830: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびそのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびそのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルを知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントにおける当該インクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てのオープンサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\iota$: $:M\to M^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$m$: $\in M$
$d{\iota }_m$: $:T_{m}M\to T_m{M}^{\prime }$, $=\text{ 当該ディファレンシャル }$
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ステートメント（言明）たち:
$d{\iota }_m\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $d{\iota }_m$はインジェクティブ（単射）であることを見る、$d{\iota }_m(v_1)=d{\iota }_m(v_2)$は$v_1=v_2$を含意することを見ることによって; ステップ2: $d{\iota }_m$はサージェクティブ（全射）であることを見る、各$v^{\prime }\in T_m{M}^{\prime }$に対して、以下を満たす$v\in T_{m}M$、つまり、各$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$に対して、$vf=v^{\prime }\bar{f}$、は、$v^{\prime }$マップ（写像）されることを見る、ここで、$\bar{f}$は、$f$の$M^{\prime }$上における任意の"エクステンション（拡張）"である; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$d{\iota }_m$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

$v_1,v_2\in T_{m}M$は、$v_1\ne v_2$を満たす任意のものたちとしよう。

$d{\iota }_m(v_1)=d{\iota }_m(v_2)$であると仮定しよう。

$d{\iota }_m(v_1-v_2)=0$。

$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$は任意のものであるとしよう。

$f$は、$M$を$M^{\prime }$のサブセット（部分集合）とみなした（サブマニフォールド（部分多様体）としてではなく）ファンクション（関数）としても$C^{\mathrm{\infty }}$であろう: $M$の各チャートは$M^{\prime }$のチャートでもある。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって、$m$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_m\subseteq M^{\prime }$、つまり、$U_m\subseteq \iota (M)$、および以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$\bar{f}:M^{\prime }\to \mathbb{R}$、つまり、$f{|}_{U_m}=\bar{f}{|}_{U_m}$、があることになる。

$v_1(\bar{f}\circ \iota )=d{\iota }_m(v_1)\bar{f}=d{\iota }_m(v_2)\bar{f}=v_2(\bar{f}\circ \iota )$。

しかし、$\bar{f}\circ \iota {|}_{U_m}=f{|}_{U_m}$。

したがって、$v_j(\bar{f}\circ \iota )=v_{j}f$、なぜなら、任意のタンジェントベクトルはローカルオペレーターである。

したがって、$v_{1}f=v_1(\bar{f}\circ \iota )=v_2(\bar{f}\circ \iota )=v_{2}f$、矛盾。

したがって、$d{\iota }_m(v_1)\ne d{\iota }_m(v_2)$。

ステップ2:

$d{\iota }_m$はサージェクティブ（全射）であることを見よう。

$v^{\prime }\in T_m{M}^{\prime }$は任意のものであるとしよう。

$v\in T_{m}M$を、各$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$に対して、$vf=v^{\prime }\bar{f}$、ここで、$\bar{f}\in C^{\mathrm{\infty }}(M^{\prime })$は$f$から上記のように得られた、として定義しよう。

$v$はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。ある$\bar{f}$が存在する、前と同様。$v^{\prime }\bar{f}$は$\bar{f}$の選択に依存しない、なぜなら、$v^{\prime }$はローカルオペレーターである。

$v$は本当にデリベーションであることを見よう。

$v(rf)=v^{\prime }\overline{rf}=v^{\prime }(r\bar{f})=r{v}^{\prime }\bar{f}=rvf$。$v(f_1{f}_2)=v^{\prime }(\overline{f_1{f}_2})=v^{\prime }(\overline{f_1}\overline{f_2})=(v^{\prime }\overline{f_1})\overline{f_2}(m)+\overline{f_1}(m)v^{\prime }\overline{f_2}=(v{f}_1)f_2(m)+f_1(m)v{f}_2$: $\overline{f_1}$と$\overline{f_2}$は$m$の異なるオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つかもしれないが、当該オープンネイバーフッド（開近傍）たちのインターセクション（共通集合）は$m$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、その上で、$\overline{f_1}\overline{f_2}$は$f_1{f}_2$に等しい。

したがって、$v$は本当にデリベーションである。

$d{\iota }_{m}v=v^{\prime }$であることを見よう。

各$f^{\prime }\in C^{\mathrm{\infty }}(M^{\prime })$に対して、$d{\iota }_{m}v(f^{\prime })=v(f^{\prime }\circ \iota )=v^{\prime }\overline{f^{\prime }\circ \iota }$、しかし、$f^{\prime }$は$f^{\prime }\circ \iota$の$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）である、したがって、$=v^{\prime }{f}^{\prime }$。

したがって、$d{\iota }_{m}v=v^{\prime }$。

ステップ3:

$d{\iota }_m$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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