ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のノルムたちはイクイバレント（等値）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{V \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
\(\sim\): \(\subseteq S \times S\), \(= S \text{ 上のイクイバレンスリレーション（等値関係） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 \sim s_2)\)
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上の全てのノルムたちのセット（集合）\(S\)、\(S\)上のイクイバレンスリレーション（等値関係）\(\sim: \subseteq S \times S\)に対して、各\(s_1, s_2 \in S\)に対して\(s_1 \sim s_2\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対する任意のベーシス（基底）を取り、当該ベーシス（基底）に関するユークリディアンノルム\(s_0\)を定義する; ステップ2: 各\(k = 1, 2\)に対して、以下を満たす\(c_{k, 1}, c_{k, 2} \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt c_{k, 1}, c_{k, 2}\)で、各\(v \in V\)に対して、\(c_{k, 1} s_0 (v) \le s_k (v) \le c_{k, 2} s_0 (v)\)である、を見つける; ステップ3: \(s_1 \sim s_2\)を結論する。
ステップ1:
\(V\)の任意のベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_d\}\)を取ろう。任意のベクトル\(v \in V\)は\(v = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (v^j e_j)\)である。
当該ベーシス（基底）に関するユークリディアンノルム\(s_0 \in S: v \mapsto (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} {v^j}^2)^{1 / 2}\)がある。
\(s_0\)は本当にノルムである、なぜなら、それはユークリディアンノルムである。
ステップ2:
\(k = 1, 2\)に対して、以下を満たすある\(c_{k, 1}, c_{k, 2} \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt c_{k, 1}, c_{k, 2}\)および\(c_{k, 1} s_0 (v) \le s_k (v) \le c_{k, 2} s_0 (v)\)、を見つけよう。
\(s_k (v) = s_k (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (v^j e_j)) \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} s_k (v^j e_j) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (\vert v^j \vert s_k (e_j))\)、ベクトルスペース（空間）上のノルムの定義によって、\(\le max (\{s_k (e_j)\}) max (\{\vert v^j \vert\}) d\)。
\(max (\{\vert v^j\vert\}) \le (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} {v^j}^2)^{1 / 2} = s_0 (v)\)。
したがって、\(s_k (v) \le max (\{s_k (e_j)\}) d s_0 (v) = c_{k-2} s_0 (v)\) where \(c_{k, 2} = max (\{s_k (e_i)\}) d\)、それは\(v\)に依存しない。
\(V\)をカノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）とみなそう、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義によって。
カノニカル（正典）トポロジカルスペース（空間）\(V\)からのノルムマップ（写像）\(s_k: V \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(\{v \in V \vert s_0 (v) = 1\}\)は\(V\)のコンバクトサブセット（部分集合）であることを見よう。
当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to \mathbb{R}^d\)がある。\(f (\{v \in V \vert s_0 (v) = 1\})\)は明らかにクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である、したがって、\(\mathbb{R}^d\)のコンパクトサブセット（部分集合）である、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってによって。したがって、\(\{v \in V \vert s_0 (v) = 1\} = f^{-1} \circ f (\{v \in V \vert s_0 (v) = 1\})\)は\(V\)上でコンパクトである。
したがって、その、ノルムマップ（写像）\(s_k\)下のイメージ（像）はミニマム（最小値）\(c_{k, 1}\)を持つ、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって、そこで、\(c_{k, 1}\)はポジティブ（正）である、なぜなら、任意のノルムはポジティブデフィニット（正定値）である。
したがって、\(c_{k, 1} \le s_k (v')\)、\(s_0 (v') = 1\)である各\(v'\)に対して。
\(v \neq 0\)である任意の\(v \in V\)に対して、\(v' := v / s_0 (v)\)を定義しよう。すると、\(s_0 (v') = s_0 (v / s_0 (v)) = 1 / s_0 (v) s_0 (v) = 1\)および\(v = s_0 (v) v'\)。\(c_{k, 1} s_0 (v) \le s_k (v') s_0 (v) = s_k (s_0 (v) v') = s_k (v)\)。
\(v = 0 \in V\)に対して、\(c_{k, 1} s_0 (v) = 0 \le 0 = s_k (v)\)。
したがって、\(c_{k, 1} s_0 (v) \le s_k (v) \le c_{k, 2} s_0 (v)\)。
したがって、\(s_1 \sim s_0\)および\(s_2 \sim s_0\)。
ステップ3:
\(\sim\)はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるから、\(s_1 \sim s_2\)。
