760: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセカンドカウンタブル（可算）である

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セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）数の任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{T_1,...,T_n\}$: $T_j\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $=T_1\times ...\times T_n$, $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$T\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち$\{T_1,...,T_n\}$、当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T:=T_1\times ...\times T_n$に対して、$T$はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: カウンタブル（可算）な$B:=\{U_{1,k_1}\times ...\times U_{n,k_n}|k_j\in J_j\}$、ここで、$B_j=\{U_{j,k_j}|k_j\in J_j\}$は$T_j$に対するあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）である、を構築する; ステップ2: $B$は$T$に対するあるベーシス（基底）であることを見る。

ステップ1:

各$T_j$はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）$B_j=\{U_{j,k_j}|k_j\in J_j\}$、ここで、$J_j$はカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、を持つ。$B:=\{U_{1,k_1}\times ...\times U_{n,k_n}|k_j\in J_j\}$はカウンタブル（可算）である。

ステップ2:

$B$は$T$に対するベーシス（基底）であることを証明しよう。各$U_{1,k_1}\times ...\times U_{n,k_n}$は$T$上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。任意のポイント$p=(p^1,...,p^n)\in T$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、がある、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義によって; $U_p={\cup }_{\alpha \in A}{U}_{1,\alpha }\times ...\times U_{n,\alpha }$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、$U_{j,\alpha }\subseteq T_j$はオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義についての記事の"注"によって; ある$\alpha$に対して$p\in U_{1,\alpha }\times ...\times U_{n,\alpha }$; $B_j$の以下を満たすある要素$U_{j,k_j}$、つまり、$p^j\in U_{j,k_j}\subseteq U_{j,\alpha }$、がある; $U_{1,k_1}\times ...\times U_{n,k_n}$は$B$の要素であり、$p\in U_{1,k_1}\times ...\times U_{n,k_n}\subseteq U_{1,\alpha }\times ...\times U_{n,\alpha }\subseteq U_p\subseteq N_p$。

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4: 注

本命題にとっては、プロダクトはファイナイト（有限）でなければならない、その一方で、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトは、当該プロダクトがハウスドルフであるためにファイナイト（有限）である必要はない。

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参考資料

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