トポロジカルスペース（空間）からファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{T_1, ..., T_n\}\): \(T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_1 \times ... \times T_n\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T \to T_1 \times ... \times T_n\)
\(\{\pi_1, ..., \pi_n\}\): \(\pi_j: T_1 \times ... \times T_n \to T_j = \text{ 当該プロジェクション（投射） }\)
\(\{\pi_1 \circ f, ..., \pi_n \circ f\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall j \in \{1, ..., n\} (\pi_j \circ f \in \text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち })\)
//
2: 注
当該プロダクトがファイナイト（有限）であることが、本ロジックには不可欠である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定し、各\(\pi_j \circ f\)は各\(t \in T\)においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 各\(\pi_j \circ f\)がコンティニュアス（連続）であると仮定し、\(f\)は各\(t \in T\)においてコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(\pi_j \circ f\)は各\(t \in T\)においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(U_{\pi_j \circ f (t)} \subseteq T_j\)は\(\pi_j \circ f (t)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
各\(k \in \{1, ..., n\} \setminus \{j\}\)に対して、\(\pi_k \circ f (t) \in T_k\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\pi_k \circ f (t)} \subseteq T_k\)を取ろう。
\(U_{\pi_1 \circ f (t)} \times ... \times U_{\pi_n \circ f (t)} \subseteq T_1 \times ... \times T_n\)は\(f (t)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq U_{\pi_1 \circ f (t)} \times ... \times U_{\pi_n \circ f (t)}\)、がある。
すると、\(\pi_j \circ f (U_t) \subseteq \pi_j (U_{\pi_1 \circ f (t)} \times ... \times U_{\pi_n \circ f (t)}) = U_{\pi_j \circ f (t)}\)。
それが意味するのは、\(\pi_j \circ f\)は\(t\)においてコンティニュアス（連続）であるということ。
\(t \in T\)は恣意的であるから、\(\pi_j \circ f\)は\(T\)全体においてコンティニュアス（連続）である、それが意味するのは、\(\pi_j \circ f\)はコンティニュアス（連続）である、ということ。
ステップ2:
各\(\pi_j \circ f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(t \in T\)は任意のものであるとしよう。
\(f (t) \in T_1 \times ... \times T_n\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある\(U_{\pi_1 \circ f (t)} \times ... \times U_{\pi_n \circ f (t)} \subseteq T_1 \times ... \times T_n\)で当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある、ここで、\(U_{\pi_j \circ f (t)} \subseteq T_j\)は\(\pi_j \circ f (t)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(\pi_j \circ f\)はコンティニュアスであるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, j} \subseteq T\)、つまり、\(\pi_j \circ f (U_{t, j}) \subseteq U_{\pi_j \circ f (t)}\)、がある。
\(\cap_{l} U_{t, l} \subseteq T\)のことを考えよう、それは\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、オープンネイバーフッド（開近傍）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
\(f (\cap_{l} U_{t, l}) \subseteq U_{\pi_1 \circ f (t)} \times ... \times U_{\pi_n \circ f (t)}\)、なぜなら、\(\pi_j \circ f (\cap_{l} U_{t, l}) \subseteq \pi_j \circ f (U_{t, j}) \subseteq U_{\pi_j \circ f (t)}\)、それが意味するのは、\(f\)は\(t\)においてコンティニュアス（連続）であるということ。
\(t \in T\)は恣意的であるから、\(f\)は\(T\)全体においてコンティニュアス（連続）である、それが意味するのは、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるということ。
