765: ファイナイト（有限）プロダクト$C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの$C^\infty$マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は$C^\infty$である|T.B.P.日本語版

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ファイナイト（有限）プロダクト

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの

C^{\infty}

マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は

C^{\infty}

であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のファイナイト（有限）プロダクト $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの任意の $C^{\infty}$ マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は $C^{\infty}$ であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

{M_{1}, . . ., M_{n - 1}}

\subseteq {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）たち}

M_{n}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{1}^{'}

= M_{1} \times . . . \times M_{n} = 当該プロダクト C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

d^{'}

= d i m M_{1}^{'}

M_{2}^{'}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

d_{2}^{'}

= d i m M_{2}^{'}

f^{'}

: M_{1}^{'} \to M_{2}^{'}

\in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

J^{″}

\subset {1, . . ., n}

M_{1}^{″}

= \times_{j \in J^{″}} M_{j}

d^{″}

= d i m M_{1}^{″}

m_{j}

\in M_{j}

、各

j \in {1, . . ., n} ∖ J^{″}

に対して

f^{″}

: M_{1}^{″} \to M_{2}^{'}, m^{″} \mapsto f^{'} (m_{1}^{'}, . . ., m_{n}^{'})

、ここで、

j \in J^{″}

に対して

m_{j}^{'}

は

m^{″}

の

M_{j}

コンポーネントであり、

j \in {1, . . ., n} ∖ J^{″}

に対して

m_{j}^{'}

は

m_{j}

である
//

ステートメント（言明）たち:

f^{″} \in {全ての C^{\infty} マップ（写像）たち}

2: 自然言語記述

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たち

M_{1}, . . ., M_{n - 1}

、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

M_{n}

、プロダクト

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

M_{1}^{'} = M_{1} \times . . . \times M_{n}

、

d^{'} = d i m M_{1}^{'}

、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

M_{2}^{'}

、

d_{2}^{'} = d i m M_{2}^{'}

、任意の

C^{\infty}

マップ（写像）

f^{'} : M_{1}^{'} \to M_{2}^{'}

、任意のサブセット（部分集合）

J^{″} \subset {1, . . ., n}

、プロダクト

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

M_{1}^{″} := \times_{j \in J^{″}} M_{j}

、

d^{″} = d i m M_{1}^{″}

、各

j \in {1, . . ., n} ∖ J^{″}

に対して任意の要素

m_{j} \in M_{j}

、マップ（写像）

f^{″} : M_{1}^{″} \to M_{2}^{'}, m^{″} \mapsto f^{'} (m_{1}^{'}, . . ., m_{n}^{'})

、ここで、

j \in J^{″}

に対して

m_{j}^{'}

は

m^{″}

の

M_{j}

コンポーネント、

j \in {1, . . ., n} ∖ J^{″}

に対して

m_{j}^{'}

は

m_{j}

である、に対して、

f^{″}

は

C^{\infty}

マップ（写像）である。

3: 証明

全体戦略: ステップ1:

π_{J^{″}} : M_{1}^{'} \to M_{1}^{″}

、それは

J^{″}

コンポーネントたちを取る、および、

τ_{J^{″}} : M_{1}^{″} \to M_{1}^{'}

、それは

{1, . . ., n} ∖ J^{″}

コンポーネントたちを

m_{j}

たちとして追加する、を定義する; 以下を満たす各

K^{″} \subset {1, . . ., d^{'}}

、つまり、

| K^{″} | = d^{″}

、および

r^{'} \in R^{d^{'}}

に対して、

λ_{K^{″}, r^{'}} : P o w (R^{d^{'}}) \to P o w (R^{d^{'}}), S \mapsto {s \in S | \forall j \in {1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″} (s^{j} = r^{' j})}

、

π_{K^{″}} : R^{d^{'}} \to R^{d^{″}}

、それは

K^{″}

コンポーネントたちを取る、

τ_{K^{″}, r^{'}} : R^{d^{″}} \to R^{d^{'}}

、それは

{1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″}

コンポーネントたちを

r^{'}

のそれらとして追加する、を定義する; ステップ2: 各

m^{'} = (m_{1}^{'}, . . ., m_{n}^{'}) \in M_{1}^{'}

に対して、以下を満たすあるチャート

(U_{m^{'}}^{'} = U_{m_{1}^{'}} \times . . . \times U_{m_{n}^{'}} \subseteq M_{1}^{'}, ϕ_{m^{'}}^{'} = ϕ_{m_{1}^{'}} \times . . . \times ϕ_{m_{n}^{'}})

およびあるチャート

(U_{f^{'} (m^{'})}^{'} \subseteq M_{2}^{'}, ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'})

、つまり、

f^{'} (U_{m^{'}}^{'}) \subseteq U_{f^{'} (m^{'})}^{'}

、を選ぶ; ステップ3: 任意の

m^{″} \in M_{1}^{″}

、

m^{'} := τ_{J^{″}} (m^{″})

