ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）、任意のより低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、任意のポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）は当該ポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M'_1\): \(= M_1 \times ... \times M_n = \text{ 当該プロダクト } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\(d'\): \(= dim M'_1\)
\(M'_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(d'_2\): \(= dim M'_2\)
\(f'\): \(: M'_1 \to M'_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(J''\): \(\subset \{1, ..., n\}\)
\(M''_1\): \(= \times_{j \in J''} M_j\)
\(d''\): \(= dim M''_1\)
\(m_j\): \(\in M_j\)、各\(j \in \{1, ..., n\} \setminus J''\)に対して
\(f''\): \(: M''_1 \to M'_2, m'' \mapsto f' (m'_1, ..., m'_n)\)、ここで、\(j \in J''\)に対して\(m'_j\)は\(m''\)の\(M_j\)コンポーネントであり、\(j \in \{1, ..., n\} \setminus J''\)に対して\(m'_j\)は\(m_j\)である
//
ステートメント（言明）たち:
\(f'' \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, ..., M_{n - 1}\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M_n\)、プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M'_1 = M_1 \times ... \times M_n\)、\(d' = dim M'_1\)、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M'_2\)、\(d'_2 = dim M'_2\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f': M'_1 \to M'_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(J'' \subset \{1, ..., n\}\)、プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M''_1 := \times_{j \in J''} M_j\)、\(d'' = dim M''_1\)、各\(j \in \{1, ..., n\} \setminus J''\)に対して任意の要素\(m_j \in M_j\)、マップ（写像）\(f'': M''_1 \to M'_2, m'' \mapsto f' (m'_1, ..., m'_n)\)、ここで、\(j \in J''\)に対して\(m'_j\)は\(m''\)の\(M_j\)コンポーネント、\(j \in \{1, ..., n\} \setminus J''\)に対して\(m'_j\)は\(m_j\)である、に対して、\(f''\)は\(C^\infty\)マップ（写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\pi_{J''}: M'_1 \to M''_1\)、それは\(J''\)コンポーネントたちを取る、および、\(\tau_{J''}: M''_1 \to M'_1\)、それは\(\{1, ..., n\} \setminus J''\)コンポーネントたちを\(m_j\)たちとして追加する、を定義する; 以下を満たす各\(K'' \subset \{1, ..., d'\}\)、つまり、\(\vert K'' \vert = d''\)、および\(r' \in \mathbb{R}^{d'}\)に対して、\(\lambda_{K'', r'}: Pow (\mathbb{R}^{d'}) \to Pow (\mathbb{R}^{d'}), S \mapsto \{s \in S \vert \forall j \in \{1, ..., d'\} \setminus K'' (s^j = r'^j)\}\)、\(\pi_{K''}: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^{d''}\)、それは\(K''\)コンポーネントたちを取る、\(\tau_{K'', r'}: \mathbb{R}^{d''} \to \mathbb{R}^{d'}\)、それは\(\{1, ..., d'\} \setminus K''\)コンポーネントたちを\(r'\)のそれらとして追加する、を定義する; ステップ2: 各\(m' = (m'_1, ..., m'_n) \in M'_1\)に対して、以下を満たすあるチャート\((U'_{m'} = U_{m'_1} \times ... \times U_{m'_n} \subseteq M'_1, \phi'_{m'} = \phi_{m'_1} \times ... \times \phi_{m'_n})\)およびあるチャート\((U'_{f' (m')} \subseteq M'_2, \phi'_{f' (m')})\)、つまり、\(f' (U'_{m'}) \subseteq U'_{f' (m')}\)、を選ぶ; ステップ3: 任意の\(m'' \in M''_1\)、\(m' := \tau_{J''} (m'')\)、チャート\((U''_{m''} = \times_{j \in J''} U_{m'_j} \subseteq M''_1, \phi''_{m''} = \times_{j \in J''} \phi_{m'_j})\)に対して、\(\phi'_{f' (m')} \circ f'' \circ {\phi''_{m''}}^{-1}: \phi''_{m''} (U''_{m''}) \to \phi'_{m'} (U'_{f' (m')})\)は\(C^\infty\)であることを見る。
ステップ1:
準備として、いくつかのマップ（写像）たち、それらは後に頻繁に使われる、を定義しよう。
\(\pi_{J''}: M'_1 \to M''_1\)、それは\(J''\)コンポーネントたちを取る、を定義しよう。
\(\tau_{J''}: M''_1 \to M'_1\)、それは\(\{1, ..., n\} \setminus J''\)コンポーネントたちを\(m_j\)たちとして追加する、を定義しよう。
