766: プロダクトトポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である|T.B.P.日本語版

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プロダクトトポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述1

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

A^{'}

\in {全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち}

{T_{α} | α \in A^{'}}

T_{α} \in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

T_{1}^{'}

= \times_{α \in A^{'}} T_{α}

= 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）

T_{2}^{'}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

f^{'}

: T_{1}^{'} \to T_{2}^{'}

\in {全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち}

A^{″}

\subset A^{'}

T_{1}^{″}

= \times_{α \in A^{″}} T_{α}

= 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）

t_{α}

\in T_{α}

、各

α \in A^{'} ∖ A^{″}

に対して

π_{A^{″}}

: T_{1}^{'} \to T_{1}^{″}

、それは、

A^{″}

コンポーネントたちを取る

τ_{A^{″}}

: T_{1}^{″} \to T_{1}^{'}

、それは、

A^{'} ∖ A^{″}

コンポーネントたちを

t_{α}

たちとして追加する

f^{″}

: T_{1}^{″} \to T_{2}^{'}, t^{″} \mapsto f^{'} (τ_{A^{″}} (t^{″}))

//

ステートメント（言明）たち:

f^{″} \in {全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち}

2: 自然言語記述1

任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）

A^{'}

、トポロジカルスペース（空間）たちの任意のセット（集合）

{T_{α} | α \in A^{'}}

、プロダクトトポロジカルスペース（空間）

T_{1}^{'} = \times_{α \in A^{'}} T_{α}

、任意のトポロジカルスペース（空間）

T_{2}^{'}

、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）

f^{'} : T_{1}^{'} \to T_{2}^{'}

、任意のサブセット（部分集合）

A^{″} \subset A^{'}

、プロダクトトポロジカルスペース（空間）

T_{1}^{″} = \times_{α \in A^{″}} T_{α}

、各

α \in A^{'} ∖ A^{″}

に対して任意の

t_{α} \in T_{α}

、マップ（写像）

π_{A^{″}} : T_{1}^{'} \to T_{1}^{″}

、それは、

A^{″}

コンポーネントたちを取る、マップ（写像）

τ_{A^{″}} : T_{1}^{″} \to T_{1}^{'}

、それは、

A^{'} ∖ A^{″}

コンポーネントたちを

t_{α}

たちとして追加する、

f^{″} : T_{1}^{″} \to T_{2}^{'}, t^{″} \mapsto f^{'} (τ_{A^{'}} (t^{″}))

に対して、

f^{‴}

はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である。

3: 証明1

全体戦略: ステップ1: 各ポイント

p^{″} \in T_{1}^{″}

に対して、

p^{'} := τ_{A^{″}} (p^{″}) \in T_{1}^{'}

を取り、

f^{'} (p^{'})

の各ネイバーフッド（近傍）

N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

に対して、

p^{'}

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

\times_{α \in A^{'}} U_{α, β} \subseteq T_{1}^{'}

、つまり、

f^{'} (\times_{α \in A^{'}} U_{α, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、を取る; ステップ2:

\times_{α \in A^{″}} U_{α, β} \subseteq T_{1}^{″}

は、

p^{″}

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、

f^{″} (\times_{α \in A^{″}} U_{α, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、であることを見る。

ステップ1:

p^{″} \in T_{1}^{″}

は任意のものであるとしよう。

p^{'} := τ_{A^{″}} (p^{″}) \in T_{1}^{'}

としよう。

f^{'} (p^{'}) \in T_{2}^{'}

の任意のネイバーフッド（近傍）

N_{f^{'} (p^{'})}^{'} \subseteq T_{2}^{'}

に対して、

p^{'}

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{p^{'}}^{'} \subseteq T_{1}^{'}

、つまり、

f^{'} (U_{p^{'}}^{'}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、がある、なぜなら、

f^{'}

はコンティニュアス（連続）である。

U_{p^{'}}^{'} = \cup_{β \in B} \times_{α \in A^{'}} U_{α, β}

、ここで、

B

は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、

U_{α, β}

は

T_{α}

のオープンサブセット（開部分集合）で、各

β

に対して、

U_{α, β}

たちの内の有限数のものたちだけの各々が

T_{α}

でない、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。ある

β

に対して

p^{'} \in \times_{α \in A^{'}} U_{α, β}

、そして、私たちは、その単一

\times_{α \in A^{'}} U_{α, β}

だけを取ることができる、なぜなら、それは、

p^{'}

のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、

f (\times_{α \in A^{'}} U_{α, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

を満たす。

\times_{α \in A^{″}} U_{α, β}

は、

p^{″}

のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、

f^{″} (\times_{α \in A^{″}} U_{α, β}) \subseteq f^{'} (\times_{α \in A^{'}} U_{α, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、なぜなら、各

q \in f^{″} (\times_{α \in A^{″}} U_{α, β})

に対して、ある

q^{″} \in \times_{α \in A^{″}} U_{α, β}

に対して

q = f^{″} (q^{″})

、しかし、

τ_{A^{″}} (p^{″}) \in \times_{α \in A^{'}} U_{α, β}

、そして、

p^{″} = f^{″} (q^{″}) = f^{'} (τ_{A^{'}} (q^{″})) \in f^{'} (\times_{α \in A^{'}} U_{α, β})

