バイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: リーアルジェブラ（多元環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールドたち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての } F \text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての } F \text{ リーアルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド\(F\)、必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない任意のリーアルジェブラ（多元環）たち\(V_1, V_2\)、任意のバイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 注
一般には、バイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしもアイソモーフィズム（同形写像）ではない: 例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は、必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではない、なぜなら、インバース（逆）は必ずしもコンティニュアス（連続）ではない、それが、本命題を私たちは特に証明する必要がある理由である。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: インバース（逆）\(f^{-1}: V_2 \to V_1\)を定義する; ステップ2: \(f^{-1}\)はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: V_2 \to V_1\)がある。
ステップ2:
\(f^{-1}\)はリーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見る。
\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(v_1, v_2 \in V_2\)は任意のものであるとしよう。\(f^{-1} ([v_1, v_2]) = [f^{-1} (v_1), f^{-1} (v_2)]\)？\(f \circ f^{-1} ([v_1, v_2]) = [v_1, v_2]\)。\(f ([f^{-1} (v_1), f^{-1} (v_2)]) = [f \circ f^{-1} (v_1), f \circ f^{-1} (v_2)] = [v_1, v_2]\)。\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、それが含意するのは、\(f^{-1} ([v_1, v_2]) = [f^{-1} (v_1), f^{-1} (v_2)]\)、したがって、はい。
ステップ3:
したがって、\(f\)は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
