838: トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のマップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のマップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
${\mathbb{R}}^{d_1}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
${\mathbb{R}}^{d_2}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$: $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
$T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$: $=\text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }$
${\mathbb{R}}^{d_2{d}_1}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$M$: $:T\to \{\text{ 全ての }{d}_{2}x{d}_1\text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2{d}_1}$で、コドメイン（余域）をトポロジカルサブスペース（部分空間）としたもの
$f$: $:T\times {\mathbb{R}}^{d_1}\to T\times {\mathbb{R}}^{d_2},(t,v)\mapsto (t,M(t)v)$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
$⟺$
$M\in \text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }$
//

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2: 注

$T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$および$T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$はカノニカルにベクトルたちバンドル（束）たちとみなされており、"ファイバー"と言っているのは、当該ベクトルたちバンドル（束）たちに関してである。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はコンティニュアス（連続）であると仮定し、$M$はコンティニュアス（連続）であることを見る、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義にしたがって; ステップ2: $M$はコンティニュアス（連続）であると仮定し、$f$はコンティニュアス（連続）であることを見る、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義にしたがって。

ステップ1:

$f$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。

$M$はコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$(t,v)\in T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$は任意のものとしよう。

$f((t,v))=(t,M(t)v)\in T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、以下を満たすある$U_t\times C_{M(t)v,ϵ}\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$、つまり、$(t,M(t)v)\in U_t\times C_{M(t)v,ϵ}$、で当該ネイバーフッド（開近傍）に包含されているものがある、ここで、$U_t\subseteq T$は$t$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり$C_{M(t)v,ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$は$M(t)v$周りのオープンキューブ（開立方体）である。

$(t,v)$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$V_t\times V_v\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$、つまり、$f(V_t\times V_v)\subseteq U_t\times C_{M(t)v,ϵ}$、がある、ここで、$V_t\subseteq T$は$t$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり$V_v\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$は$v$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

特に、$f(V_t\times \{v\})\subseteq U_t\times C_{M(t)v,ϵ}$。

各$t^{\prime }\in V_t$に対して、$f((t^{\prime },v))=(t^{\prime },M(t^{\prime })v)$であり、$M(t^{\prime })v\subseteq C_{M(t)v,ϵ}$。

特に、$v=(0,...,0,1,0,...,0{)}^t$と取ろう、ここで、$1$は第$j$コンポーネントである。

すると、$M(t^{\prime })v=(M_j^1(t^{\prime }),...,M_j^{d_2}(t^{\prime }){)}^t\subseteq C_{(M_j^1(t),...,M_j^{d_2}(t){)}^t,ϵ}$、それが意味するのは、$M_j^k(t)-ϵ<M_j^k(t^{\prime })<M_j^k(t)+ϵ$、それが意味するのは、各$M_j^k$はコンティニュアス（連続）であるということ。

それが意味するのは、$M$はコンティニュアス（連続）であるということ、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

ステップ2:

$M$はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。

$f$はコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$(t,v)\in T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$は任意のものとしよう。

$f((t,v))=(t,M(t)v)\in T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、以下を満たすある$U_t\times C_{M(t)v,ϵ}\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_2}$、つまり、$(t,M(t)v)\in U_t\times C_{M(t)v,ϵ}$、で当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある、ここで、$U_t\subseteq T$は$t$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり$C_{M(t)v,ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2}$は$M(t)v$周りのオープンキューブ（開立方体）である。

任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーションたちマップ（写像）たちはコンティニュアス（連続）である、任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、から、$M(t)\in {\mathbb{R}}^{d_2{d}_1}$の周りのあるオープンキューブ（開立方体）$C_{M(t),\delta }\subseteq {\mathbb{R}}^{d_2{d}_1}$および$v\in {\mathbb{R}}^{d_1}$周りのあるオープンキューブ（開立方体）$C_{v,\delta }$で、マルチプリケーション（積）たちが$C_{M(t)v,ϵ}$内に包含されているものがある。

$M$はコンティニュアス（連続）であるから、$t$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$V_t\subseteq T$、つまり、$M(V_t)\subseteq C_{M(t),\delta }$、がある。

そこで、$(t,v)$のオープンネイバーフッド（開近傍）$(U_t\cap V_t)\times C_{v,\delta }\subseteq T\times {\mathbb{R}}^{d_1}$のことを考えよう。

$f((U_t\cap V_t)\times C_{v,\delta })\subseteq U_t\times C_{M(t)v,ϵ}$である、なぜなら、各$(t^{\prime },v^{\prime })\in (U_t\cap V_t)\times C_{v,\delta }$に対して、$f(t^{\prime },v^{\prime })=(t^{\prime },M(t^{\prime })v^{\prime })$、しかし、$t^{\prime }\in U_t$および$M(t^{\prime })v^{\prime }\in C_{M(t)v,ϵ}$、なぜなら、$M(t^{\prime })\in C_{M(t),\delta }$および$v^{\prime }\in C_{v,\delta }$である。

したがって、$f$はコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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