同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションであるという命題を知っている。
- 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）ノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(f^{-1} \in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(F \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）ノルム付き\(F\)ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、\(f^{-1}\)はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はモーションであり、したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）であり、したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2: 各\(v \in V_2\)に対して、\(\Vert v \Vert = \Vert f^{-1} (v) \Vert\)であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はモーションである、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションであるという命題によって。
\(f\)はインジェクティブ（単射）である、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題によって。
\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(f^{-1}\)は存在する。
ステップ2:
\(v \in V_2\)は任意のものであるとしよう。\(\Vert v \Vert = \Vert f^{-1} (v) \Vert\)？
\(\Vert v \Vert = \Vert f \circ f^{-1} (v) \Vert = \Vert f^{-1} (v) \Vert\)。したがって、イエス。
