ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちのセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちの任意のセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(S\): \(= \{v_1, ..., v_n\} \subseteq V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v_j \in S (v_j \neq 0) \land \forall v_j, v_k \in S \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } v_j \neq v_k (\langle v_j, v_k \rangle = 0)\)
\(\implies\)
\(S \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(F \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S = \{v_1, ..., v_n\} \subseteq V\)、つまり、\(\forall v_j \in S (v_j \neq 0)\)および\(\forall v_j, v_k \in S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } v_j \neq v_k (\langle v_j, v_k \rangle = 0)\)に対して、\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\forall v_j \in S (v_j \neq 0) \land \forall v_j, v_k \in S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } v_j \neq v_k (\langle v_j, v_k \rangle = 0)\)であり\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であったと仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(\forall v_j \in S (v_j \neq 0) \land \forall v_j, v_k \in S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } v_j \neq v_k (\langle v_j, v_k \rangle = 0)\)であると仮定しよう。
\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であったと仮定しよう。
以下を満たす全てはゼロでないある\(\{c^1, ..., c^n\} \subseteq F\)、つまり、\(c^j v_j = 0\)（アインシュタインによる慣習による）があることになる。\(c^k \neq 0\)であるとしよう。\(c^k \langle v_k, v_k \rangle = \langle c^j v_j, v_k \rangle = \langle 0, v_k \rangle = 0\)。しかし、\(\langle v_k, v_k \rangle \neq 0\)、したがって、\(c^k = 0\)、矛盾。
したがって、\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
