2024年9月1日日曜日

757: ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈{ 全てのリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たち }
S: ={V 上の全てのノルムたち }
∗∼: ⊆S×S, ∈{S 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }
//

コンディションたち: ∀s1,s2∈S
(
s1∼s2
⟺
∃c1,c2∈R で以下を満たすもの、つまり、 0<c1,c2(∀v∈V(c1s2(v)≤s1(v)≤c2s2(v)))
)
//

2: 自然言語記述


任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）V、V上の全てのノルムたちのセット（集合）Sに対して、以下を満たすイクイバレンスリレーション（同値関係）∼⊆S×S、つまり、各s1,s2∈Sに対して、s1∼s2、もしも、以下を満たすc1,c2∈R、つまり、0<c1,c2で∀v∈V(c1s2(v)≤s1(v)≤c2s2(v)))、がある場合、そしてその場合に限って

3: 注


∼は本当にイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。

各s∈Sに対して、s∼s、なぜなら、c1=c2=1でよい: 1s(v)≤s(v)≤1s(v)。

以下を満たす各s1,s2∈S、つまり、s1∼s2、に対して、s2∼s1、なぜなら、以下を満たすc1,c2、つまり、c1s2(v)≤s1(v)≤c2s2(v)、があるところ、c2−1s1(v)≤s2(v)≤c1−1s1(v)。

以下を満たす各s1,s2,s3∈S、つまり、s1∼s2およびs2∼s3、に対して、s1∼s3、なぜなら、以下を満たすc1,c2、つまり、c1s2(v)≤s1(v)≤c2s2(v)および以下を満たすc1′,c2′、つまり、c1′s3(v)≤s2(v)≤c2′s3(v)、があるところ、c1c1′s3(v)≤s1(v)≤c2c2′s3(v)。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: