ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さいことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(dim V_2 \le dim V_1\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d_1\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)、任意の\(d_2\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)、任意のリニア（線形）サージェクション（全射）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(dim V_2 \le dim V_1\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)のための任意のベーシス（基底）を選ぶ; ステップ2: \(f\)のレンジ（値域）を当該ベーシス（基底）のイメージ（像）で表わし、\(V_2\)は当該ベーシス（基底）のイメージ（像）によってスパン（張る）されることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_{d_1}\}\)を得る。
ステップ2:
各\(v \in V_1\)に対して、\(v = \sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} v^j e_j\)、ここで、\(v^j \in F\)、\(f (v) = \sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} v^j f (e_j)\)、そして、\(f (V_1) = V_2 = \{\sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} v^j f (e_j) \vert v^j \in F\}\)、それが意味するのは、\(V_2\)は\(\{f (e_1), ..., f (e_{d_1})\}\)によってスパン（張る）されるということ。
ステップ3:
\(V_2\)のあるベーシス（基底）は\(\{f (e_1), ..., f (e_{d_1})\}\)のサブセット（部分集合）である、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題によって、それが含意するのは、\(dim V_2 \le dim V_1\)。
