インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{Z}\): \(= \text{ 全てのインテジャー（整数）たちセット（集合） }\)
\( n\): \(\in \mathbb{N}\)
\( \sim\): \(\in \{\mathbb{Z} \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall z_1, z_2 \in \mathbb{Z} (\exists l \in \mathbb{Z} (z_1 = z_2 + l n) \iff z_1 \sim z_2)\)
\(*\mathbb{Z} / n\): \(= \mathbb{Z} / \sim\)、当該クオシエント（商）セット（集合）で下に指定されるグループ（群）オペレーションを持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall [z_1], [z_2] \in \mathbb{Z} / n ([z_1] + [z_2] = [z_1 + z_2])\)
//
2: 注
当該オペレーションは通常、\(+\)として記される、なぜなら、それは、\(\mathbb{Z}\)上の\(+\)に基づいている。
当該オペレーションはウェルデファインド（妥当に定義されている）ことを見よう。
それは、\([z_1 + z_2]\)は、代表たち\(z_1, z_2\)に依存しないという問題である。
\(z'_1, z'_2 \in \mathbb{Z}\)は、\([z_1] = [z'_1]\)および\([z_2] = [z'_2]\)を満たすものとしよう。それが意味するのは、\(z'_1 = z_1 + l_1 n\)および\(z'_2 = z_2 + l_2 n\)。\([z'_1 + z'_2] = [z_1 + l_1 n + z_2 + l_2 n] = [z_1 + z_2 + (l_1 + l_2) n] = [z_1 + z_2]\)。
\(\mathbb{Z} / n\)は本当にアーベリアングループ（群）であることを見よう。
当該オペレーションは閉じている、なぜなら、\([z_1 + z_2] \in \mathbb{Z} / n\)。
\([0]\)はアイデンティティ（単位）要素である: \([0] + [z] = [0 + z] = [z]\)および\([z] + [0] = [z + 0] = [z]\)。
各\([z]\)に対して、\([- z]\)はインバース（逆）である: \([z] + [- z] = [z - z] = [0]\)および\([- z] + [z] = [- z + z] = [0]\)。
当該オペレーションはアソシアティブ（結合的）である: 各\([z_1], [z_2], [z_3] \in \mathbb{Z} / n\)に対して、\(([z_1] + [z_2]) + [z_3] = [z_1 + z_2] + [z_3] = [z_1 + z_2 + z_3] = [z_1] + [z_2 + z_3] = [z_1] + ([z_2] + [z_3])\)。
したがって、\(\mathbb{Z} / n\)はグループ（群）である。
\(\mathbb{Z} / n\)はアーベリアンである: 各\([z_1], [z_2] \in \mathbb{Z} / n\)に対して、\([z_1] + [z_2] = [z_1 + z_2] = [z_2 + z_1] = [z_2] + [z_1]\)。
明らかに、\(\mathbb{Z} / n = \{[0], ..., [n - 1]\}\)。
