756: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、マップ（写像）プラス非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものはそうしない

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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、マップ（写像）プラス非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものはそうしないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、当該マップ（写像）プラス任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）しないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f_1$: $:V_1\to V_2$
$f_2$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$li{m}_{\Vert v\Vert \to 0}\Vert f_1(v)\Vert /\Vert v\Vert =0$
$\wedge$
$\mathrm{\exists }{v}_0\in V_1(f_2(v_0)\ne 0)$
)
$⟹$
$\Vert (f_1+f_2)(v)\Vert /\Vert v\Vert$は0へコンバージ（収束）しない、$\Vert v\in V_1\Vert$が0へ近づく時
//

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2: 自然言語記述

任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、以下を満たす任意のマップ（写像）$f_1:V_1\to V_2$、つまり、$li{m}_{\Vert v\Vert \to 0}\Vert f_1(v)\Vert /\Vert v\Vert =0$、任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）$f_2:V_1\to V_2$に対して、$\Vert (f_1+f_2)(v)\Vert /\Vert v\Vert$は0へコンバージ（収束）しない、$\Vert v\in V_1\Vert$が0へ近づく時。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $li{m}_{\Vert v\Vert \to 0}\Vert f_1(v)\Vert /\Vert v\Vert =0$および$\mathrm{\exists }{v}_0\in V_1(f_2(v_0)\ne 0)$であると仮定し、$li{m}_{\Vert v\Vert \to 0}\Vert (f_1+f_2)(v)\Vert /\Vert v\Vert =0$であったと仮定し、矛盾を見つける。

$f_3:V_1\to V_2:=f_1+f_2$を定義しよう。

$li{m}_{\Vert v\Vert \to 0}\Vert f_3(v)\Vert /\Vert v\Vert =0$であったと仮定しよう。

$f_3-f_1=f_2$。$\Vert (f_3-f_1)(v)\Vert /\Vert v\Vert =\Vert f_3(v)-f_1(v)\Vert /\Vert v\Vert \le (\Vert f_3(v)\Vert +\Vert f_1(v)\Vert )/\Vert v\Vert =\Vert f_3(v)\Vert /\Vert v\Vert +\Vert f_1(v)\Vert /\Vert v\Vert$、それは$0$へコンバージ（収束）することになる、$\Vert v\Vert$が$0$へ近づいた時、なぜなら、両項たちがそうすることになる、したがって、$\Vert (f_3-f_1)(v)\Vert /\Vert v\Vert$は$0$へコンバージ（収束）することになる。それは矛盾である、なぜなら、$\Vert f_2(v)\Vert /\Vert v\Vert$は$0$へコンバージ（収束）しない、$\Vert v\Vert$が$0$へ近づく時、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないという命題によって。

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参考資料

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