\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M'\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( M\): \(\in \{M' \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーおよび\(M'\)から継承されたアトラスを持つもの
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コンディションたち:
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2: 注
"\(M'\)から継承されたアトラス"は、以下を意味する: \(M'\)のいくつかのチャートたちは\(M\)をカバーする; そうしたチャートたちの各々\((U' \subseteq M', \phi')\)に対して、\((U' \cap M \subseteq M, \phi' \vert_{U' \cap M})\)を\(M\)のチャートとする。
任意のオープンサブセット（開部分集合）\(M \subseteq M'\)に対して、それは本当に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である: \((U' \cap M \subseteq M, \phi' \vert_{U' \cap M})\)は本当にチャートである、なぜなら、\(U' \cap M \subseteq M\)はオープン（開）である、\(\phi' \vert_{U' \cap M} (U' \cap M) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)はオープン（開）である、そして、\(\phi' \vert_{U' \cap M}: U' \cap M \to \phi' \vert_{U' \cap M} (U' \cap M) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、\(\phi' \vert_{U' \cap M} (U' \cap M) = \phi' (U' \cap M)\)、その一方、\(\phi': U' \to \phi' (U') \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である; 任意の他のチャート\((\widetilde{U'} \cap M \subseteq M, \widetilde{\phi'} \vert_{\widetilde{U'} \cap M})\)に対して、\(\widetilde{\phi'} \vert_{\widetilde{U'} \cap M} \circ {\phi' \vert_{U' \cap M}}^{-1} \vert_{\phi' \vert_{U' \cap M} (U \cap M \cap \widetilde{U'} \cap M)}: \phi' \vert_{U' \cap M} (U' \cap M \cap \widetilde{U'} \cap M) \to \widetilde{\phi'} \vert_{\widetilde{U'} \cap M} (U' \cap M \cap \widetilde{U'} \cap M)\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、\(= \widetilde{\phi'} \circ {\phi}^{-1} \vert_{\phi' (U' \cap M \cap \widetilde{U'} \cap M)}\)、それはディフェオモーフィックである、なぜなら、\(\widetilde{\phi'} \circ {\phi}^{-1}\)は\(M'\)に対するトランジション（遷移）であり、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を適用できる; \(M\)はハウスドルフでセカンドカウンタブルである、ハウスドルフでセカンドカウンタブルな\(M'\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）として。
オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、としての\(M\)は、\(M'\)のコディメンション（余次元）0エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である: 当該インクルージョン（封入）\(\iota: M \to M'\)に対して、\(\iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である: それは、明らかに\(C^\infty\)（チャートたち\((U' \cap M \subseteq M, \phi' \vert_{U' \cap M})\)および\((U' \subseteq M', \phi')\)に関するコンポーネントたちファンクション（関数）を見よ）; それはインジェクティブ（単射）である; 各\(m \in M\)に対して、\(d \iota_m\)はインジェクティブ（単射）である（実のところ、バイジェクティブ（全単射））、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントにおける当該インクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって; \(\tilde{\iota}: M \to \iota (M)\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、\(M\)はサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ。
