グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: リング（環）
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモの記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z} (p^z \text{ は妥当である })\)
\(\land\)
\(\forall p \in R, \forall n \in \mathbb{N} (p^n \text{ は妥当である })\)
\(\land\)
\(\forall p \in F , \forall n \in \mathbb{N} (p^n \text{ は妥当である })\)
\(\land\)
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z} (p^z \text{ は妥当である })\)
\(\land\)
\(\forall p \in G, \forall z, z' \in \mathbb{Z} (p^z p^{z'} = p^{z + z'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} (p^n p^{n'} = p^{n + n'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} (p^n p^{n'} = p^{n + n'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z, z' \in \mathbb{Z} (p^z p^{z'} = p^{z + z'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in G, \forall z, z' \in \mathbb{Z} ((p^z)^{z'} = p^{z z'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} ((p^n)^{n'} = p^{n n'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} ((p^n)^{n'} = p^{n n'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z, z' \in \mathbb{Z} ((p^z)^{z'} = p^{z z'})\)
\(\land\)
\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N} \text{ such that } 1 \le n' (p^{(z^{n'})} = (p^z)^{z^{n' - 1}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(n^{n'})} = (p^n)^{n^{n' - 1}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(n^{n'})} = (p^n)^{n^{n' - 1}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z}, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(z^{n'})} = (p^z)^{z^{n' - 1}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N}, \forall n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(z^{n' n''})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in R, \forall n, n', n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(n^{n' n''})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F, \forall n, n', n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(n^{n' n''})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}})\)
\(\land\)
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N}, \forall n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(z^{n' n''})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}})\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意のリング（環）\(R\)、任意のフィールド（体）\(F\)に対して、\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z} (p^z \text{ は妥当である })\), \(\forall p \in R, \forall n \in \mathbb{N} (p^n \text{ は妥当である })\), \(\forall p \in F , \forall n \in \mathbb{N} (p^n \text{ は妥当である })\), \(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z} (p^z \text{ は妥当である })\), \(\forall p \in G, \forall z, z' \in \mathbb{Z} (p^z p^{z'} = p^{z + z'})\), \(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} (p^n p^{n'} = p^{n + n'})\), \(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} (p^n p^{n'} = p^{n + n'})\), \(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z, z' \in \mathbb{Z} (p^z p^{z'} = p^{z + z'})\), \(\forall p \in G, \forall z, z' \in \mathbb{Z} ((p^z)^{z'} = p^{z z'})\), \(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} ((p^n)^{n'} = p^{n n'})\), \(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} ((p^n)^{n'} = p^{n n'})\), \(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z, z' \in \mathbb{Z} ((p^z)^{z'} = p^{z z'})\), \(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(z^{n'})} = (p^z)^{z^{n' - 1}})\), \(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(n^{n'})} = (p^n)^{n^{n' - 1}})\), \(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(n^{n'})} = (p^n)^{n^{n' - 1}})\), \(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z}, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(z^{n'})} = (p^z)^{z^{n' - 1}})\), \(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N}, \forall n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(z^{n' n''})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}})\), \(\forall p \in R, \forall n, n', n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(n^{n' n''})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}})\), \(\forall p \in F, \forall n, n', n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(n^{n' n''})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}})\), \(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N}, \forall n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(z^{n' n''})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}})\)。
3: 注
勿論、それら事実たちは、注意深く考えれば直線的なものである、しかし、不注意による取り違えたちが起こり得る、リアルナンバー（実数）たちの累乗たちと混同して。したがって、そうしたメモが役に立ち得る。
4: 証明
\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z} (p^z \text{ は妥当である })\)を証明しよう。
\(z = 0\)に対して、\(p^z = 1 \in G\)。
\(0 \lt z\)に対して、\(p^z = p ... p \in G\)、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは\(z\)回。
\(z \lt 0\)に対して、\(p^z = p^{-1} ... p^{-1} \in G\)、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは\(- z\)回。.
