2024年11月17日日曜日

869: インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）

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インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
Z: = 全てのインテジャー（整数）たちセット（集合） 
n: ∈N
∼: ∈{Z 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }で、以下を満たすもの、つまり、∀z1,z2∈Z(∃l∈Z(z1=z2+ln)⟺z1∼z2)
∗Z/n: =Z/∼、当該クオシエント（商）セット（集合）で下に指定されるグループ（群）オペレーションを持つもの
//

コンディションたち:
∀[z1],[z2]∈Z/n([z1]+[z2]=[z1+z2])
//

2: 注


当該オペレーションは通常、+として記される、なぜなら、それは、Z上の+に基づいている。

当該オペレーションはウェルデファインド（妥当に定義されている）ことを見よう。

それは、[z1+z2]は、代表たちz1,z2に依存しないという問題である。

z1′,z2′∈Zは、[z1]=[z1′]および[z2]=[z2′]を満たすものとしよう。それが意味するのは、z1′=z1+l1nおよびz2′=z2+l2n。[z1′+z2′]=[z1+l1n+z2+l2n]=[z1+z2+(l1+l2)n]=[z1+z2]。

Z/nは本当にアーベリアングループ（群）であることを見よう。

当該オペレーションは閉じている、なぜなら、[z1+z2]∈Z/n。

[0]はアイデンティティ（単位）要素である: [0]+[z]=[0+z]=[z]および[z]+[0]=[z+0]=[z]。

各[z]に対して、[−z]はインバース（逆）である: [z]+[−z]=[z−z]=[0]および[−z]+[z]=[−z+z]=[0]。

当該オペレーションはアソシアティブ（結合的）である: 各[z1],[z2],[z3]∈Z/nに対して、([z1]+[z2])+[z3]=[z1+z2]+[z3]=[z1+z2+z3]=[z1]+[z2+z3]=[z1]+([z2]+[z3])。

したがって、Z/nはグループ（群）である。

Z/nはアーベリアンである: 各[z1],[z2]∈Z/nに対して、[z1]+[z2]=[z1+z2]=[z2+z1]=[z2]+[z1]。

明らかに、Z/n={[0],...,[n−1]}。

実のところ、Z/n=Z/(nZ)、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）: nZはサブグループ（部分群）である: 各nz1,nz2∈nZに対して、nz1+nz2=n(z1+z2)∈nZ、0=n0∈nZ、−nz1=n(−z1)∈nZ、そして、ノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、Zはアーベリアンである。

参考資料
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