2024年7月28日日曜日

695: グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモ

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グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモの記述/証明

話題


About: グループ（群）
About: リング（環）
About: フィールド（体）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモの記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
G: ∈{ 全てのグループ（群）たち }
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∀p∈G,∀z∈Z(pz は妥当である )
∧
∀p∈R,∀n∈N(pn は妥当である )
∧
∀p∈F,∀n∈N(pn は妥当である )
∧
∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z(pz は妥当である )
∧
∀p∈G,∀z,z′∈Z(pzpz′=pz+z′)
∧
∀p∈R,∀n,n′∈N(pnpn′=pn+n′)
∧
∀p∈F,∀n,n′∈N(pnpn′=pn+n′)
∧
∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z,z′∈Z(pzpz′=pz+z′)
∧
∀p∈G,∀z,z′∈Z((pz)z′=pzz′)
∧
∀p∈R,∀n,n′∈N((pn)n′=pnn′)
∧
∀p∈F,∀n,n′∈N((pn)n′=pnn′)
∧
∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z,z′∈Z((pz)z′=pzz′)
∧
∀p∈G,∀z∈Z,∀n′∈N such that 1≤n′(p(zn′)=(pz)zn′−1)
∧
∀p∈R,∀n,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(nn′)=(pn)nn′−1)
∧
∀p∈F,∀n,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(nn′)=(pn)nn′−1)
∧
∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(zn′)=(pz)zn′−1)
∧
∀p∈G,∀z∈Z,∀n′∈N,∀n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(zn′n″)=(p(zn′))zn′n″−n′)
∧
∀p∈R,∀n,n′,n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(nn′n″)=(p(nn′))nn′n″−n′)
∧
∀p∈F,∀n,n′,n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(nn′n″)=(p(nn′))nn′n″−n′)
∧
∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z,∀n′∈N,∀n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(zn′n″)=(p(zn′))zn′n″−n′)
//

2: 自然言語記述


任意のグループ（群）G、任意のリング（環）R、任意のフィールド（体）Fに対して、∀p∈G,∀z∈Z(pz は妥当である ), ∀p∈R,∀n∈N(pn は妥当である ), ∀p∈F,∀n∈N(pn は妥当である ), ∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z(pz は妥当である ), ∀p∈G,∀z,z′∈Z(pzpz′=pz+z′), ∀p∈R,∀n,n′∈N(pnpn′=pn+n′), ∀p∈F,∀n,n′∈N(pnpn′=pn+n′), ∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z,z′∈Z(pzpz′=pz+z′), ∀p∈G,∀z,z′∈Z((pz)z′=pzz′), ∀p∈R,∀n,n′∈N((pn)n′=pnn′), ∀p∈F,∀n,n′∈N((pn)n′=pnn′), ∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z,z′∈Z((pz)z′=pzz′), ∀p∈G,∀z∈Z,∀n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(zn′)=(pz)zn′−1), ∀p∈R,∀n,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(nn′)=(pn)nn′−1), ∀p∈F,∀n,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(nn′)=(pn)nn′−1), ∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(zn′)=(pz)zn′−1), ∀p∈G,∀z∈Z,∀n′∈N,∀n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(zn′n″)=(p(zn′))zn′n″−n′), ∀p∈R,∀n,n′,n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(nn′n″)=(p(nn′))nn′n″−n′), ∀p∈F,∀n,n′,n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(nn′n″)=(p(nn′))nn′n″−n′), ∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z,∀n′∈N,∀n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(zn′n″)=(p(zn′))zn′n″−n′)。

3: 注


勿論、それら事実たちは、注意深く考えれば直線的なものである、しかし、不注意による取り違えたちが起こり得る、リアルナンバー（実数）たちの累乗たちと混同して。したがって、そうしたメモが役に立ち得る。

4: 証明


∀p∈G,∀z∈Z(pz は妥当である )を証明しよう。

z=0に対して、pz=1∈G。

0<zに対して、pz=p...p∈G、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちはz回。

z<0に対して、pz=p−1...p−1∈G、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは−z回。.

他方、あるq∈Qに対して、pqは妥当でないかもしれない。

例えば、q=1/2に対して、pqは何を意味するのか？x=p1/2は、x2=pを意味するはずであるが、そのようなx∈Gはないかもしれない。

そして、指数はGの要素ではあり得ない: pp′はあるp′∈Gに対して何を意味するのか？

∀p∈R,∀n∈N(pn は妥当である )を証明しよう。

n=0に対して、p0=1∈R。

0<nに対して、pn=p...p∈R、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちはn回。

他方、以下を満たすあるz∈Z、つまり、z<0、に対して、pzは妥当でないかもしれない。

それは、p−1はないかもしれないから。

あるq∈Qに対して、pqは妥当でないかもしれない。

理由は前と同じ。

そして、指数は、Rの要素ではあり得ない、前と同様。

∀p∈F,∀n∈N(pn は妥当である )を証明しよう。

n=0に対して、pn=1∈F。

0<nに対して、pn=p...p∈F、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちはn回。

他方、以下を満たす任意のz∈Z、つまり、z<0、およびp=0に対して、pzは妥当でない。

それは、p−1は存在しないから。

∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z(pz は妥当である )を証明しよう。

z=0に対して、pz=1∈F。

0<zに対して、pz=p...p∈F、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちはz回。

z<0に対して、pz=p−1...p−1∈F、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは−z回、それは可能である、p≠0であるから。

