トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のマップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、当該プロダクトたち間の任意のマップ（写像）でファイバー維持で各ファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(T \times \mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T \times \mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}^{d_2 d_1}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(M\): \(: T \to \{\text{ 全ての } d_2 x d_1 \text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\} \subseteq \mathbb{R}^{d_2 d_1}\)で、コドメイン（余域）をトポロジカルサブスペース（部分空間）としたもの
\(f\): \(: T \times \mathbb{R}^{d_1} \to T \times \mathbb{R}^{d_2}, (t, v) \mapsto (t, M (t) v)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(M \in \text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\)
//
2: 注
\(T \times \mathbb{R}^{d_1}\)および\(T \times \mathbb{R}^{d_2}\)はカノニカルにベクトルたちバンドル（束）たちとみなされており、"ファイバー"と言っているのは、当該ベクトルたちバンドル（束）たちに関してである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定し、\(M\)はコンティニュアス（連続）であることを見る、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義にしたがって; ステップ2: \(M\)はコンティニュアス（連続）であると仮定し、\(f\)はコンティニュアス（連続）であることを見る、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の定義にしたがって。
ステップ1:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(M\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\((t, v) \in T \times \mathbb{R}^{d_1}\)は任意のものとしよう。
\(f ((t, v)) = (t, M (t) v) \in T \times \mathbb{R}^{d_2}\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、以下を満たすある\(U_t \times C_{M (t) v, \epsilon} \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_2}\)、つまり、\((t, M (t) v) \in U_t \times C_{M (t) v, \epsilon}\)、で当該ネイバーフッド（開近傍）に包含されているものがある、ここで、\(U_t \subseteq T\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(C_{M (t) v, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)は\(M (t) v\)周りのオープンキューブ（開立方体）である。
\((t, v)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_t \times V_v \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_1}\)、つまり、\(f (V_t \times V_v) \subseteq U_t \times C_{M (t) v, \epsilon}\)、がある、ここで、\(V_t \subseteq T\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(V_v \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)は\(v\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
特に、\(f (V_t \times \{v\}) \subseteq U_t \times C_{M (t) v, \epsilon}\)。
各\(t' \in V_t\)に対して、\(f ((t', v)) = (t', M (t') v)\)であり、\(M (t') v \subseteq C_{M (t) v, \epsilon}\)。
特に、\(v = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)^t\)と取ろう、ここで、\(1\)は第\(j\)コンポーネントである。
すると、\(M (t') v = (M^1_j (t'), ..., M^{d_2}_j (t'))^t \subseteq C_{(M^1_j (t), ..., M^{d_2}_j (t))^t, \epsilon}\)、それが意味するのは、\(M^k_j (t) - \epsilon \lt M^k_j (t') \lt M^k_j (t) + \epsilon\)、それが意味するのは、各\(M^k_j\)はコンティニュアス（連続）であるということ。
それが意味するのは、\(M\)はコンティニュアス（連続）であるということ、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ2:
\(M\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\((t, v) \in T \times \mathbb{R}^{d_1}\)は任意のものとしよう。
\(f ((t, v)) = (t, M (t) v) \in T \times \mathbb{R}^{d_2}\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、以下を満たすある\(U_t \times C_{M (t) v, \epsilon} \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_2}\)、つまり、\((t, M (t) v) \in U_t \times C_{M (t) v, \epsilon}\)、で当該ネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある、ここで、\(U_t \subseteq T\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり\(C_{M (t) v, \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d_2}\)は\(M (t) v\)周りのオープンキューブ（開立方体）である。
任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーションたちマップ（写像）たちはコンティニュアス（連続）である、任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、から、\(M (t) \in \mathbb{R}^{d_2 d_1}\)の周りのあるオープンキューブ（開立方体）\(C_{M (t), \delta} \subseteq \mathbb{R}^{d_2 d_1}\)および\(v \in \mathbb{R}^{d_1}\)周りのあるオープンキューブ（開立方体）\(C_{v, \delta}\)で、マルチプリケーション（積）たちが\(C_{M (t) v, \epsilon}\)内に包含されているものがある。
\(M\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_t \subseteq T\)、つまり、\(M (V_t) \subseteq C_{M (t), \delta}\)、がある。
そこで、\((t, v)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\((U_t \cap V_t) \times C_{v, \delta} \subseteq T \times \mathbb{R}^{d_1}\)のことを考えよう。
\(f ((U_t \cap V_t) \times C_{v, \delta}) \subseteq U_t \times C_{M (t) v, \epsilon}\)である、なぜなら、各\((t', v') \in (U_t \cap V_t) \times C_{v, \delta}\)に対して、\(f (t', v') = (t', M (t') v')\)、しかし、\(t' \in U_t\)および\(M (t') v' \in C_{M (t) v, \epsilon}\)、なぜなら、\(M (t') \in C_{M (t), \delta}\)および\(v' \in C_{v, \delta}\)である。
したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
