743: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: カテゴリー（圏）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射たち） }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

---

2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、任意のリニア（線形）インジェクション（単射）$f:V_1\to V_2$に対して、$f$はベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

---

3: 証明

全体戦略: $f$はサージェクティブ（全射）であることを見る; ステップ1: $V_1$の任意のベーシス（基底）$\{e_1,...,e_d\}$を選ぶ; ステップ2: $\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る; ステップ3: $\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$をスパン（張る）することを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

$V_1$の任意のベーシス（基底）$\{e_1,...,e_d\}$を選ぼう。

ステップ2:

$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見よう。

任意の要素$v\in V_1$は$v=c^j{e}_j$である（アインシュタインによる慣習を用いて）。

もしも、$v\ne 0$である場合、$f(v)=c^{j}f(e_j)\ne 0$、なぜなら、そうでなければ、$f(v^{\prime }+v)=f(v^{\prime })+f(v)=f(v^{\prime })$、$f$がインジェクティブ（単射）であることに反する矛盾。それが意味するのは、$c^{j}f(e_j)=0$であるのは、もしも$v=0$である場合だけ、それが含意するのは、$c^j$たちは全て$0$であるということ。したがって、$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

ステップ3:

$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$をスパン（張る）ことを見よう。

$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$は$V_2$をスパン（張る）する、なぜなら、そうでなければ、ある要素$v^{\prime }\in V_2$で$\{f(e_1),...,f(e_d)\}$からリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものがあることになる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題に反する矛盾。

したがって、$f$はサージェクティブ（全射）である。

ステップ4:

したがって、$f$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から任意の同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）への任意のリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>