\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインから\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）をマニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）上の任意のポイントに対して、もしも、あるチャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、その任意のサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうするという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラードメイン、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該レギュラードメインから当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）を当該マニフォールド（多様体）の当該サブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'_1\): \(\in \{ \text{ 全ての } d' \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち } \}\)
\(M_1\): \(\in \{M'_1 \text{ の全てのレギュラードメインたち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{ \text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き } \}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(S\): \(= M_1\)、\(M'_1\)のサブセット（部分集合）として
\(f'\): \(: S \to M_2, s \mapsto f (s)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d'\)ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M'_1\)、\(M'_1\)の任意のレギュラードメイン\(M_1\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M_2\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f: M_1 \to M_2\)、\(M'_1\)のサブセット（部分集合）\(S = M_1\)、マップ（写像）\(f': S \to M_2, s \mapsto f (s)\)に対して、\(f'\)は\(C^\infty\)である。
3: 注
\(f\)と\(f'\)は各ポイントを同一ポイントへマップするが、それらは同一マップ（写像）ではない: \(f\)が\(C^\infty\)であるか否かは\(M_1\)のアトラスに依存する一方、\(f'\)が\(C^\infty\)であるか否かは\(M'_1\)のアトラスに依存する、したがって、本命題はトリビアルではない。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(m \in M_1\)に対して、\(M_1\)に対するあるアダプテッドチャート\((U'_m \subseteq M'_1, \phi'_m)\)を取り、任意のチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)を取り、\(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_m = V'_m \cap M_1 \subseteq M_1\)、つまり、\(f (V_m) \subseteq U_{f (m)}\)、を取り、アダプテッドチャート\((U'_m \cap V'_m \subseteq M'_1, \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m})\)および対応するアダプティングチャート\((U'_m \cap V'_m \cap M_1 \subseteq M_1, \pi_J \circ \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m \cap M_1})\)を取る; ステップ2: \(f\)が\(m\)において\(C^\infty\)であることは何を意味するかを、\((U_m := U'_m \cap V'_m \cap M \subseteq M_1, \phi_m := \pi_J \circ \phi'_m \vert_{U_m})\)に関して見る; ステップ3: \(f'\)が\(m\)において\(C^\infty\)であることは何を意味するかを、\((U'_m \cap V'_m \subseteq M'_1, \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m})\)に関して見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(m \in M_1\)は任意のものとしよう。
\(M_1\)は\(M'_1\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるから、\(M_1\)に対するあるアダプテッドチャート\((U'_m \subseteq M'_1, \phi'_m)\)がある。
任意のチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)を取ろう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるので、以下を満たす\(m\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_m \subseteq M_1\)、つまり、\(f (V_m) \subseteq U_{f (m)}\)、がある。\(M_1\)は\(M'_1\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるから、\(V_m = V'_m \cap M_1\)、ここで、\(V'_m \subseteq M'_1\)は\(m\)の\(M'_1\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）。
\((U'_m \cap V'_m \subseteq M'_1, \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m})\)はアダプテッドチャートである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）上の任意のポイントに対して、もしも、あるチャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、その任意のサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうするという命題によって。
対応するアダプティングチャートは\((U_m := U'_m \cap V'_m \cap M_1 \subseteq M_1, \phi_m := \pi_J \circ \phi'_m \vert_{U_m})\)である。
ステップ2:
\(f (U'_m \cap V'_m \cap M_1) \subseteq f (V'_m \cap M_1) = f (V_m) \subseteq U_{f (m)}\)。
したがって、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって、\(\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}: \phi_m (U_m) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)は\(\phi_m (m)\)において\(C^\infty\)である。
ステップ3:
\(f' (U'_m \cap V'_m \cap S) = f (U'_m \cap V'_m \cap M_1) \subseteq U_{f (m)}\)。
バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって、\(f'\)は\(C^\infty\)である、もしも、\(\phi_{f (m)} \circ f' \circ {\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m}}^{-1} \vert_{\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m} (U'_m \cap V'_m \cap S)}: \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m} (U'_m \cap V'_m \cap S) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)が\(\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m} (m) = \phi'_m (m)\)において\(C^\infty\)である場合。
ステップ4:
\(\phi_m (U_m) = \pi_J \circ \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m \cap M_1} (U'_m \cap V'_m \cap M_1) = \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m \cap M_1} (U'_m \cap V'_m \cap M_1)\)、なぜなら、\(M_1\)はレギュラードメインである、それが意味するのは、\(M_1\)のコディメンション（余次元）は\(0\)であること、から、\(\pi_J\)は何もしない。
他方で、\(\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m} (U'_m \cap V'_m \cap S) = \phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m \cap M_1} (U'_m \cap V'_m \cap M_1)\)。
したがって、実のところ、\(\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}\)のドメイン（定義域）と\(\phi_{f (m)} \circ f' \circ {\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m}}^{-1} \vert_{\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m} (U'_m \cap V'_m \cap S)}\)のドメイン（定義域）は同一であり、当該2マップ（写像）たちは同一である。
したがって、\(\phi_{f (m)} \circ f' \circ {\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m}}^{-1} \vert_{\phi'_m \vert_{U'_m \cap V'_m} (U'_m \cap V'_m \cap S)}\)は\(\phi'_m (m)\)において\(C^\infty\)であり、\(\phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}\)は\(\phi_m (m) = \phi'_m (m)\)において\(C^\infty\)であるから。
したがって、\(f'\)\(C^\infty\)である。
