719: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、レンジ（値域）へ、マップ（写像）のリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがある

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、レンジ（値域）へ、マップ（写像）のリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）マップ（写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、当該マップ（写像）レンジ（値域）へ、当該マップ（写像）の当該サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }V\in \{V_1\text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}(f{|}_V:V\to f(V_1)\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_1$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_2$、任意のリニア（線形）マップ（写像）$f:V_1\to V_2$に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）$V\subseteq V_1$で、マップ（写像）レンジ（値域）$f(V_1)$へ、$f$の$V$ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがある。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(V_1)$はベクトルたちスペース（空間）であることを見る; ステップ2: $V_1$に対する任意のベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）で、そのスペース（空間）$V$が$f(V_1)$へサージェクティブ（全射）にマップするものを見つける; ステップ3: $V$は$f(V_1)$と同一ディメンショナル（次元）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって、$f(V_1)$はベクトルたちスペース（空間）である。

ステップ2:

実のところ、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題の証明は、$V_1$に対する任意のベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）$\{b_1,b_2,...,b_r\}$で、そのスペース（空間）$V$が$f(V_1)$へサージェクティブ（全射）にマップするものを見つけた。

ステップ3:

実のところ、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の任意のリニア（線形）マップ（写像）下のレンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であるという命題の証明は、$V$は$f(V_1)$と同一ディメンショナル（次元）であることを示した。

ステップ4:

任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、$f{|}_V:V\to f(V_1)$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム同形写像）である。

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参考資料

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