リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、ドメイン（定義域）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モーションの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちで任意のインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間の任意のモーションで0を固定するものに対して、当該ドメイン（定義域）の任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_1\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_2\)\によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
\(S\): \(\subseteq V_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (0) = 0 \land \forall v, v' \in S ((v = v' \implies \langle v, v' \rangle_1 = 1) \land (v \neq v' \implies \langle v, v' \rangle_1 = 0))\)
\(\implies\)
\(\forall v, v' \in f (S) ((v = v' \implies \langle v, v' \rangle_2 = 1) \land (v \neq v' \implies \langle v, v' \rangle_2 = 0))\)
//
2: 自然言語記述
任意のノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_1\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_1\)を持つもの、任意のノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_2\)によってインデュースト（誘導された）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_2\)を持つもの、以下を満たす任意のモーション\(f: V_1 \to V_2\)、つまり、\(f (0) = 0\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq V_1\)、つまり、\(\forall v, v' \in S ((v = v' \implies \langle v, v' \rangle_1 = 1) \land (v \neq v' \implies \langle v, v' \rangle_1 = 0))\)、に対して、\(f (S)\)は、\(\forall v, v' \in f (S) ((v = v' \implies \langle v, v' \rangle_2 = 1) \land (v \neq v' \implies \langle v, v' \rangle_2 = 0))\)を満たす。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(v, v' \in V_j\)に対して、\(\Vert v - v' \Vert_j^2 = \Vert v \Vert_j^2 + \Vert v' \Vert_j^2 - 2 \langle v, v' \rangle\)であることを見る; ステップ2: その等式を使って、\(\langle v, v' \rangle_1 = \langle f (v), f (v') \rangle_2\)であることを見る; ステップ3: ステップ2の等式に対して、\(v, v' \in S\)とする。
ステップ1:
\(v, v' \in V_j\)は任意のものとする。
\(\Vert v - v' \Vert_j^2 = \langle v - v', v - v' \rangle_j = \langle v, v - v' \rangle_j - \langle v', v - v' \rangle_j = \langle v, v \rangle_j - \langle v, v' \rangle_j - \langle v', v \rangle_j + \langle v', v' \rangle_j = \Vert v \Vert_j^2 + \Vert v' \Vert_j^2 - 2 \langle v, v' \rangle_j\)。注意として、私たちが\(V_j\)をリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）であるように要求したのは、その等式を得るためである。
ステップ2:
\(v, v' \in V_1\)をその等式に入れて、\(\Vert v - v' \Vert_1^2 = \Vert v \Vert_1^2 + \Vert v' \Vert_1^2 - 2 \langle v, v' \rangle_1\)を得る。
\(f (v), f (v') \in V_2\)をその等式に入れて、\(\Vert f (v) - f (v') \Vert_2^2 = \Vert f (v) \Vert_2^2 + \Vert f (v') \Vert_2^2 - 2 \langle f (v), f (v') \rangle_2\)を得る。
しかし、\(\Vert v - v' \Vert_1 = \Vert f (v) - f (v') \Vert_2\)であるから、\(\Vert v \Vert_1 = \Vert v - 0 \Vert_1 = \Vert f (v) - f (0) \Vert_2 = \Vert f (v) - 0 \Vert_2 = \Vert f (v) \Vert_2\)、そして同様に、\(\Vert v' \Vert_1 = \Vert f (v') \Vert_2\)、\(\Vert v \Vert_1^2 + \Vert v' \Vert_1^2 - 2 \langle v, v' \rangle_1 = \Vert f (v) \Vert_2^2 + \Vert f (v') \Vert_2^2 - 2 \langle f (v), f (v') \rangle_2\)および\(- 2 \langle v, v' \rangle_1 = - 2 \langle f (v), f (v') \rangle_2\)、したがって、\(\langle v, v' \rangle_1 = \langle f (v), f (v') \rangle_2\)。
ステップ3:
各\(f (v), f (v') \in f (S) \subseteq V_2\)に対して、\(\langle f (v), f (v') \rangle_2 = \langle v, v' \rangle_1\)。\(f\)はインジェクティブ（単射）である、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題によって、から、\(f (v) = f (v')\)である時、\(v = v'\)、そして、\(f (v) \neq f (v')\)である時、\(v \neq v'\)。したがって、\(f (v) = f (v')\)である時、\(\langle f (v), f (v') \rangle_2 = \langle v, v' \rangle_1 = 1\)、そして、\(f (v) \neq f (v')\)である時、\(\langle f (v), f (v') \rangle_2 = \langle v, v' \rangle_1 = 0\)。
4: 注
\(f\)はリニア（線形）であるように仮定されていない。
