バイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールドたち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド\(F\)、必ずしもファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）でない任意のベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 注
一般には、バイジェクティブ（全単射）モーフィズム（射）は必ずしもアイソモーフィズム（同形写像）ではない: 例えば、あるバイジェクティブ（全単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）は、必ずしも'トポロジカルスペース（空間）たち - コンティニュアス（連続）マップ（写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ではない、なぜなら、インバース（逆）は必ずしもコンティニュアス（連続）ではない、それが、本命題を私たちは特に証明する必要がある理由である。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: インバース（逆）\(f^{-1}: V_2 \to V_1\)を定義する; ステップ2: \(f^{-1}\)はリニア（線形）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: V_2 \to V_1\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）。
ステップ2:
\(f^{-1}\)はリニア（線形）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in V_2\)および\(r_1, r_2 \in F\)は任意のものとしよう。\(f^{-1} (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f^{-1} (v_1) + r_2 f^{-1} (v_2)\)？\(f (r_1 f^{-1} (v_1) + r_2 f^{-1} (v_2)) = r_1 f (f^{-1} (v_1)) + r_2 f (f^{-1} (v_2)) = r_1 v_1 + r_2 v_2\)、それが意味するのは、\(f^{-1} (r_1 v_1 + r_2 v_2) = r_1 f^{-1} (v_1) + r_2 f^{-1} (v_2)\)。したがって、\(f^{-1}\)はリニア（線形）である。
ステップ3:
したがって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