、チャート

(U_{m^{″}}^{″} = \times_{j \in J^{″}} U_{m_{j}^{'}} \subseteq M_{1}^{″}, ϕ_{m^{″}}^{″} = \times_{j \in J^{″}} ϕ_{m_{j}^{'}})

に対して、

ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{″} \circ {ϕ_{m^{″}}^{″}}^{- 1} : ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″}) \to ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{f^{'} (m^{'})}^{'})

は

C^{\infty}

であることを見る。

ステップ1:

準備として、いくつかのマップ（写像）たち、それらは後に頻繁に使われる、を定義しよう。

π_{J^{″}} : M_{1}^{'} \to M_{1}^{″}

、それは

J^{″}

コンポーネントたちを取る、を定義しよう。

τ_{J^{″}} : M_{1}^{″} \to M_{1}^{'}

、それは

{1, . . ., n} ∖ J^{″}

コンポーネントたちを

m_{j}

たちとして追加する、を定義しよう。

M_{1}^{'}

は

d^{'}

ディメンショナル（次元）であるので、各チャートマップ（写像）のコドメイン（余域）は

R^{d^{'}}

内にある、その一方、

M_{1}^{″}

は

d^{″}

ディメンショナル（次元）であるので、各チャートマップ（写像）のコドメイン（余域）は

R^{d^{″}}

内にある。

K^{″} \subset {1, . . ., d^{'}}

は

R^{d^{″}}

に対応するインデックスたちセット（集合）であるとしよう: 例えば、

d i m M_{1} = 1, d i m M_{2} = 2, d i m M_{3} = 3

で

J^{″} = {1, 3}

である時、

d^{'} = 6

、

K^{″} = {1, 4, 5, 6}

、

d^{″} = 4

である:

2, 3

は欠けている、なぜなら、

M_{2}

は除外されている。

r^{'} \in R^{d^{'}}

は任意のものであるとしよう。

λ_{K^{″}, r^{'}} : P o w (R^{d^{'}}) \to P o w (R^{d^{'}}), S \mapsto {s \in S | \forall j \in {1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″} (s^{j} = r^{' j})}

、それは、

{1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″}

コンポーネントたちが

r^{'}

のそれらに等しいポイントたちを選択する、を定義しよう。

π_{K^{″}} : R^{d^{'}} \to R^{d^{″}}

、それは

K^{″}

コンポーネントたちを取る、を定義しよう。

τ_{K^{″}, r^{'}} : R^{d^{″}} \to R^{d^{'}}

、それは

{1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″}

コンポーネントたちを

r^{'}

のそれらとして追加する、を定義しょう。

ステップ2:

m^{'} = (m_{1}^{'}, . . ., m_{n}^{'}) \in M_{1}^{'}

は、各

j \in {1, . . ., n} ∖ J^{″}

に対して

m_{j}^{'} = m_{j}

である任意のものとしよう。

f^{'}

は

C^{\infty}

であるので、以下を満たすあるチャート

(U_{m^{'}}^{'} = U_{m_{1}^{'}} \times . . . \times U_{m_{n}^{'}} \subseteq M_{1}^{'}, ϕ_{m^{'}}^{'} = ϕ_{m_{1}^{'}} \times . . . \times ϕ_{m_{n}^{'}})

あるチャート

(U_{f^{'} (m^{'})}^{'} \subseteq M_{2}^{'}, ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'})

、つまり、

f^{'} (U_{m^{'}}^{'}) \subseteq U_{f^{'} (m^{'})}^{'}

および

ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{m^{'}}^{'}}^{- 1} : ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'}) \to ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} (U_{f^{'} (m^{'})}^{'})

は

ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})

において

C^{\infty}

である、がある、バウンダリー（境界）付きの

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の

C^{k}

マップ（写像）、ここで、

k

は

\infty

を含むによって。注意として、

M_{1}^{'}

に対するチャートはそのようにあるベーシックオープンセット（開集合）として取ることができる、なぜなら、ベーシックオープンセット（開集合）たちはプロダクトトポロジーを生成するから、プロダクトトポロジーの定義によって。

それが意味するのは、

ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})

のあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'} \subseteq R^{d^{'}}

およびある

C^{\infty}

マップ（写像）

g^{'} : U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'} \to R^{d_{2}^{'}}

で、

g^{'} |_{U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'} \cap ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'})} = ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{m^{'}}^{'}}^{- 1} |_{U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'} \cap ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'})}

を満たすものたちがある、ということ。

ステップ3:

各

m^{″} \in M_{1}^{″}

に対して、

m^{'} := τ_{J^{″}} (m^{″}) \in M_{1}^{'}

がある。

m^{″} = π_{J^{″}} (m^{'})

。

(U_{m^{″}}^{″} = \times_{j \in J^{″}} U_{m_{j}^{'}} \subseteq M_{1}^{″}, ϕ_{m^{″}}^{″} = \times_{j \in J^{″}} ϕ_{m_{j}^{'}})