。

したがって、

f^{″}

は任意のポイント

p^{″} \in T_{1}^{″}

においてコンティニュアス（連続）である、したがって、全体としてコンティニュアス（連続）である。

4: 構造化された記述2

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

J^{'}

= {1, . . ., n}

{T_{j} | j \in J^{'}}

T_{j} \in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

T_{1}^{'}

= T_{1} \times . . . \times T_{n}

= 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）

T_{2}^{'}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

f^{'}

: T_{1}^{'} \to T_{2}^{'}

\in {全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち}

J^{″}

\subset J^{'}

T_{1}^{″}

= \times_{j \in J^{″}} T_{j}

= 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）

t_{j}

\in T_{j}

、各

j \in J^{'} ∖ J^{″}

に対して

π_{J^{″}}

: T_{1}^{'} \to T_{1}^{″}

、それは、

J^{″}

コンポーネントたちを取る

τ_{J^{″}}

: T_{1}^{″} \to T_{1}^{'}

、それは、

J^{'} ∖ J^{″}

コンポーネントたちを

t_{j}

たちとして追加する

f^{″}

: T_{1}^{″} \to T_{2}^{'}, t^{″} \mapsto f^{'} (τ_{J^{″}} (t^{″}))

//

ステートメント（言明）:

f^{″} \in {全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち}

5: 自然言語記述2

J^{'} = {1, . . ., n}

、トポロジカルスペース（空間）たちの任意のセット（集合）

{T_{j} | j \in J^{'}}

、プロダクトトポロジカルスペース（空間）

T_{1}^{'} = T_{1} \times . . . \times T_{n}

、任意のトポロジカルスペース（空間）

T_{2}^{'}

、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）

f^{'} : T_{1}^{'} \to T_{2}^{'}

、任意のサブセット（部分集合）

J^{″} \subset J^{'}

、プロダクトトポロジカルスペース（空間）

T_{1}^{″} = \times_{j \in J^{″}} T_{j}

、各

j \in J^{'} ∖ J^{″}

に対して任意の

t_{j} \in T_{j}

、マップ（写像）

π_{J^{″}} : T_{1}^{'} \to T_{1}^{″}

、それは、

J^{″}

コンポーネントたちを取る、

τ_{J^{″}} : T_{1}^{″} \to T_{1}^{'}

、それは、

J^{'} ∖ J^{″}

コンポーネントたちを

t_{j}

たちとして追加する、

f^{″} : T_{1}^{″} \to T_{2}^{'}, t^{″} \mapsto f^{'} (τ_{J^{″}} (t^{″}))

に対して、

f^{″}

はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である。

6: 証明2

全体戦略: ステップ1: 各ポイント

p^{″} \in T_{1}^{″}

に対して、

p^{'} := τ_{J^{″}} (p^{″}) \in T_{1}^{'}

を取り、

f^{'} (p^{'})

の各ネイバーフッド（近傍）

N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

に対して、

p^{'}

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β} \subseteq T_{1}^{'}

、つまり、

f^{'} (U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、を取る; ステップ2: see that

\times_{j \in J^{″}} U_{j, β} \subseteq T_{1}^{″}

は

p^{″}

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、

f^{″} (\times_{j \in J^{″}} U_{j, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、であることを見る。

ステップ1:

p^{″} \in T_{1}^{″}

は任意のものであるとしよう。

p^{'} := τ_{J^{″}} (p^{″}) \in T_{1}^{'}

としよう。

f^{'} (p^{'}) \in T_{2}^{'}

の任意のネイバーフッド（近傍）

N_{f^{'} (p^{'})}^{'} \subseteq T_{2}^{'}

に対して、

p^{'}

のあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{p^{'}}^{'} \subseteq T_{1}^{'}

、つまり、

f^{'} (U_{p^{'}}^{'}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、がある、なぜなら、

f^{'}

はコンティニュアス（連続）である。

U_{p^{'}}^{'} = \cup_{β \in B} (U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β})

、ここで、

B

は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、

U_{j, β}

は

T_{j}

のオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。ある

β

に対して、

p^{'} \in U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β}

、そして、私たちは、その単一

U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β}

だけを取ることができる、なぜなら、それは、

p^{'}

のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、

f^{'} (U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

を満たす。

ステップ2:

\times_{j \in J^{″}} U_{j, β}

は

p^{″}

のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、

f^{″} (\times_{j \in J^{″}} U_{j, β}) \subseteq f^{'} (U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β}) \subseteq N_{f^{'} (p^{'})}^{'}

、なぜなら、各

q \in f^{″} (\times_{j \in J^{″}} U_{j, β})

に対して、以下を満たすある

q^{″} \in \times_{j \in J^{″}} U_{j, β}

、つまり、

q = f^{″} (q^{″})

、があり、

τ_{J^{'}} (q^{″}) \in U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β}

、および、

q = f^{″} (q^{″}) = f^{'} (τ_{J^{″}} (q^{″})) \in f^{'} (U_{1, β} \times . . . \times U_{n, β})

。

したがって、

f^{″}

は任意のポイント

p^{″} \in T_{j}^{″}

においてコンティニュアス（連続）であり、したがって、全体としてコンティニュアス（連続）である。

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2024年9月15日日曜日

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3: 証明1

4: 構造化された記述2

5: 自然言語記述2

6: 証明2

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