\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルを知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントにおける当該インクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{ \text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てのオープンサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(m\): \(\in M\)
\(d \iota_m\): \(: T_mM \to T_mM'\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d \iota_m \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(d \iota_m\)はインジェクティブ（単射）であることを見る、\(d \iota_m (v_1) = d \iota_m (v_2)\)は\(v_1 = v_2\)を含意することを見ることによって; ステップ2: \(d \iota_m\)はサージェクティブ（全射）であることを見る、各\(v' \in T_mM'\)に対して、以下を満たす\(v \in T_mM\)、つまり、各\(f \in C^\infty (M)\)に対して、\(v f = v' \overline{f}\)、は、\(v'\)マップ（写像）されることを見る、ここで、\(\overline{f}\)は、\(f\)の\(M'\)上における任意の"エクステンション（拡張）"である; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(d \iota_m\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in T_mM\)は、\(v_1 \neq v_2\)を満たす任意のものたちとしよう。
\(d \iota_m (v_1) = d \iota_m (v_2)\)であると仮定しよう。
\(d \iota_m (v_1 - v_2) = 0\)。
\(f \in C^\infty (M)\)は任意のものであるとしよう。
\(f\)は、\(M\)を\(M'\)のサブセット（部分集合）とみなした（サブマニフォールド（部分多様体）としてではなく）ファンクション（関数）としても\(C^\infty\)であろう: \(M\)の各チャートは\(M'\)のチャートでもある。
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって、\(m\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_m \subseteq M'\)、つまり、\(U_m \subseteq \iota (M)\)、および以下を満たすある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(\overline{f}: M' \to \mathbb{R}\)、つまり、\(f \vert_{U_m} = \overline{f} \vert_{U_m}\)、があることになる。
\(v_1 (\overline{f} \circ \iota) = d \iota_m (v_1) \overline{f} = d \iota_m (v_2) \overline{f} = v_2 (\overline{f} \circ \iota)\)。
しかし、\(\overline{f} \circ \iota \vert_{U_m} = f \vert_{U_m}\)。
したがって、\(v_j (\overline{f} \circ \iota) = v_j f\)、なぜなら、任意のタンジェントベクトルはローカルオペレーターである。
したがって、\(v_1 f = v_1 (\overline{f} \circ \iota) = v_2 (\overline{f} \circ \iota) = v_2 f\)、矛盾。
したがって、\(d \iota_m (v_1) \neq d \iota_m (v_2)\)。
ステップ2:
\(d \iota_m\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
\(v' \in T_mM'\)は任意のものであるとしよう。
\(v \in T_mM\)を、各\(f \in C^\infty (M)\)に対して、\(v f = v' \overline{f}\)、ここで、\(\overline{f} \in C^\infty (M')\)は\(f\)から上記のように得られた、として定義しよう。
\(v\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。ある\(\overline{f}\)が存在する、前と同様。\(v' \overline{f}\)は\(\overline{f}\)の選択に依存しない、なぜなら、\(v'\)はローカルオペレーターである。
\(v\)は本当にデリベーションであることを見よう。
\(v (r f) = v' \overline{r f} = v' (r \overline{f}) = r v' \overline{f} = r v f\)。\(v (f_1 f_2) = v' (\overline{f_1 f_2}) = v' (\overline{f_1} \text{ } \overline{f_2}) = (v' \overline{f_1}) \overline{f_2} (m) + \overline{f_1} (m) v' \overline{f_2} = (v f_1) f_2 (m) + f_1 (m) v f_2\): \(\overline{f_1}\)と\(\overline{f_2}\)は\(m\)の異なるオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つかもしれないが、当該オープンネイバーフッド（開近傍）たちのインターセクション（共通集合）は\(m\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、その上で、\(\overline{f_1} \text{ } \overline{f_2}\)は\(f_1 f_2\)に等しい。
したがって、\(v\)は本当にデリベーションである。
\(d \iota_m v = v'\)であることを見よう。
各\(f' \in C^\infty (M')\)に対して、\(d \iota_m v (f') = v (f' \circ \iota) = v' \overline{f' \circ \iota}\)、しかし、\(f'\)は\(f' \circ \iota\)の\(C^\infty\)エクステンション（拡張）である、したがって、\(= v' f'\)。
したがって、\(d \iota_m v = v'\)。
ステップ3:
\(d \iota_m\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
