2024年8月18日日曜日

728: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さい

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さいことの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さいという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V1: ∈{ 全ての d1 ディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 全ての d2 ディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち }
f: :V1→V2, ∈{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
dimV2≤dimV1
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のd1ディメンショナル（次元）Fベクトルたちスペース（空間）V1、任意のd2ディメンショナル（次元）Fベクトルたちスペース（空間）V2、任意のリニア（線形）サージェクション（全射）f:V1→V2に対して、dimV2≤dimV1。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: V1のための任意のベーシス（基底）を選ぶ; ステップ2: fのレンジ（値域）を当該ベーシス（基底）のイメージ（像）で表わし、V2は当該ベーシス（基底）のイメージ（像）によってスパン（張る）されることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

V1に対する任意のベーシス（基底）{e1,...,ed1}を得る。

ステップ2:

各v∈V1に対して、v=∑j∈{1,...,d1}vjej、ここで、vj∈F、f(v)=∑j∈{1,...,d1}vjf(ej)、そして、f(V1)=V2={∑j∈{1,...,d1}vjf(ej)|vj∈F}、それが意味するのは、V2は{f(e1),...,f(ed1)}によってスパン（張る）されるということ。

ステップ3:

V2のあるベーシス（基底）は{f(e1),...,f(ed1)}のサブセット（部分集合）である、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題によって、それが含意するのは、dimV2≤dimV1。

参考資料
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