784: C∞マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインからC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中へのC∞マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）をマニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）はC∞である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインから$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）をマニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

---

話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）上の任意のポイントに対して、もしも、あるチャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、その任意のサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうするという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラードメイン、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該レギュラードメインから当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）を当該マニフォールド（多様体）の当該サブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{d}^{\prime }\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M_1$: $\in \{M_1^{\prime }\text{ の全てのレギュラードメインたち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
$f$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$S$: $=M_1$、$M_1^{\prime }$のサブセット（部分集合）として
$f^{\prime }$: $:S\to M_2,s\mapsto f(s)$
//

ステートメント（言明）たち:
$f^{\prime }\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

---

2: 自然言語記述

任意の$d^{\prime }$ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M_1^{\prime }$、$M_1^{\prime }$の任意のレギュラードメイン$M_1$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き$M_2$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f:M_1\to M_2$、$M_1^{\prime }$のサブセット（部分集合）$S=M_1$、マップ（写像）$f^{\prime }:S\to M_2,s\mapsto f(s)$に対して、$f^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

---

3: 注

$f$と$f^{\prime }$は各ポイントを同一ポイントへマップするが、それらは同一マップ（写像）ではない: $f$が$C^{\mathrm{\infty }}$であるか否かは$M_1$のアトラスに依存する一方、$f^{\prime }$が$C^{\mathrm{\infty }}$であるか否かは$M_1^{\prime }$のアトラスに依存する、したがって、本命題はトリビアルではない。

---

4: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$m\in M_1$に対して、$M_1$に対するあるアダプテッドチャート$(U_m^{\prime }\subseteq M_1^{\prime },{\varphi }_m^{\prime })$を取り、任意のチャート$(U_{f(m)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(m)})$を取り、$m$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$V_m=V_m^{\prime }\cap M_1\subseteq M_1$、つまり、$f(V_m)\subseteq U_{f(m)}$、を取り、アダプテッドチャート$(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\subseteq M_1^{\prime },{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }})$および対応するアダプティングチャート$(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1\subseteq M_1,{\pi }_J\circ {\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1})$を取る; ステップ2: $f$が$m$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることは何を意味するかを、$(U_m:=U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M\subseteq M_1,{\varphi }_m:={\pi }_J\circ {\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m})$に関して見る; ステップ3: $f^{\prime }$が$m$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることは何を意味するかを、$(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\subseteq M_1^{\prime },{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }})$に関して見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

$m\in M_1$は任意のものとしよう。

$M_1$は$M_1^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるから、$M_1$に対するあるアダプテッドチャート$(U_m^{\prime }\subseteq M_1^{\prime },{\varphi }_m^{\prime })$がある。

任意のチャート$(U_{f(m)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(m)})$を取ろう。

$f$はコンティニュアス（連続）であるので、以下を満たす$m$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$V_m\subseteq M_1$、つまり、$f(V_m)\subseteq U_{f(m)}$、がある。$M_1$は$M_1^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるから、$V_m=V_m^{\prime }\cap M_1$、ここで、$V_m^{\prime }\subseteq M_1^{\prime }$は$m$の$M_1^{\prime }$上のオープンネイバーフッド（開近傍）。

$(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\subseteq M_1^{\prime },{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }})$はアダプテッドチャートである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）上の任意のポイントに対して、もしも、あるチャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、その任意のサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうするという命題によって。

対応するアダプティングチャートは$(U_m:=U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1\subseteq M_1,{\varphi }_m:={\pi }_J\circ {\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m})$である。

ステップ2:

$f(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1)\subseteq f(V_m^{\prime }\cap M_1)=f(V_m)\subseteq U_{f(m)}$。

したがって、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって、${\varphi }_{f(m)}\circ f\circ {{\varphi }_m}^{-1}:{\varphi }_m(U_m)\to {\varphi }_{f(m)}(U_{f(m)})$は${\varphi }_m(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ3:

$f^{\prime }(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap S)=f(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1)\subseteq U_{f(m)}$。

バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって、$f^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、${\varphi }_{f(m)}\circ f^{\prime }\circ {{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}}^{-1}{|}_{{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap S)}:{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap S)\to {\varphi }_{f(m)}(U_{f(m)})$が${\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}(m)={\varphi }_m^{\prime }(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である場合。

ステップ4:

${\varphi }_m(U_m)={\pi }_J\circ {\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1)={\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1)$、なぜなら、$M_1$はレギュラードメインである、それが意味するのは、$M_1$のコディメンション（余次元）は$0$であること、から、${\pi }_J$は何もしない。

他方で、${\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap S)={\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap M_1)$。

したがって、実のところ、${\varphi }_{f(m)}\circ f\circ {{\varphi }_m}^{-1}$のドメイン（定義域）と${\varphi }_{f(m)}\circ f^{\prime }\circ {{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}}^{-1}{|}_{{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap S)}$のドメイン（定義域）は同一であり、当該2マップ（写像）たちは同一である。

したがって、${\varphi }_{f(m)}\circ f^{\prime }\circ {{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}}^{-1}{|}_{{\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }}(U_m^{\prime }\cap V_m^{\prime }\cap S)}$は${\varphi }_m^{\prime }(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であり、${\varphi }_{f(m)}\circ f\circ {{\varphi }_m}^{-1}$は${\varphi }_m(m)={\varphi }_m^{\prime }(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるから。

したがって、$f^{\prime }$$C^{\mathrm{\infty }}$である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>