は、

m^{″}

の周りの

M_{1}^{″}

に対するチャートである。

τ_{J^{″}} (U_{m^{″}}^{″}) \subseteq U_{m^{'}}^{'}

、なぜなら、各

j \in {1, . . ., n} ∖ J^{″}

に対して、

m_{j}^{'} \in U_{m_{j}^{'}}

。

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})) \subseteq ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'})

、なぜなら、

ϕ_{m^{'}}^{'} (τ_{J^{″}} (U_{m^{″}}^{″})) \subseteq ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'})

、しかし、

ϕ_{m^{'}}^{'} (τ_{J^{″}} (U_{m^{″}}^{″})) = τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″}))

、なぜなら、各

p \in U_{m^{″}}^{″}

に対して、

τ_{J^{″}}

は

{1, . . ., n} ∖ J^{″}

コンポーネントたちを

m_{j}

たちとして追加し、

ϕ_{m^{'}}^{'}

は

{1, . . ., n} ∖ J^{″}

コンポーネントたちを

{1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″}

コンポーネントたちへ

ϕ_{m_{j}^{'}} (m_{j})

たちとしてマップする、その一方で、

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}

は

{1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″}

コンポーネントたちを

ϕ_{m_{j}^{'}} (m_{j})

たちとして追加し、そして、

ϕ_{m^{'}}^{'} \circ τ_{J^{″}}

および

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} \circ ϕ_{m^{″}}^{″}

は

J^{″}

コンポーネントたちを同じようにマップする。

f^{″} (U_{m^{″}}^{″}) = f^{'} (τ_{J^{″}} (U_{m^{″}}^{″})) \subseteq f^{'} (U_{m^{'}}^{'}) \subseteq U_{f^{'} (m^{'})}^{'}

。

したがって、私たちは、チャート

(U_{f^{'} (m^{'})}^{'} \subseteq M_{2}^{'}, ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'})

を、

f^{″}

が

C^{\infty}

であることをチェックするために取ることができる。

私たちが示す必要があることは、

ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{″} \circ {ϕ_{m^{″}}^{″}}^{- 1} : ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″}) \to ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{f^{'} (m^{'})}^{'})

は

ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})

において

C^{\infty}

であるということ、それは、

ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})

のあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \subseteq R^{d^{″}}

およびある

C^{\infty}

マップ（写像）

g^{″} : U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \to R^{d_{2}^{'}}

で、

g^{″} |_{U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \cap ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})} = ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{″} \circ {ϕ_{m^{″}}^{″}}^{- 1} |_{U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \cap ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})}

を満たすものを選ぶという問題である。

私たちは、

U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} = π_{K^{″}} \circ λ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'})

および

g^{″} = g^{'} \circ τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}

を選択する。

π_{K^{″}} (ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})) = ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})

、なぜなら、

m^{″}

は

m^{'}

の

J^{″}

コンポーネントたちであり、

ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})

は

ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})

の

K^{″}

コンポーネントたちである、

U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″}

は本当に

ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})

の

R^{d^{″}}

上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、

g^{″}

は妥当である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）、任意のより低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、任意のポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）は当該ポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であるという命題によって:

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″}) \subseteq U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'}

、なぜなら、

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} \circ π_{K^{″}} \circ λ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'}) = λ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'}) \subseteq U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'}

。

それらは当該コンディションたちを満たすことをチェックしよう。

g^{'} \circ τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}

は

C^{\infty}

である、なぜなら、

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}

はただいくつかのコンスタントコンポーネントたちを追加するだけであり、

g^{'}

は

C^{\infty}

である。

g^{″} |_{U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \cap ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})} = g^{'} \circ τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} |_{U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \cap ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})}

、しかし、各

p \in U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″} \cap ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})

に対して、

g^{'} \circ τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (p) = ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{'} \circ {ϕ_{m^{'}}^{'}}^{- 1} (τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (p))

: 注意として、

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (p) \in U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'} \cap ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'})

（いくつかの先行する段落たち内で示された、

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (ϕ_{m^{″}}^{″} (U_{m^{″}}^{″})) \subseteq ϕ_{m^{'}}^{'} (U_{m^{'}}^{'})

および

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})} (U_{ϕ_{m^{″}}^{″} (m^{″})}^{″}) \subseteq U_{ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}^{'}

として）、

= ϕ_{f^{'} (m^{'})}^{'} \circ f^{″} \circ {ϕ_{m^{″}}^{″}}^{- 1} (p)

、なぜなら、

τ_{K^{″}, ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})}

は

{1, . . ., d^{'}} ∖ K^{″}

コンポーネントたちを

ϕ_{m^{'}}^{'} (m^{'})

のそれらとして追加し、それらは、

{ϕ_{m^{'}}^{'}}^{- 1}

の下で

{1, . . ., n} ∖ J^{″}

コンポーネントたちとして

m_{j}

たちになり、その上の

f^{'}

は

f^{″}

に等しい。

したがって、それらは当該コンディションたちを満たす。

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2024年9月15日日曜日

話題

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

オリエンテーション

本体

1: 構造化された記述

2: 自然言語記述

3: 証明

参考資料