758: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $=\{V\text{ 上の全てのノルムたち }\}$
$\sim$: $\subseteq S\times S$, $=S\text{ 上のイクイバレンスリレーション（等値関係） }$
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ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }{s}_1,s_2\in S(s_1\sim s_2)$
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$上の全てのノルムたちのセット（集合）$S$、$S$上のイクイバレンスリレーション（等値関係）$\sim :\subseteq S\times S$に対して、各$s_1,s_2\in S$に対して$s_1\sim s_2$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $V$に対する任意のベーシス（基底）を取り、当該ベーシス（基底）に関するユークリディアンノルム$s_0$を定義する; ステップ2: 各$k=1,2$に対して、以下を満たす$c_{k,1},c_{k,2}\in \mathbb{R}$、つまり、$0<c_{k,1},c_{k,2}$で、各$v\in V$に対して、$c_{k,1}{s}_0(v)\le s_k(v)\le c_{k,2}{s}_0(v)$である、を見つける; ステップ3: $s_1\sim s_2$を結論する。

ステップ1:

$V$の任意のベーシス（基底）$\{e_1,...,e_d\}$を取ろう。任意のベクトル$v\in V$は$v=\sum _{j\in \{1,...,d\}}(v^j{e}_j)$である。

当該ベーシス（基底）に関するユークリディアンノルム$s_0\in S:v\mapsto (\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v^j}^2{)}^{1/2}$がある。

$s_0$は本当にノルムである、なぜなら、それはユークリディアンノルムである。

ステップ2:

$k=1,2$に対して、以下を満たすある$c_{k,1},c_{k,2}\in \mathbb{R}$、つまり、$0<c_{k,1},c_{k,2}$および$c_{k,1}{s}_0(v)\le s_k(v)\le c_{k,2}{s}_0(v)$、を見つけよう。

$s_k(v)=s_k(\sum _{j\in \{1,...,d\}}(v^j{e}_j))\le \sum _{j\in \{1,...,d\}}{s}_k(v^j{e}_j)=\sum _{j\in \{1,...,d\}}(|v^j|s_k(e_j))$、ベクトルスペース（空間）上のノルムの定義によって、$\le max(\{s_k(e_j)\})max(\{|v^j|\})d$。

$max(\{|v^j|\})\le (\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v^j}^2{)}^{1/2}=s_0(v)$。

したがって、$s_k(v)\le max(\{s_k(e_j)\})d{s}_0(v)=c_{k-2}{s}_0(v)$ where $c_{k,2}=max(\{s_k(e_i)\})d$、それは$v$に依存しない。

$V$をカノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）とみなそう、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義によって。

カノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）$V$からのノルムマップ（写像）$s_k:V\to \mathbb{R}$はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$\{v\in V|s_0(v)=1\}$は$V$のコンバクトサブセット（部分集合）であることを見よう。

当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）$f:V\to {\mathbb{R}}^d$がある。$f(\{v\in V|s_0(v)=1\})$は明らかにクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である、したがって、${\mathbb{R}}^d$のコンパクトサブセット（部分集合）である、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってによって。したがって、$\{v\in V|s_0(v)=1\}=f^{-1}\circ f(\{v\in V|s_0(v)=1\})$は$V$上でコンパクトである。

したがって、その、ノルムマップ（写像）$s_k$下のイメージ（像）はミニマム（最小値）$c_{k,1}$を持つ、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって、そこで、$c_{k,1}$はポジティブ（正）である、なぜなら、任意のノルムはポジティブデフィニット（正定値）である。

したがって、$c_{k,1}\le s_k(v^{\prime })$、$s_0(v^{\prime })=1$である各$v^{\prime }$に対して。

$v\ne 0$である任意の$v\in V$に対して、$v^{\prime }:=v/s_0(v)$を定義しよう。すると、$s_0(v^{\prime })=s_0(v/s_0(v))=1/s_0(v)s_0(v)=1$および$v=s_0(v)v^{\prime }$。$c_{k,1}{s}_0(v)\le s_k(v^{\prime })s_0(v)=s_k(s_0(v)v^{\prime })=s_k(v)$。

$v=0\in V$に対して、$c_{k,1}{s}_0(v)=0\le 0=s_k(v)$。

したがって、$c_{k,1}{s}_0(v)\le s_k(v)\le c_{k,2}{s}_0(v)$。

したがって、$s_1\sim s_0$および$s_2\sim s_0$。

ステップ3:

$\sim$はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるから、$s_1\sim s_2$。

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参考資料

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