他方、ある\(q \in \mathbb{Q}\)に対して、\(p^q\)は妥当でないかもしれない。
例えば、\(q = 1 / 2\)に対して、\(p^q\)は何を意味するのか？\(x = p^{1 / 2}\)は、\(x^2 = p\)を意味するはずであるが、そのような\(x \in G\)はないかもしれない。
そして、指数は\(G\)の要素ではあり得ない: \(p^{p'}\)はある\(p' \in G\)に対して何を意味するのか？
\(\forall p \in R, \forall n \in \mathbb{N} (p^n \text{ は妥当である })\)を証明しよう。
\(n = 0\)に対して、\(p^0 = 1 \in R\)。
\(0 \lt n\)に対して、\(p^n = p ... p \in R\)、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは\(n\)回。
他方、以下を満たすある\(z \in \mathbb{Z}\)、つまり、\(z \lt 0\)、に対して、\(p^z\)は妥当でないかもしれない。
それは、\(p^{-1}\)はないかもしれないから。
ある\(q \in \mathbb{Q}\)に対して、\(p^q\)は妥当でないかもしれない。
理由は前と同じ。
そして、指数は、\(R\)の要素ではあり得ない、前と同様。
\(\forall p \in F , \forall n \in \mathbb{N} (p^n \text{ は妥当である })\)を証明しよう。
\(n = 0\)に対して、\(p^n = 1 \in F\)。
\(0 \lt n\)に対して、\(p^n = p ... p \in F\)、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは\(n\)回。
他方、以下を満たす任意の\(z \in \mathbb{Z}\)、つまり、\(z \lt 0\)、および\(p = 0\)に対して、\(p^z\)は妥当でない。
それは、\(p^{-1}\)は存在しないから。
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z} (p^z \text{ は妥当である })\)を証明しよう。
\(z = 0\)に対して、\(p^z = 1 \in F\)。
\(0 \lt z\)に対して、\(p^z = p ... p \in F\)、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは\(z\)回。
\(z \lt 0\)に対して、\(p^z = p^{-1} ... p^{-1} \in F\)、ここで、マルチプリケーション（乗法）たちは\(- z\)回、それは可能である、\(p \neq 0\)であるから。
他方、ある\(q \in \mathbb{Q}\)に対して、\(p^q\)は妥当でないかもしれない。
例えば、\(q = 1 / 2\)に対して、\(p^q\)は何を意味するのか？\(x = p^{1 / 2}\)は\(x^2 = p\)を意味するはずであるが、そのような\(x \in F\)はないかもしれない。注意として、\(F = \mathbb{R}\)である時、\(p^q\)は存在する、しかし、それはフィールド（体）一般に対してではない。例えば、\(F = \mathbb{Q}\)である時、\(2^{1 / 2} \in F\)は存在しない。
そして、指数は\(F\)の要素ではあり得ない、前と同様に。注意として、\(F = \mathbb{R}\)である時、指数は\(F\)の任意要素であり得る、しかし、それは、\(\mathbb{R}\)はフィールド（体）であるからではない。
\(\forall p \in G, \forall z, z' \in \mathbb{Z} (p^z p^{z'} = p^{z + z'})\)を証明しよう。
\(z = 0\)である時、\(p^z p^{z'} = 1 p^{z'} = p^{z'} = p^{z + z'}\)。
\(z' = 0\)である時、\(p^z p^{z'} = p^{z} 1 = p^{z} = p^{z + z'}\)。
\(0 \lt z, z'\)である時、\(p^z p^{z'} = p ... p p ... p = p^{z + z'}\)。
\(0 \lt z\)および\(z' \lt 0\)である時、\(p^z p^{z'} = p ... p p^{-1} ... p^{-1} = p^{z + z'}\)。
\(z \lt 0\)および\(0 \lt z'\)である時、\(p^z p^{z'} = p^{-1} ... p^{-1} p ... p = p^{z + z'}\)。
\(z, z' \lt 0\)である時、\(p^z p^{z'} = p^{-1} ... p^{-1} p^{-1} ... p^{-1} = p^{z + z'}\)。
\(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} (p^n p^{n'} = p^{n + n'})\)であることを証明しよう。
\(n = 0\)である時、\(p^n p^{n'} = 1 p^{n'} = p^{n'} = p^{n + n'}\)。
\(n' = 0\)である時、\(p^n p^{n'} = p^{n} 1 = p^{n} = p^{n + n'}\)。
\(0 \lt n, n'\)である時、\(p^n p^{n'} = p ... p p ... p = p^{n + n'}\)。
\(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} (p^n p^{n'} = p^{n + n'})\)のある証明は、リング（環）のケースと同じである。
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z, z' \in \mathbb{Z} (p^z p^{z'} = p^{z + z'})\)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。
\(\forall p \in G, \forall z, z' \in \mathbb{Z} ((p^z)^{z'} = p^{z z'})\)であることを証明しよう。
\(z' = 0\)である時、\((p^z)^{z'} = 1 = p^{z z'}\)。
\(0 \lt z'\)である時、\((p^z)^{z'} = p^z ... p^z = p^{z + ... + z} = p^{z z'}\)。
\(z' \lt 0\)である時、\((p^z)^{z'} = (p^z)^{-1} ... (p^z)^{-1}\); \(z = 0\)である時、\(= 1^{-1} ... 1^{-1} = 1 = p^{z z'}\); \(0 \lt z\)である時、\(= (p ... p)^{-1} ... (p ... p)^{-1} = (p^{-1} ... p^{-1}) ... (p^{-1} ... p^{-1}) = p^{z z'}\); \(z \lt 0\)である時、\(= (p^{-1} ... p^{-1})^{-1} ... (p^{-1} ... p^{-1})^{-1} = (p ... p) ... (p ... p) = p^{z z'}\)。
\(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} ((p^n)^{n'} = p^{n n'})\)であることを証明しよう。
\(n' = 0\)である時、\((p^n)^{n'} = 1 = p^{n n'}\)。
