ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、レンジ（値域）へ、マップ（写像）のリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）マップ（写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、当該マップ（写像）レンジ（値域）へ、当該マップ（写像）の当該サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists V \in \{V_1 \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\} (f \vert_V: V \to f (V_1) \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)、任意のリニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）\(V \subseteq V_1\)で、マップ（写像）レンジ（値域）\(f (V_1)\)へ、\(f\)の\(V\)ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (V_1)\)はベクトルたちスペース（空間）であることを見る; ステップ2: \(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）で、そのスペース（空間）\(V\)が\(f (V_1)\)へサージェクティブ（全射）にマップするものを見つける; ステップ3: \(V\)は\(f (V_1)\)と同一ディメンショナル（次元）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって、\(f (V_1)\)はベクトルたちスペース（空間）である。
ステップ2:
実のところ、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題の証明は、\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）\(\{b_1, b_2, . . ., b_r\}\)で、そのスペース（空間）\(V\)が\(f (V_1)\)へサージェクティブ（全射）にマップするものを見つけた。
ステップ3:
実のところ、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題の証明は、\(V\)は\(f (V_1)\)と同一ディメンショナル（次元）であることを示した。
ステップ4:
任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f \vert_V: V \to f (V_1)\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム同形写像）である。
