2024年8月25日日曜日

745: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちのセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である

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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちのセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちの任意のセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }で、任意のインナープロダクト（内積）⟨∙,∙⟩を持つもの
S: ={v1,...,vn}⊆V
//

ステートメント（言明）たち:
∀vj∈S(vj≠0)∧∀vj,vk∈S で以下を満たすもの、つまり、 vj≠vk(⟨vj,vk⟩=0)
⟹
S∈{V の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のF∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意のFベクトルたちスペース（空間）Vで、任意のインナープロダクト（内積）⟨∙,∙⟩を持つもの、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）S={v1,...,vn}⊆V、つまり、∀vj∈S(vj≠0)および∀vj,vk∈S で、以下を満たすもの、つまり、 vj≠vk(⟨vj,vk⟩=0)に対して、Sはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: ∀vj∈S(vj≠0)∧∀vj,vk∈S で、以下を満たすもの、つまり、 vj≠vk(⟨vj,vk⟩=0)でありSはリニア（線形）にインディペンデント（独立）であったと仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

∀vj∈S(vj≠0)∧∀vj,vk∈S で、以下を満たすもの、つまり、 vj≠vk(⟨vj,vk⟩=0)であると仮定しよう。

Sはリニア（線形）にインディペンデント（独立）であったと仮定しよう。

以下を満たす全てはゼロでないある{c1,...,cn}⊆F、つまり、cjvj=0（アインシュタインによる慣習による）があることになる。ck≠0であるとしよう。ck⟨vk,vk⟩=⟨cjvj,vk⟩=⟨0,vk⟩=0。しかし、⟨vk,vk⟩≠0、したがって、ck=0、矛盾。

したがって、Sはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

参考資料
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