プロダクトトポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述1
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(A'\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_\alpha \vert \alpha \in A'\}\): \(T_\alpha \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T'_1\): \(= \times_{\alpha \in A'} T_\alpha\), \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T'_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: T'_1 \to T'_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(A''\): \(\subset A'\)
\(T''_1\): \(= \times_{\alpha \in A''} T_\alpha\), \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(t_\alpha\): \(\in T_\alpha\)、各\(\alpha \in A' \setminus A''\)に対して
\(\pi_{A''}\): \(: T'_1 \to T''_1\)、それは、\(A''\)コンポーネントたちを取る
\(\tau_{A''}\): \(: T''_1 \to T'_1\)、それは、\(A' \setminus A''\)コンポーネントたちを\(t_\alpha\)たちとして追加する
\(f''\): \(: T''_1 \to T'_2, t'' \mapsto f' (\tau_{A''} (t''))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f'' \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述1
任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）\(A'\)、トポロジカルスペース（空間）たちの任意のセット（集合）\(\{T_\alpha \vert \alpha \in A'\}\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T'_1 = \times_{\alpha \in A'} T_\alpha\)、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T'_2\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f': T'_1 \to T'_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(A'' \subset A'\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T''_1 = \times_{\alpha \in A''} T_\alpha\)、各\(\alpha \in A' \setminus A''\)に対して任意の\(t_\alpha \in T_\alpha\)、マップ（写像）\(\pi_{A''}: T'_1 \to T''_1\)、それは、\(A''\)コンポーネントたちを取る、マップ（写像）\(\tau_{A''}: T''_1 \to T'_1\)、それは、\(A' \setminus A''\)コンポーネントたちを\(t_\alpha\)たちとして追加する、\(f'': T''_1 \to T'_2, t'' \mapsto f' (\tau_{A'} (t''))\)に対して、\(f'''\)はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である。
3: 証明1
全体戦略: ステップ1: 各ポイント\(p'' \in T''_1\)に対して、\(p' := \tau_{A''} (p'') \in T'_1\)を取り、\(f' (p')\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N'_{f' (p')}\)に対して、\(p'\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(\times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta} \subseteq T'_1\)、つまり、\(f' (\times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、を取る; ステップ2: \(\times_{\alpha \in A''} U_{\alpha, \beta} \subseteq T''_1\)は、\(p''\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(f'' (\times_{\alpha \in A''} U_{\alpha, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、であることを見る。
ステップ1:
\(p'' \in T''_1\)は任意のものであるとしよう。
\(p' := \tau_{A''} (p'') \in T'_1\)としよう。
\(f' (p') \in T'_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N'_{f' (p')} \subseteq T'_2\)に対して、\(p'\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{p'} \subseteq T'_1\)、つまり、\(f' (U'_{p'}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、がある、なぜなら、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。
\(U'_{p'} = \cup_{\beta \in B} \times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}\)、ここで、\(B\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、\(U_{\alpha, \beta}\)は\(T_\alpha\)のオープンサブセット（開部分集合）で、各\(\beta\)に対して、\(U_{\alpha, \beta}\)たちの内の有限数のものたちだけの各々が\(T_\alpha\)でない、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。ある\(\beta\)に対して\(p' \in \times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}\)、そして、私たちは、その単一\(\times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}\)だけを取ることができる、なぜなら、それは、\(p'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f (\times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)を満たす。
\(\times_{\alpha \in A''} U_{\alpha, \beta}\)は、\(p''\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f'' (\times_{\alpha \in A''} U_{\alpha, \beta}) \subseteq f' (\times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、なぜなら、各\(q \in f'' (\times_{\alpha \in A''} U_{\alpha, \beta})\)に対して、ある\(q'' \in \times_{\alpha \in A''} U_{\alpha, \beta}\)に対して\(q = f'' (q'')\)、しかし、\(\tau_{A''} (p'') \in \times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta}\)、そして、\(p'' = f'' (q'') = f' (\tau_{A'} (q'')) \in f' (\times_{\alpha \in A'} U_{\alpha, \beta})\)。
