776: バイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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バイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: リーアルジェブラ（多元環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールドたち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての }F\text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての }F\text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\}\cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド$F$、必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない任意のリーアルジェブラ（多元環）たち$V_1,V_2$、任意のバイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）$f:V_1\to V_2$に対して、$f$は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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3: 注

一般には、バイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしもアイソモーフィズム（同形写像）ではない: 例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は、必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではない、なぜなら、インバース（逆）は必ずしもコンティニュアス（連続）ではない、それが、本命題を私たちは特に証明する必要がある理由である。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: インバース（逆）$f^{-1}:V_2\to V_1$を定義する; ステップ2: $f^{-1}$はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$f$はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）$f^{-1}:V_2\to V_1$がある。

ステップ2:

$f^{-1}$はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見る。

$f$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

$v_1,v_2\in V_2$は任意のものであるとしよう。$f^{-1}([v_1,v_2])=[f^{-1}(v_1),f^{-1}(v_2)]$？$f\circ f^{-1}([v_1,v_2])=[v_1,v_2]$。$f([f^{-1}(v_1),f^{-1}(v_2)])=[f\circ f^{-1}(v_1),f\circ f^{-1}(v_2)]=[v_1,v_2]$。$f$はインジェクティブ（単射）であるから、それが含意するのは、$f^{-1}([v_1,v_2])=[f^{-1}(v_1),f^{-1}(v_2)]$、したがって、はい。

ステップ3:

したがって、$f$は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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参考資料

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