\(0 \lt n'\)である時、\((p^n)^{n'} = p^n ... p^n = p^{n + ... + n} = p^{n n'}\)。
\(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} ((p^n)^{n'} = p^{n n'})\)のある証明は、リング（環）ケースと同じである。
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z, z' \in \mathbb{Z} ((p^z)^{z'} = p^{z z'})\)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。注意として、\((p^z)^{z'}\)は意味をなす、なぜなら、\(p^z \neq 0\): 任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である。
\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(z^{n'})} = (p^z)^{z^{n' - 1}})\)であることを証明しよう。
それは意味をなす、なぜなら、\(\mathbb{Z}\)はリング（環）であるところ、\(z^{n'} \in \mathbb{Z}\)、\(p^{(z^{n'})} \in G\); \(p^z \in G\)、\(z^{n' - 1} \in \mathbb{Z}\)、\((p^z)^{z^{n' - 1}} \in G\)。
\(p^{(z^{n'})} = p^{(z z^{n' - 1})} = (p^z)^{z^{n' - 1}}\)。
勿論、\(p^{(z^{n'})} \neq (p^z)^{n'}\)である、一般には。
\(\forall p \in R, \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(n^{n'})} = (p^n)^{n^{n' - 1}})\)であることを証明しよう。
それは意味をなす、なぜなら、\(n^{n'} \in \mathbb{N}\)であるので、\(p^{(n^{n'})} \in R\); \(p^n \in R\)、\(n^{n' - 1} \in \mathbb{N}\)、\((p^n)^{n^{n' - 1}} \in R\)。
\(p^{(n^{n'})} = p^{(n n^{n' - 1})} = (p^n)^{n^{n' - 1}}\)。
\(\forall p \in F, \forall n, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(n^{n'})} = (p^n)^{n^{n' - 1}})\)のある証明は、リング（環）ケースと同じである。
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z}, n' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n' (p^{(z^{n'})} = (p^z)^{z^{n' - 1}})\)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。注意として、\((p^z)^{z^{n' - 1}}\)は意味をなす、なぜなら、\(p^z \neq 0\): 任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である。
\(\forall p \in G, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N}, \forall n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(z^{n' n''})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}})\)であることを証明しよう。
それは意味をなす、なぜなら、\(n' n'' \in \mathbb{N}\)、\(z^{n' n''} \in \mathbb{Z}\)、\(p^{(z^{n' n''})} \in G\); \(z^{n'} \in \mathbb{Z}\)、\(p^{(z^{n'})} \in G\)、\(n' n'' - n' = n' (n'' - 1)\in \mathbb{N}\)、\(z^{n' n'' - n'} \in \mathbb{Z}\)、\((p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}} \in G\)。
\(p^{(z^{n' n''})} = p^{(z^{n' + n' n'' - n'})} = p^{(z^{n'} z^{n' n'' - n'})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}}\)。
\(\forall p \in R, \forall n, n', n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(n^{n' n''})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}})\)であることを証明しよう。
それは意味をなす、なぜなら、\(n' n'' \in \mathbb{N}\)、\(n^{n' n''} \in \mathbb{N}\)、\(p^{(n^{n' n''})} \in R\); \(n^{n'} \in \mathbb{N}\)、\(p^{(n^{n'})} \in R\)、\(n' n'' - n' = n' (n'' - 1) \in \mathbb{N}\)、\(n^{n' n'' - n'} \in \mathbb{N}\)、\((p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}} \in R\)。
\(p^{(n^{n' n''})} = p^{(n^{n' + n' n'' - n'})} = p^{(n^{n'} n^{n' n'' - n'})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}}\). \(p^{(n^{n' n''})} = p^{(n^{n' + n' n'' - n'})} = p^{(n^{n'} n^{n' n'' - n'})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}}\)。
\(\forall p \in F, \forall n, n', n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(n^{n' n''})} = (p^{(n^{n'})})^{n^{n' n'' - n'}})\)のある証明は、リング（環）ケースと同じである。
\(\forall p \in F \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p \neq 0, \forall z \in \mathbb{Z}, \forall n' \in \mathbb{N}, \forall n'' \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、で、以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n'' (p^{(z^{n' n''})} = (p^{(z^{n'})})^{z^{n' n'' - n'}})\)のある証明は、グループ（群）ケースと同じである。