\(M'_1\)は\(d'\)ディメンショナル（次元）であるので、各チャートマップ（写像）のコドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{d'}\)内にある、その一方、\(M''_1\)は\(d''\)ディメンショナル（次元）であるので、各チャートマップ（写像）のコドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{d''}\)内にある。\(K'' \subset \{1, ..., d'\}\)は\(\mathbb{R}^{d''}\)に対応するインデックスたちセット（集合）であるとしよう: 例えば、\(dim M_1 = 1, dim M_2 = 2, dim M_3 = 3\)で\(J'' = \{1, 3\}\)である時、\(d' = 6\)、\(K'' = \{1, 4, 5, 6\}\)、\(d'' = 4\)である: \(2, 3\)は欠けている、なぜなら、\(M_2\)は除外されている。
\(r' \in \mathbb{R}^{d'}\)は任意のものであるとしよう。
\(\lambda_{K'', r'}: Pow (\mathbb{R}^{d'}) \to Pow (\mathbb{R}^{d'}), S \mapsto \{s \in S \vert \forall j \in \{1, ..., d'\} \setminus K'' (s^j = r'^j)\}\)、それは、\(\{1, ..., d'\} \setminus K''\)コンポーネントたちが\(r'\)のそれらに等しいポイントたちを選択する、を定義しよう。
\(\pi_{K''}: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^{d''}\)、それは\(K''\)コンポーネントたちを取る、を定義しよう。
\(\tau_{K'', r'}: \mathbb{R}^{d''} \to \mathbb{R}^{d'}\)、それは\(\{1, ..., d'\} \setminus K''\)コンポーネントたちを\(r'\)のそれらとして追加する、を定義しょう。
ステップ2:
\(m' = (m'_1, ..., m'_n) \in M'_1\)は、各\(j \in \{1, ..., n\} \setminus J''\)に対して \(m'_j = m_j\)である任意のものとしよう。
\(f'\)は\(C^\infty\)であるので、以下を満たすあるチャート\((U'_{m'} = U_{m'_1} \times ... \times U_{m'_n} \subseteq M'_1, \phi'_{m'} = \phi_{m'_1} \times ... \times \phi_{m'_n})\)あるチャート\((U'_{f' (m')} \subseteq M'_2, \phi'_{f' (m')})\)、つまり、\(f' (U'_{m'}) \subseteq U'_{f' (m')}\)および\(\phi'_{f' (m')} \circ f' \circ {\phi'_{m'}}^{-1}: \phi'_{m'} (U'_{m'}) \to \phi'_{f' (m')} (U'_{f' (m')})\)は\(\phi'_{m'} (m')\)において\(C^\infty\)である、がある、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含むによって。注意として、\(M'_1\)に対するチャートはそのようにあるベーシックオープンセット（開集合）として取ることができる、なぜなら、ベーシックオープンセット（開集合）たちはプロダクトトポロジーを生成するから、プロダクトトポロジーの定義によって。
それが意味するのは、\(\phi'_{m'} (m')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{\phi'_{m'} (m')} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)およびある\(C^\infty\)マップ（写像）\(g': U'_{\phi'_{m'} (m')} \to \mathbb{R}^{d'_2}\)で、\(g' \vert_{U'_{\phi'_{m'} (m')} \cap \phi'_{m'} (U'_{m'})} = \phi'_{f' (m')} \circ f' \circ {\phi'_{m'}}^{-1} \vert_{U'_{\phi'_{m'} (m')} \cap \phi'_{m'} (U'_{m'})}\)を満たすものたちがある、ということ。
ステップ3:
各\(m'' \in M''_1\)に対して、\(m' := \tau_{J''} (m'') \in M'_1\)がある。\(m'' = \pi_{J''} (m')\)。
\((U''_{m''} = \times_{j \in J''} U_{m'_j} \subseteq M''_1, \phi''_{m''} = \times_{j \in J''} \phi_{m'_j})\)は、\(m''\)の周りの\(M''_1\)に対するチャートである。
\(\tau_{J''} (U''_{m''}) \subseteq U'_{m'}\)、なぜなら、各\(j \in \{1, ..., n\} \setminus J''\)に対して、\(m'_j \in U_{m'_j}\)。
\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (\phi''_{m''} (U''_{m''})) \subseteq \phi'_{m'} (U'_{m'})\)、なぜなら、\(\phi'_{m'} (\tau_{J''} (U''_{m''})) \subseteq \phi'_{m'} (U'_{m'})\)、しかし、\(\phi'_{m'} (\tau_{J''} (U''_{m''})) = \tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (\phi''_{m''} (U''_{m''}))\)、なぜなら、各\(p \in U''_{m''}\)に対して、\(\tau_{J''}\)は\(\{1, ..., n\} \setminus J''\)コンポーネントたちを\(m_j\)たちとして追加し、\(\phi'_{m'}\)は\(\{1, ..., n\} \setminus J''\)コンポーネントたちを\(\{1, ..., d'\} \setminus K''\)コンポーネントたちへ\(\phi_{m'_j} (m_j)\)たちとしてマップする、その一方で、\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')}\)は\(\{1, ..., d'\} \setminus K''\)コンポーネントたちを\(\phi_{m'_j} (m_j)\)たちとして追加し、そして、\(\phi'_{m'} \circ \tau_{J''}\)および\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} \circ \phi''_{m''}\)は\(J''\)コンポーネントたちを同じようにマップする。