したがって、\(f''\)は任意のポイント\(p'' \in T''_1\)においてコンティニュアス（連続）である、したがって、全体としてコンティニュアス（連続）である。
4: 構造化された記述2
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J'\): \(= \{1, ..., n\}\)
\(\{T_j \vert j \in J'\}\): \(T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T'_1\): \(= T_1 \times . . . \times T_n\), \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T'_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: T'_1 \to T'_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(J''\): \(\subset J'\)
\(T''_1\): \(= \times_{j \in J''} T_j\), \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(t_j\): \(\in T_j\)、各\(j \in J' \setminus J''\)に対して
\(\pi_{J''}\): \(: T'_1 \to T''_1\)、それは、\(J''\)コンポーネントたちを取る
\(\tau_{J''}\): \(: T''_1 \to T'_1\)、それは、\(J' \setminus J''\)コンポーネントたちを\(t_j\)たちとして追加する
\(f''\): \(: T''_1 \to T'_2, t'' \mapsto f' (\tau_{J''} (t''))\)
//
ステートメント（言明）:
\(f'' \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
5: 自然言語記述2
\(J' = \{1, ..., n\}\)、トポロジカルスペース（空間）たちの任意のセット（集合）\(\{T_j \vert j \in J'\}\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T'_1 = T_1 \times . . . \times T_n\)、任意のトポロジカルスペース（空間）\(T'_2\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f': T'_1 \to T'_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(J'' \subset J'\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）\(T''_1 = \times_{j \in J''} T_j\)、各\(j \in J' \setminus J''\)に対して任意の\(t_j \in T_j\)、マップ（写像）\(\pi_{J''}: T'_1 \to T''_1\)、それは、\(J''\)コンポーネントたちを取る、\(\tau_{J''}: T''_1 \to T'_1\)、それは、\(J' \setminus J''\)コンポーネントたちを\(t_j\)たちとして追加する、\(f'': T''_1 \to T'_2, t'' \mapsto f' (\tau_{J''} (t''))\)に対して、\(f''\)はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である。
6: 証明2
全体戦略: ステップ1: 各ポイント\(p'' \in T''_1\)に対して、\(p' := \tau_{J''} (p'') \in T'_1\)を取り、\(f' (p')\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N'_{f' (p')}\)に対して、\(p'\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta} \subseteq T'_1\)、つまり、\(f' (U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、を取る; ステップ2: see that \(\times_{j \in J''} U_{j, \beta} \subseteq T''_1\)は\(p''\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(f'' (\times_{j \in J''} U_{j, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、であることを見る。
ステップ1:
\(p'' \in T''_1\)は任意のものであるとしよう。
\(p' := \tau_{J''} (p'') \in T'_1\)としよう。
\(f' (p') \in T'_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N'_{f' (p')} \subseteq T'_2\)に対して、\(p'\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{p'} \subseteq T'_1\)、つまり、\(f' (U'_{p'}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、がある、なぜなら、\(f'\)はコンティニュアス（連続）である。
\(U'_{p'} = \cup_{\beta \in B} (U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta})\)、ここで、\(B\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、\(U_{j, \beta}\)は\(T_j\)のオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。ある\(\beta\)に対して、\(p' \in U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta}\)、そして、私たちは、その単一\(U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta}\)だけを取ることができる、なぜなら、それは、\(p'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f' (U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)を満たす。
ステップ2:
\(\times_{j \in J''} U_{j, \beta}\)は\(p''\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(f'' (\times_{j \in J''} U_{j, \beta}) \subseteq f' (U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta}) \subseteq N'_{f' (p')}\)、なぜなら、各\(q \in f'' (\times_{j \in J''} U_{j, \beta})\)に対して、以下を満たすある\(q'' \in \times_{j \in J''} U_{j, \beta}\)、つまり、\(q = f'' (q'')\)、があり、\(\tau_{J'} (q'') \in U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta}\)、および、\(q = f'' (q'') = f' (\tau_{J''} (q'')) \in f' (U_{1, \beta} \times ... \times U_{n, \beta})\)。
したがって、\(f''\)は任意のポイント\(p'' \in T''_j\)においてコンティニュアス（連続）であり、したがって、全体としてコンティニュアス（連続）である。
