2024年9月22日日曜日

775: ベクトルたちスペース（空間）たち間バイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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ベクトルたちスペース（空間）たち間バイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V1: ∈{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
f: :V1→V2, ∈{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }∩{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
f∈{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意の必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でないベクトルたちスペース（空間）たちV1,V2、任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）f:V1→V2に対して、fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

3: 注


一般に、バイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしもアイソモーフィズム（同形写像）ではない: 例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではない、なぜなら、インバース（逆）は必ずしもコンティニュアス（連続）ではない、それが、本命題を特に証明する必要がある理由である。

4: 証明


全体戦略: ステップ1: インバース（逆）f−1:V2→V1を定義する; ステップ2: f−1はリニア（線形）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

fはバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）f−1:V2→V1はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。

ステップ2:

f−1はリニア（線形）であることを見よう。

v1,v2∈V2およびr1,r2∈Fは任意であるとしよう。f−1(r1v1+r2v2)=r1f−1(v1)+r2f−1(v2)? f(r1f−1(v1)+r2f−1(v2))=r1f(f−1(v1))+r2f(f−1(v2))=r1v1+r2v2、それが意味するのは、f−1(r1v1+r2v2)=r1f−1(v1)+r2f−1(v2)。したがって、f−1はリニア（線形）である。

ステップ3:

したがって、fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

参考資料
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