746: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、ドメイン（定義域）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされる

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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、ドメイン（定義域）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、モーションの定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
• 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該ドメイン（定義域）の任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_1$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_1$を持つもの
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_2$\によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_2$を持つもの
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}$
$S$: $\subseteq V_1$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(0)=0\wedge \mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in S((v=v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=1)\wedge (v\ne v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=0))$
$⟹$
$\mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in f(S)((v=v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_2=1)\wedge (v\ne v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_2=0))$
//

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2: 自然言語記述

任意のノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_1$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_1$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_1$を持つもの、任意のノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V_2$で、任意のインナープロダクト（内積）$⟨\bullet ,\bullet {⟩}_2$によってインデュースト（誘導された）ノルム$\Vert \bullet {\Vert }_2$を持つもの、以下を満たす任意のモーション$f:V_1\to V_2$、つまり、$f(0)=0$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq V_1$、つまり、$\mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in S((v=v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=1)\wedge (v\ne v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=0))$、に対して、$f(S)$は、$\mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in f(S)((v=v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_2=1)\wedge (v\ne v^{\prime }⟹⟨v,v^{\prime }{⟩}_2=0))$を満たす。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$v,v^{\prime }\in V_j$に対して、$\Vert v-v^{\prime }{\Vert }_j^2=\Vert v{\Vert }_j^2+\Vert v^{\prime }{\Vert }_j^2-2⟨v,v^{\prime }⟩$であることを見る; ステップ2: その等式を使って、$⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2$であることを見る; ステップ3: ステップ2の等式に対して、$v,v^{\prime }\in S$とする。

ステップ1:

$v,v^{\prime }\in V_j$は任意のものとする。

$\Vert v-v^{\prime }{\Vert }_j^2=⟨v-v^{\prime },v-v^{\prime }{⟩}_j=⟨v,v-v^{\prime }{⟩}_j-⟨v^{\prime },v-v^{\prime }{⟩}_j=⟨v,v{⟩}_j-⟨v,v^{\prime }{⟩}_j-⟨v^{\prime },v{⟩}_j+⟨v^{\prime },v^{\prime }{⟩}_j=\Vert v{\Vert }_j^2+\Vert v^{\prime }{\Vert }_j^2-2⟨v,v^{\prime }{⟩}_j$。注意として、私たちが$V_j$をリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）であるように要求したのは、その等式を得るためである。

ステップ2:

$v,v^{\prime }\in V_1$をその等式に入れて、$\Vert v-v^{\prime }{\Vert }_1^2=\Vert v{\Vert }_1^2+\Vert v^{\prime }{\Vert }_1^2-2⟨v,v^{\prime }{⟩}_1$を得る。

$f(v),f(v^{\prime })\in V_2$をその等式に入れて、$\Vert f(v)-f(v^{\prime }){\Vert }_2^2=\Vert f(v){\Vert }_2^2+\Vert f(v^{\prime }){\Vert }_2^2-2⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2$を得る。

しかし、$\Vert v-v^{\prime }{\Vert }_1=\Vert f(v)-f(v^{\prime }){\Vert }_2$であるから、$\Vert v{\Vert }_1=\Vert v-0{\Vert }_1=\Vert f(v)-f(0){\Vert }_2=\Vert f(v)-0{\Vert }_2=\Vert f(v){\Vert }_2$、そして同様に、$\Vert v^{\prime }{\Vert }_1=\Vert f(v^{\prime }){\Vert }_2$、$\Vert v{\Vert }_1^2+\Vert v^{\prime }{\Vert }_1^2-2⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=\Vert f(v){\Vert }_2^2+\Vert f(v^{\prime }){\Vert }_2^2-2⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2$および$-2⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=-2⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2$、したがって、$⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2$。

ステップ3:

各$f(v),f(v^{\prime })\in f(S)\subseteq V_2$に対して、$⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2=⟨v,v^{\prime }{⟩}_1$。$f$はインジェクティブ（単射）である、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題によって、から、$f(v)=f(v^{\prime })$である時、$v=v^{\prime }$、そして、$f(v)\ne f(v^{\prime })$である時、$v\ne v^{\prime }$。したがって、$f(v)=f(v^{\prime })$である時、$⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2=⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=1$、そして、$f(v)\ne f(v^{\prime })$である時、$⟨f(v),f(v^{\prime }){⟩}_2=⟨v,v^{\prime }{⟩}_1=0$。

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4: 注

$f$はリニア（線形）であるように仮定されていない。

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参考資料

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