}_d=0$、ここで、$c^{k+1}\ne 0$、新たなベーシス（基底）の要素たちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることに反する矛盾。したがって、$e_{k+1}$を$e_{\alpha }^{\prime }$で置き換えて$e_{k+1}^{″}$とし、あるベーシス（基底）を形成することができる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、任意の要素を、当該要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）（当該要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、あるベーシス（基底）を形成するという命題によって。

結局、$e_1,...,e_d$が$e_1^{″},...,e_d^{″}$で置き換えられてあるベーシス（基底）を形成することになった。

$e_j^{″}$として選ばれなかったある$e_{\alpha }^{\prime }$があることになり、$e_{\alpha }^{\prime }$は$e_1^{″},...,e_d^{″}$のリニアコンビネーション（線形結合）だということになる、$B^{\prime }$がベーシス（基底）であることに反する矛盾。

したがって、$B^{\prime }$の要素たちの数は、$d$に等しいか、より小さい。

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4: 注

実際には、$B^{\prime }$の要素たちの数は$d$より小さくはあり得ない、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義によって、したがって、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のベーシス（基底）の要素たちの数はディメンション（次元）であると保証される。

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参考資料

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