ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\) 、ここで、\(d \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\((\mathbb{R}^{d_1}, ..., \mathbb{R}^{d_n})\): \(\in \{\text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） たちの全てのシーケンスたち }\}\)、ここで、\(d_j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} d_j = d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mathbb{R}^d \cong \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)、ここで、\(\cong\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを表わす。
//
2: 自然言語記述
\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)、ここで、\(d \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、ユークリディアントポロジカルスペース（空間） たちの任意のシーケンス\((\mathbb{R}^{d_1}, ..., \mathbb{R}^{d_n})\)、ここで、\(d_j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} d_j = d\)、に対して、\(\mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である。
3: 注
広く、\(\mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)と等しいとずさんに言われるだろうが、それらは厳密に同じではない、セット（集合）たちとして。例えば、\(\mathbb{R}^3\)上のあるポイントは\((r_1, r_2, r_3)\)であるが、\(\mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}^2\)上のあるポイントは\((r_1, (r_2, r_3))\)である、そして、それら2ポイントたちは異なるものたちである、厳密に言って。それらは、セット（集合）たちとして同じでないので、トポロジカルスペース（空間）たちとして同じであり得ない。したがって、本命題は、2つのトポロジカルスペース（空間）たちはホメオモーフィック（位相同形写像）であると言い、同じであるとは言わない。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: カノニカル（正典）'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)を定義する; ステップ2: \(f\)は各ポイント\(p \in \mathbb{R}^d\)においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: \(f^{-1}\)は各ポイント\(q \in \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)においてコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
任意のポイント\(p \in \mathbb{R}^d\)を\(p = (p^1, ..., p^d)\)として記そう。
任意のポイント\(q \in \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)を\(q = (q^1, ..., q^n)\)として記そう。
カノニカル（正典）'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}, (p^1, ..., p^d) \mapsto (q^1 = (p^1, ..., p^{d_1}), ..., q^n = (p^{d_1 + ... + d_{n - 1} + 1}, ..., p^d))\)がある、それは本当にバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、以下を満たす各\(p, p' \in \mathbb{R}^d\)、つまり、\(p \neq p'\)、に対して、ある\(j \in \{1, ..., d\}\)に対して\(p^j \neq p'^j\)である、そして、以下を満たすある\(k \in \{1, ..., n\}\)、つまり、\(p^j\)は\(q^k\)内にあり\(p'^j\)は\(q'^k\)内にある、がある、それが意味するのは、\(q^k \neq q'^k\)、それが意味するのは、\(f (p) \neq f (p')\); 各\(q = (q^1 = (p^1, ..., p^{d_1}), ..., q^n = (p^{d_1 + ... + d_{n - 1} + 1}, ..., p^d)) \in \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)に対して、\(p = (p^1, ..., p^d) \in \mathbb{R}^d\)がある、それが意味するのは、\(f (p) = q\)。
ステップ2:
\(f\)は任意のポイント\(p = (p^1, ..., p^d) \in \mathbb{R}^d\)においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(q := f (p) = (q^1, ..., q^n)\)としよう。
\(N_q \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)は\(q\)の任意のネイバーフッド（近傍）であるとしよう。\(q\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_q \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)、つまり、\(U_q \subseteq N_q\)、がある。以下を満たすあるオープン（開）\(B_{q^1, \epsilon_1} \times ... \times B_{q^n, \epsilon_n} \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)、つまり、\(B_{q^1, \epsilon_1} \times ... \times B_{q^n, \epsilon_1} \subseteq U_q\)、ここで、\(B_{q^j, \epsilon_j} \subseteq \mathbb{R}^{d_j}\)は\(q^j\)の周りのオープンボール（開球）である、がある、プロダクトトポロジーの定義によって。
\(\epsilon := min (\epsilon_1, ..., \epsilon_n)\)としよう。
\(p\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{p, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)を取ろう。
\(f (B_{p, \epsilon}) \subseteq B_{q^1, \epsilon_1} \times ... \times B_{q^n, \epsilon_n}\)であることを見よう。
\(p' = (p'^1, ..., p'^d) \in B_{p, \epsilon}\)は任意のものであるとしよう。\(f (p') = (q'^1 = (p'^1, ..., p'^{d_1}), ..., q'^n = (p'^{d_1 + ... + d_{n - 1} + 1}, ..., p'^{d}))\)。\(q'^j \in B_{q^j, \epsilon_j}\)、なぜなら、\(\sum_{j \in \{d_1 + ... + d_{j - 1} + 1, ..., d_1 + ... + d_{j - 1} + d_j\}} (p'^j - p^j)^2 \le \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (p'^j - p^j)^2 \lt \epsilon^2 \le \epsilon_j^2\)。したがって、\(f (p') \in B_{q^1, \epsilon_1} \times ... \times B_{q^n, \epsilon_n}\)。したがって、\(f (B_{p, \epsilon}) \subseteq B_{q^1, \epsilon_1} \times ... \times B_{q^n, \epsilon_n}\)。
したがって、\(f (B_{p, \epsilon}) \subseteq B_{q^1, \epsilon_1} \times ... \times B_{q^n, \epsilon_n} \subseteq U_q \subseteq N_q\)。
したがって、\(f\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
\(f^{-1}\)は任意のポイント\(q = (q^1 = (p^1, ..., p^{d_1}), ..., q^n = (p^{d_1 + ... + d_{n - 1} + 1}, ..., p^d)) \in \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(p := f^{^1} (q) = (p^1, ..., p^n)\)としよう。
\(N_p \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）であるとしよう。\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、がある。以下を満たすあるオープン（開）\(B_{p, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(B_{p, \epsilon} \subseteq U_p\)、ここで、\(B_{p, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(p\)の周りのオープンボール（開球）である、がある。
\(\epsilon' := \epsilon / \sqrt{n}\)としよう。
\(q\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{q^1, \epsilon'} \times ... \times B_{q^n, \epsilon'} \subseteq \mathbb{R}^{d_1} \times . . . \times \mathbb{R}^{d_n}\)を取ろう。
\(f^{-1} (B_{q^1, \epsilon'} \times ... \times B_{q^n, \epsilon'}) \subseteq B_{p, \epsilon}\)であることを見よう。
\(q' = (q'^1 = (p'^1, ..., p'^{d_1}), ..., q'^n = (p'^{d_1 + ... + d_{n - 1} + 1}, ..., p'^d)) \in B_{q^1, \epsilon'} \times ... \times B_{q^n, \epsilon'}\)は任意のものであるとしよう。\(p' := f^{-1} (q') = (p'^1, ..., p'^d)\)。\(p' \in B_{p, \epsilon}\)、なぜなら、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (p'^j - p^j)^2 = \sum_{j \in \{1, ..., d_1\}} (p'^j - p^j)^2 + ...+ \sum_{j \in \{d_1 + ... + d_{n - 1} + 1, ..., d\}} (p'^j - p^j)^2 \lt \epsilon'^2 + ...+ \epsilon'^2 = n \epsilon^2 / n = \epsilon^2\)。したがって、\(f^{-1} (q') \in B_{p, \epsilon}\)。したがって、\(f^{-1} (B_{q^1, \epsilon'} \times ... \times B_{q^n, \epsilon'}) \subseteq B_{p, \epsilon}\)。
したがって、\(f^{-1} (B_{q^1, \epsilon'} \times ... \times B_{q^n, \epsilon'}) \subseteq B_{p, \epsilon} \subseteq U_p \subseteq N_p\)。
したがって、\(f^{-1}\)は\(q\)においてコンティニュアス（連続）である。
