セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）数の任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{T_1, ..., T_n\}\): \(T_j \in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(= T_1 \times . . . \times T_n\), \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち\(\{T_1, ..., T_n\}\)、当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T := T_1 \times . . . \times T_n\)に対して、\(T\)はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: カウンタブル（可算）な\(B := \{U_{1, k_1} \times ... \times U_{n, k_n} \vert k_j \in J_j\}\)、ここで、\(B_j = \{U_{j, k_j} \vert k_j \in J_j\}\)は\(T_j\)に対するあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）である、を構築する; ステップ2: \(B\)は\(T\)に対するあるベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
各\(T_j\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B_j = \{U_{j, k_j} \vert k_j \in J_j\}\)、ここで、\(J_j\)はカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、を持つ。\(B := \{U_{1, k_1} \times ... \times U_{n, k_n} \vert k_j \in J_j\}\)はカウンタブル（可算）である。
ステップ2:
\(B\)は\(T\)に対するベーシス（基底）であることを証明しよう。各\(U_{1, k_1} \times ... \times U_{n, k_n}\)は\(T\)上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。任意のポイント\(p = (p^1, ..., p^n) \in T\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、がある、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義によって; \(U_p = \cup_{\alpha \in A} U_{1, \alpha} \times ... \times U_{n, \alpha}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、\(U_{j, \alpha} \subseteq T_j\)はオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義についての記事の"注"によって; ある\(\alpha\)に対して\(p \in U_{1, \alpha} \times ... \times U_{n, \alpha}\); \(B_j\)の以下を満たすある要素\(U_{j, k_j}\)、つまり、\(p^j \in U_{j, k_j} \subseteq U_{j, \alpha}\)、がある; \(U_{1, k_1} \times ... \times U_{n, k_n}\)は\(B\)の要素であり、\(p \in U_{1, k_1} \times ... \times U_{n, k_n} \subseteq U_{1, \alpha} \times ... \times U_{n, \alpha} \subseteq U_p \subseteq N_p\)。
4: 注
本命題にとっては、プロダクトはファイナイト（有限）でなければならない、その一方で、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトは、当該プロダクトがハウスドルフであるためにファイナイト（有限）である必要はない。
