同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: カテゴリー（圏）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射たち） }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、任意のリニア（線形）インジェクション（単射）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)はベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
全体戦略: \(f\)はサージェクティブ（全射）であることを見る; ステップ1: \(V_1\)の任意のベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_d\}\)を選ぶ; ステップ2: \(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る; ステップ3: \(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)をスパン（張る）することを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V_1\)の任意のベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_d\}\)を選ぼう。
ステップ2:
\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。
任意の要素\(v \in V_1\)は\(v = c^j e_j\)である（アインシュタインによる慣習を用いて）。
もしも、\(v \neq 0\)である場合、\(f (v) = c^j f (e_j) \neq 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(f (v' + v) = f (v') + f (v) = f (v')\)、\(f\)がインジェクティブ（単射）であることに反する矛盾。それが意味するのは、\(c^j f (e_j) = 0\)であるのは、もしも\(v = 0\)である場合だけ、それが含意するのは、\(c^j\)たちは全て\(0\)であるということ。したがって、\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
ステップ3:
\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)をスパン（張る）ことを見よう。
\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)は\(V_2\)をスパン（張る）する、なぜなら、そうでなければ、ある要素\(v' \in V_2\)で\(\{f (e_1), ..., f (e_d)\}\)からリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものがあることになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題に反する矛盾。
したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
ステップ4:
したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
