837: トポロジカルスペース（空間）からファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）からファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\{T_1,...,T_n\}$: $T_j\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_1\times ...\times T_n$: $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
$f$: $:T\to T_1\times ...\times T_n$
$\{{\pi }_1,...,{\pi }_n\}$: ${\pi }_j:T_1\times ...\times T_n\to T_j=\text{ 当該プロジェクション（投射） }$
$\{{\pi }_1\circ f,...,{\pi }_n\circ f\}$:
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,n\}({\pi }_j\circ f\in \text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち })$
//

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2: 注

当該プロダクトがファイナイト（有限）であることが、本ロジックには不可欠である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はコンティニュアス（連続）であると仮定し、各${\pi }_j\circ f$は各$t\in T$においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 各${\pi }_j\circ f$がコンティニュアス（連続）であると仮定し、$f$は各$t\in T$においてコンティニュアス（連続）であることを見る。

ステップ1:

$f$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。

${\pi }_j\circ f$は各$t\in T$においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$U_{{\pi }_j\circ f(t)}\subseteq T_j$は${\pi }_j\circ f(t)$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。

各$k\in \{1,...,n\}\setminus \{j\}$に対して、${\pi }_k\circ f(t)\in T_k$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\pi }_k\circ f(t)}\subseteq T_k$を取ろう。

$U_{{\pi }_1\circ f(t)}\times ...\times U_{{\pi }_n\circ f(t)}\subseteq T_1\times ...\times T_n$は$f(t)$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$f$はコンティニュアス（連続）であるから、$t$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T$、つまり、$f(U_t)\subseteq U_{{\pi }_1\circ f(t)}\times ...\times U_{{\pi }_n\circ f(t)}$、がある。

すると、${\pi }_j\circ f(U_t)\subseteq {\pi }_j(U_{{\pi }_1\circ f(t)}\times ...\times U_{{\pi }_n\circ f(t)})=U_{{\pi }_j\circ f(t)}$。

それが意味するのは、${\pi }_j\circ f$は$t$においてコンティニュアス（連続）であるということ。

$t\in T$は恣意的であるから、${\pi }_j\circ f$は$T$全体においてコンティニュアス（連続）である、それが意味するのは、${\pi }_j\circ f$はコンティニュアス（連続）である、ということ。

ステップ2:

各${\pi }_j\circ f$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。

$t\in T$は任意のものであるとしよう。

$f(t)\in T_1\times ...\times T_n$の各オープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ある$U_{{\pi }_1\circ f(t)}\times ...\times U_{{\pi }_n\circ f(t)}\subseteq T_1\times ...\times T_n$で当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある、ここで、$U_{{\pi }_j\circ f(t)}\subseteq T_j$は${\pi }_j\circ f(t)$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

${\pi }_j\circ f$はコンティニュアスであるから、$t$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t,j}\subseteq T$、つまり、${\pi }_j\circ f(U_{t,j})\subseteq U_{{\pi }_j\circ f(t)}$、がある。

${\cap }_l{U}_{t,l}\subseteq T$のことを考えよう、それは$t$のオープンネイバーフッド（開近傍）である、オープンネイバーフッド（開近傍）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。

$f({\cap }_l{U}_{t,l})\subseteq U_{{\pi }_1\circ f(t)}\times ...\times U_{{\pi }_n\circ f(t)}$、なぜなら、${\pi }_j\circ f({\cap }_l{U}_{t,l})\subseteq {\pi }_j\circ f(U_{t,j})\subseteq U_{{\pi }_j\circ f(t)}$、それが意味するのは、$f$は$t$においてコンティニュアス（連続）であるということ。

$t\in T$は恣意的であるから、$f$は$T$全体においてコンティニュアス（連続）である、それが意味するのは、$f$はコンティニュアス（連続）であるということ。

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参考資料

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