2024年8月25日日曜日

744: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
V1: ∈{ 全ての d ディメンショナル（次元）ノルム付き F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 全ての d ディメンショナル（次元）ノルム付き F ベクトルたちスペース（空間）たち }
f: :V1→V2, ∈{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
f∈{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }
∧
f−1∈{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のF∈{R,C}で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意のdディメンショナル（次元）ノルム付きFベクトルたちスペース（空間）たちV1,V2、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）f:V1→V2に対して、fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、f−1はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: fはモーションであり、したがって、fはインジェクティブ（単射）であり、したがって、fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: 各v∈V2に対して、‖v‖=‖f−1(v)‖であることを見る。

ステップ1:

fはモーションである、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションであるという命題によって。

fはインジェクティブ（単射）である、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題によって。

fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

したがって、f−1は存在する。

ステップ2:

v∈V2は任意のものであるとしよう。‖v‖=‖f−1(v)‖？

‖v‖=‖f∘f−1(v)‖=‖f−1(v)‖。したがって、イエス。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: