759: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフである

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ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであることの定義/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述1
• 2: 自然言語記述1
• 3: 証明1
• 4: 構造化された記述2
• 5: 自然言語記述2
• 6: 証明2

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開始コンテキスト

• 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述1

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$A$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $T_{\alpha }\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$, $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$T\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述1

任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインフィニット（無限）インデックスセット（集合）$A$、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_{\alpha }|\alpha \in A\}$、プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T:={\times }_{\alpha \in A}{T}_{\alpha }$に対して、$T$はハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である。

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3: 証明1

全体戦術: ステップ1: 任意の互いに異なる$t_1,t_2\in T$を取り、ある${\alpha }^{\prime }\in A$に対して$t_1({\alpha }^{\prime })\ne t_2({\alpha }^{\prime })$であることを見る; ステップ2: $t_j({\alpha }^{\prime })$の以下を満たすある非空オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\alpha }^{\prime },t_j({\alpha }^{\prime })}\subseteq T_{{\alpha }^{\prime }}$、つまり、$U_{{\alpha }^{\prime },t_1({\alpha }^{\prime })}\cap U_{{\alpha }^{\prime },t_2({\alpha }^{\prime })}=\mathrm{\varnothing }$、を取る; ステップ3: $t_j$のある非空オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_j}$を、$U_{{\alpha }^{\prime },t_j({\alpha }^{\prime })}$を使い、$U_{t_1}\cap U_{t_2}=\mathrm{\varnothing }$を満たすように構築する。

ステップ1:

$t_1,t_2\in T$を$t_1\ne t_2$を満たす任意のものであるとしよう。ある${\alpha }^{\prime }\in A$に対して、$t_1({\alpha }^{\prime })\ne t_2({\alpha }^{\prime })\in T_{{\alpha }^{\prime }}$。

ステップ2:

$T_{{\alpha }^{\prime }}$はハウスドルフであるから、$t_1({\alpha }^{\prime })$および$t_2({\alpha }^{\prime })$の以下を満たすある非空オープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_{{\alpha }^{\prime },t_1({\alpha }^{\prime })}\subseteq T_{{\alpha }^{\prime }}$および$U_{{\alpha }^{\prime },t_2({\alpha }^{\prime })}\subseteq T_{{\alpha }^{\prime }}$、つまり、$U_{{\alpha }^{\prime },t_1({\alpha }^{\prime })}\cap U_{{\alpha }^{\prime },t_2({\alpha }^{\prime })}=\mathrm{\varnothing }$、がある。

ステップ3:

$U_{t_j}:={\times }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha ,t_j(\alpha )}$、ここで、$\alpha \ne {\alpha }^{\prime }$に対しては$U_{\alpha ,t_j(\alpha )}=T_{\alpha }$、を定義しよう、それは$T$上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって、そして非空である。

$U_{t_1}\cap U_{t_2}=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、任意の$t\in U_{t_1}$に対して、$t({\alpha }^{\prime })\in U_{{\alpha }^{\prime },t_1({\alpha }^{\prime })}$、したがって、$t({\alpha }^{\prime })\notin U_{{\alpha }^{\prime },t_2({\alpha }^{\prime })}$、したがって、$t\notin U_{t_2}$。

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4: 構造化された記述2

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{T_1,...,T_n\}$: $T_j\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $=T_1\times ...\times T_n$, $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$T\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
//

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5: 自然言語記述2

任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち$\{T_1,...,T_n\}$、当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）$T:=T_1\times ...\times T_n$に対して、$T$はハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である。

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6: 証明2

全体戦術: ステップ1: 任意の互いに異なる$t_1,t_2\in T$を取り、ある$j^{\prime }\in \{1,...,n\}$に対して$t_1^{j^{\prime }}\ne t_2^{j^{\prime }}$であることを見る; ステップ2: $t_j^{j^{\prime }}$の以下を満たすある非空オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{j^{\prime },t_j^{j^{\prime }}}\subseteq T_{j^{\prime }}$、つまり、$U_{j^{\prime },t_1^{j^{\prime }}}\cap U_{j^{\prime },t_2^{j^{\prime }}}=\mathrm{\varnothing }$、を取る; ステップ3: $t_j$のある非空オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_j}$を、$U_{j^{\prime },t_j^{j^{\prime }}}$を使い、$U_{t_1}\cap U_{t_2}=\mathrm{\varnothing }$を満たすように構築する。

ステップ1:

$t_1,t_2\in T$を$t_1\ne t_2$を満たす任意のものであるとしよう。ある$j^{\prime }\in \{1,...,n\}$に対して、$t_1^{j^{\prime }}\ne t_2^{j^{\prime }}\in T_{j^{\prime }}$。

ステップ2:

$T_{j^{\prime }}$はハウスドルフであるから、$t_1^{j^{\prime }}$および$t_2^{j^{\prime }}$のの以下を満たすある非空オープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_{j^{\prime },t_1^{j^{\prime }}}\subseteq T_{j^{\prime }}$および$U_{j^{\prime },t_2^{j^{\prime }}}\subseteq T_{j^{\prime }}$、つまり、$U_{j^{\prime },t_1^{j^{\prime }}}\cap U_{j^{\prime },t_2^{j^{\prime }}}=\mathrm{\varnothing }$、がある。

ステップ3:

$U_{t_j}:=U_{1,t_j^1}\times ...\times U_{n,t_j^n}$、ここで、$k\ne j^{\prime }$に対しては$U_{k,t_j^k}=T_k$、を定義しよう、それは$T$上でオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって、そして非空である。

$U_{t_1}\cap U_{t_2}=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、任意の$t\in U_{t_1}$に対して、$t^{j^{\prime }}\in U_{j^{\prime },t_1^{j^{\prime }}}$、したがって、$t^{j^{\prime }}\notin U_{j^{\prime },t_2^{j^{\prime }}}$、したがって、$t\notin U_{t_2}$。

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参考資料

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