ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、マップ（写像）プラス非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものはそうしないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、当該マップ（写像）プラス任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f_1\): \(: V_1 \to V_2\)
\(f_2\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(lim_{\Vert v \Vert \to 0} \Vert f_1 (v) \Vert / \Vert v \Vert = 0\)
\(\land\)
\(\exists v_0 \in V_1 (f_2 (v_0) \neq 0)\)
)
\(\implies\)
\(\Vert (f_1 + f_2) (v) \Vert / \Vert v \Vert\)は0へコンバージ（収束）しない、\(\Vert v \in V_1 \Vert\)が0へ近づく時
//
2: 自然言語記述
任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f_1: V_1 \to V_2\)、つまり、\(lim_{\Vert v \Vert \to 0} \Vert f_1 (v) \Vert / \Vert v \Vert = 0\)、任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）\(f_2: V_1 \to V_2\)に対して、\(\Vert (f_1 + f_2) (v) \Vert / \Vert v \Vert\)は0へコンバージ（収束）しない、\(\Vert v \in V_1 \Vert\)が0へ近づく時。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim_{\Vert v \Vert \to 0} \Vert f_1 (v) \Vert / \Vert v \Vert = 0\)および\(\exists v_0 \in V_1 (f_2 (v_0) \neq 0)\)であると仮定し、\(lim_{\Vert v \Vert \to 0} \Vert (f_1 + f_2) (v) \Vert / \Vert v \Vert = 0\)であったと仮定し、矛盾を見つける。
\(f_3: V_1 \to V_2 := f_1 + f_2\)を定義しよう。
\(lim_{\Vert v \Vert \to 0} \Vert f_3 (v) \Vert / \Vert v \Vert = 0\)であったと仮定しよう。
\(f_3 - f_1 = f_2\)。\(\Vert (f_3 - f_1) (v) \Vert / \Vert v \Vert = \Vert f_3 (v) - f_1 (v) \Vert / \Vert v \Vert \le (\Vert f_3 (v) \Vert + \Vert f_1 (v) \Vert) / \Vert v \Vert = \Vert f_3 (v) \Vert / \Vert v \Vert + \Vert f_1 (v) \Vert / \Vert v \Vert\)、それは\(0\)へコンバージ（収束）することになる、\(\Vert v \Vert\)が\(0\)へ近づいた時、なぜなら、両項たちがそうすることになる、したがって、\(\Vert (f_3 - f_1) (v) \Vert / \Vert v \Vert\)は\(0\)へコンバージ（収束）することになる。それは矛盾である、なぜなら、\(\Vert f_2 (v) \Vert / \Vert v \Vert\)は\(0\)へコンバージ（収束）しない、\(\Vert v \Vert\)が\(0\)へ近づく時、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないという命題によって。