\(f'' (U''_{m''}) = f' (\tau_{J''} (U''_{m''})) \subseteq f' (U'_{m'}) \subseteq U'_{f' (m')}\)。
したがって、私たちは、チャート\((U'_{f' (m')} \subseteq M'_2, \phi'_{f' (m')})\)を、\(f''\)が\(C^\infty\)であることをチェックするために取ることができる。
私たちが示す必要があることは、\(\phi'_{f' (m')} \circ f'' \circ {\phi''_{m''}}^{-1}: \phi''_{m''} (U''_{m''}) \to \phi'_{m'} (U'_{f' (m')})\)は\(\phi''_{m''} (m'')\)において\(C^\infty\)であるということ、それは、\(\phi''_{m''} (m'')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_{\phi''_{m''} (m'')} \subseteq \mathbb{R}^{d''}\)およびある\(C^\infty\)マップ（写像）\(g'': U''_{\phi''_{m''} (m'')} \to \mathbb{R}^{d'_2}\)で、\(g'' \vert_{U''_{\phi''_{m''} (m'')} \cap \phi''_{m''} (U''_{m''})} = \phi'_{f' (m')} \circ f'' \circ {\phi''_{m''}}^{-1} \vert_{U''_{\phi''_{m''} (m'')} \cap \phi''_{m''} (U''_{m''})}\)を満たすものを選ぶという問題である。
私たちは、\(U''_{\phi''_{m''} (m'')} = \pi_{K''} \circ \lambda_{K'', \phi'_{m'} (m')} (U'_{\phi'_{m'} (m')})\)および\(g'' = g' \circ \tau_{K'', \phi'_{m'} (m')}\)を選択する。
\(\pi_{K''} (\phi'_{m'} (m')) = \phi''_{m''} (m'')\)、なぜなら、\(m''\)は\(m'\)の\(J''\)コンポーネントたちであり、\(\phi''_{m''} (m'')\)は\(\phi'_{m'} (m')\)の\(K''\)コンポーネントたちである、\(U''_{\phi''_{m''} (m'')}\)は本当に\(\phi''_{m''} (m'')\)の\(\mathbb{R}^{d''}\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(g''\)は妥当である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）、任意のより低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、任意のポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）は当該ポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であるという命題によって: \(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (U''_{\phi''_{m''} (m'')}) \subseteq U'_{\phi'_{m'} (m')}\)、なぜなら、\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} \circ \pi_{K''} \circ \lambda_{K'', \phi'_{m'} (m')} (U'_{\phi'_{m'} (m')}) = \lambda_{K'', \phi'_{m'} (m')} (U'_{\phi'_{m'} (m')}) \subseteq U'_{\phi'_{m'} (m')}\)。
それらは当該コンディションたちを満たすことをチェックしよう。
\(g' \circ \tau_{K'', \phi'_{m'} (m')}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')}\)はただいくつかのコンスタントコンポーネントたちを追加するだけであり、\(g'\)は\(C^\infty\)である。
\(g'' \vert_{U''_{\phi''_{m''} (m'')} \cap \phi''_{m''} (U''_{m''})} = g' \circ \tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} \vert_{U''_{\phi''_{m''} (m'')} \cap \phi''_{m''} (U''_{m''})}\)、しかし、各\(p \in U''_{\phi''_{m''} (m'')} \cap \phi''_{m''} (U''_{m''})\)に対して、\(g' \circ \tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (p) = \phi'_{f' (m')} \circ f' \circ {\phi'_{m'}}^{-1} (\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (p))\): 注意として、\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (p) \in U'_{\phi'_{m'} (m')} \cap \phi'_{m'} (U'_{m'})\)（いくつかの先行する段落たち内で示された、\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (\phi''_{m''} (U''_{m''})) \subseteq \phi'_{m'} (U'_{m'})\)および\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')} (U''_{\phi''_{m''} (m'')}) \subseteq U'_{\phi'_{m'} (m')}\)として）、\(= \phi'_{f' (m')} \circ f'' \circ {\phi''_{m''}}^{-1} (p)\)、なぜなら、\(\tau_{K'', \phi'_{m'} (m')}\)は\(\{1, ..., d'\} \setminus K''\)コンポーネントたちを\(\phi'_{m'} (m')\)のそれらとして追加し、それらは、\({\phi'_{m'}}^{-1}\)の下で\(\{1, ..., n\} \setminus J''\)コンポーネントたちとして\(m_j\)たちになり、その上の\(f'\)は\(f''\)に等しい。
したがって、それらは当該コンディションたちを満たす。