他方、あるq∈Qに対して、pqは妥当でないかもしれない。

例えば、q=1/2に対して、pqは何を意味するのか？x=p1/2はx2=pを意味するはずであるが、そのようなx∈Fはないかもしれない。注意として、F=Rである時、pqは存在する、しかし、それはフィールド（体）一般に対してではない。例えば、F=Qである時、21/2∈Fは存在しない。

そして、指数はFの要素ではあり得ない、前と同様に。注意として、F=Rである時、指数はFの任意要素であり得る、しかし、それは、Rはフィールド（体）であるからではない。

∀p∈G,∀z,z′∈Z(pzpz′=pz+z′)を証明しよう。

z=0である時、pzpz′=1pz′=pz′=pz+z′。

z′=0である時、pzpz′=pz1=pz=pz+z′。

0<z,z′である時、pzpz′=p...pp...p=pz+z′。

0<zおよびz′<0である時、pzpz′=p...pp−1...p−1=pz+z′。

z<0および0<z′である時、pzpz′=p−1...p−1p...p=pz+z′。

z,z′<0である時、pzpz′=p−1...p−1p−1...p−1=pz+z′。

∀p∈R,∀n,n′∈N(pnpn′=pn+n′)であることを証明しよう。

n=0である時、pnpn′=1pn′=pn′=pn+n′。

n′=0である時、pnpn′=pn1=pn=pn+n′。

0<n,n′である時、pnpn′=p...pp...p=pn+n′。

∀p∈F,∀n,n′∈N(pnpn′=pn+n′)のある証明は、リング（環）のケースと同じである。

∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z,z′∈Z(pzpz′=pz+z′)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。

∀p∈G,∀z,z′∈Z((pz)z′=pzz′)であることを証明しよう。

z′=0である時、(pz)z′=1=pzz′。

0<z′である時、(pz)z′=pz...pz=pz+...+z=pzz′。

z′<0である時、(pz)z′=(pz)−1...(pz)−1; z=0である時、=1−1...1−1=1=pzz′; 0<zである時、=(p...p)−1...(p...p)−1=(p−1...p−1)...(p−1...p−1)=pzz′; z<0である時、=(p−1...p−1)−1...(p−1...p−1)−1=(p...p)...(p...p)=pzz′。

∀p∈R,∀n,n′∈N((pn)n′=pnn′)であることを証明しよう。

n′=0である時、(pn)n′=1=pnn′。

0<n′である時、(pn)n′=pn...pn=pn+...+n=pnn′。

∀p∈F,∀n,n′∈N((pn)n′=pnn′)のある証明は、リング（環）ケースと同じである。

∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z,z′∈Z((pz)z′=pzz′)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。注意として、(pz)z′は意味をなす、なぜなら、pz≠0: 任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である。

∀p∈G,∀z∈Z,∀n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(zn′)=(pz)zn′−1)であることを証明しよう。

それは意味をなす、なぜなら、Zはリング（環）であるところ、zn′∈Z、p(zn′)∈G; pz∈G、zn′−1∈Z、(pz)zn′−1∈G。

p(zn′)=p(zzn′−1)=(pz)zn′−1。

勿論、p(zn′)≠(pz)n′である、一般には。

∀p∈R,∀n,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(nn′)=(pn)nn′−1)であることを証明しよう。

それは意味をなす、なぜなら、nn′∈Nであるので、p(nn′)∈R; pn∈R、nn′−1∈N、(pn)nn′−1∈R。

p(nn′)=p(nnn′−1)=(pn)nn′−1。

∀p∈F,∀n,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(nn′)=(pn)nn′−1)のある証明は、リング（環）ケースと同じである。

∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z,n′∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n′(p(zn′)=(pz)zn′−1)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。注意として、(pz)zn′−1は意味をなす、なぜなら、pz≠0: 任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である。

∀p∈G,∀z∈Z,∀n′∈N,∀n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(zn′n″)=(p(zn′))zn′n″−n′)であることを証明しよう。

それは意味をなす、なぜなら、n′n″∈N、zn′n″∈Z、p(zn′n″)∈G; zn′∈Z、p(zn′)∈G、n′n″−n′=n′(n″−1)∈N、zn′n″−n′∈Z、(p(zn′))zn′n″−n′∈G。

p(zn′n″)=p(zn′+n′n″−n′)=p(zn′zn′n″−n′)=(p(zn′))zn′n″−n′。

∀p∈R,∀n,n′,n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(nn′n″)=(p(nn′))nn′n″−n′)であることを証明しよう。

それは意味をなす、なぜなら、n′n″∈N、nn′n″∈N、p(nn′n″)∈R; nn′∈N、p(nn′)∈R、n′n″−n′=n′(n″−1)∈N、nn′n″−n′∈N、(p(nn′))nn′n″−n′∈R。

p(nn′n″)=p(nn′+n′n″−n′)=p(nn′nn′n″−n′)=(p(nn′))nn′n″−n′. p(nn′n″)=p(nn′+n′n″−n′)=p(nn′nn′n″−n′)=(p(nn′))nn′n″−n′。

∀p∈F,∀n,n′,n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(nn′n″)=(p(nn′))nn′n″−n′)のある証明は、リング（環）ケースと同じである。

∀p∈F で、以下を満たすもの、つまり、 p≠0,∀z∈Z,∀n′∈N,∀n″∈N で、以下を満たすもの、つまり、で、以下を満たすもの、つまり、 1≤n″(p(zn′n″)=(p(zn′))zn′n″−n′)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。

参考資料
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