ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{V \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
\(*\sim\): \(\subseteq S \times S\), \(\in \{S \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
//
コンディションたち: \(\forall s_1, s_2 \in S\)
(
\(s_1 \sim s_2\)
\(\iff\)
\(\exists c_1, c_2 \in \mathbb{R} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt c_1, c_2 (\forall v \in V (c_1 s_2 (v) \le s_1 (v) \le c_2 s_2 (v)))\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上の全てのノルムたちのセット（集合）\(S\)に対して、以下を満たすイクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim \subseteq S \times S\)、つまり、各\(s_1, s_2 \in S\)に対して、\(s_1 \sim s_2\)、もしも、以下を満たす\(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt c_1, c_2\)で\(\forall v \in V (c_1 s_2 (v) \le s_1 (v) \le c_2 s_2 (v)))\)、がある場合、そしてその場合に限って
3: 注
\(\sim\)は本当にイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。
各\(s \in S\)に対して、\(s \sim s\)、なぜなら、\(c_1 = c_2 = 1\)でよい: \(1 s (v) \le s (v) \le 1 s (v)\)。
以下を満たす各\(s_1, s_2 \in S\)、つまり、\(s_1 \sim s_2\)、に対して、\(s_2 \sim s_1\)、なぜなら、以下を満たす\(c_1, c_2\)、つまり、\(c_1 s_2 (v) \le s_1 (v) \le c_2 s_2 (v)\)、があるところ、\({c_2}^{-1} s_1 (v) \le s_2 (v) \le {c_1}^{-1} s_1 (v)\)。
以下を満たす各\(s_1, s_2, s_3 \in S\)、つまり、\(s_1 \sim s_2\)および\(s_2 \sim s_3\)、に対して、\(s_1 \sim s_3\)、なぜなら、以下を満たす\(c_1, c_2\)、つまり、\(c_1 s_2 (v) \le s_1 (v) \le c_2 s_2 (v)\)および以下を満たす\(c'_1, c'_2\)、つまり、\(c'_1 s_3 (v) \le s_2 (v) \le c'_2 s_3 (v)\)、があるところ、\(c_1 c'_1 s_3 (v) \le s_1 (v) \le c_2 c'_2 s_3 (v)\)。
