829: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$で、サブスペース（部分空間）トポロジーおよび$M^{\prime }$から継承されたアトラスを持つもの
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コンディションたち:
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2: 注

"$M^{\prime }$から継承されたアトラス"は、以下を意味する: $M^{\prime }$のいくつかのチャートたちは$M$をカバーする; そうしたチャートたちの各々$(U^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }^{\prime })$に対して、$(U^{\prime }\cap M\subseteq M,{\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M})$を$M$のチャートとする。

任意のオープンサブセット（開部分集合）$M\subseteq M^{\prime }$に対して、それは本当に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である: $(U^{\prime }\cap M\subseteq M,{\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M})$は本当にチャートである、なぜなら、$U^{\prime }\cap M\subseteq M$はオープン（開）である、${\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}(U^{\prime }\cap M)\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$はオープン（開）である、そして、${\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}:U^{\prime }\cap M\to {\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}(U^{\prime }\cap M)\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、${\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}(U^{\prime }\cap M)={\varphi }^{\prime }(U^{\prime }\cap M)$、その一方、${\varphi }^{\prime }:U^{\prime }\to {\varphi }^{\prime }(U^{\prime })\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$はホメオモーフィック（位相同形写像）である; 任意の他のチャート$(\widetilde{U^{\prime }}\cap M\subseteq M,\widetilde{{\varphi }^{\prime }}{|}_{\widetilde{U^{\prime }}\cap M})$に対して、$\widetilde{{\varphi }^{\prime }}{|}_{\widetilde{U^{\prime }}\cap M}\circ {{\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}}^{-1}{|}_{{\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}(U\cap M\cap \widetilde{U^{\prime }}\cap M)}:{\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M}(U^{\prime }\cap M\cap \widetilde{U^{\prime }}\cap M)\to \widetilde{{\varphi }^{\prime }}{|}_{\widetilde{U^{\prime }}\cap M}(U^{\prime }\cap M\cap \widetilde{U^{\prime }}\cap M)$はディフェオモーフィズムである、なぜなら、$=\widetilde{{\varphi }^{\prime }}\circ {\varphi }^{-1}{|}_{{\varphi }^{\prime }(U^{\prime }\cap M\cap \widetilde{U^{\prime }}\cap M)}$、それはディフェオモーフィックである、なぜなら、$\widetilde{{\varphi }^{\prime }}\circ {\varphi }^{-1}$は$M^{\prime }$に対するトランジション（遷移）であり、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を適用できる; $M$はハウスドルフでセカンドカウンタブルである、ハウスドルフでセカンドカウンタブルな$M^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）として。

オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、としての$M$は、$M^{\prime }$のコディメンション（余次元）0エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である: 当該インクルージョン（封入）$\iota :M\to M^{\prime }$に対して、$\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である: それは、明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$（チャートたち$(U^{\prime }\cap M\subseteq M,{\varphi }^{\prime }{|}_{U^{\prime }\cap M})$および$(U^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }^{\prime })$に関するコンポーネントたちファンクション（関数）を見よ）; それはインジェクティブ（単射）である; 各$m\in M$に対して、$d{\iota }_m$はインジェクティブ（単射）である（実のところ、バイジェクティブ（全単射））、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントにおける当該インクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって; $\tilde{\iota }:M\to \iota (M)$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、$M$はサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ。

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参考資料

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