\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）および\(C^\infty\)ローカルトリビアライゼーションの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(E\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(k\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\pi\): \(: E \to M\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全ての } C^\infty \text{ トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\Phi\): \(: \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^k\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ローカルトリビアライゼーションたち }\}\)
\(V\): \(\in \{U \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\): \(: \pi^{-1} (V) \to V \times \mathbb{R}^k\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{M \text{ の全ての } C^\infty \text{ トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V) \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ローカルトリビアライゼーションたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)は\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ2: \(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\)は本当に\(: \pi^{-1} (V) \to V \times \mathbb{R}^k\)であることを見る; ステップ3: \(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ4: 各\(m \in V\)に対して、\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V) \vert_{\pi^{-1} (m)}: \pi^{-1} (m) \to \{m\} \times \mathbb{R}^k\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ5: \(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\)はディフェオモーフィズムであることを見る。
ステップ1:
\(V\)は\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
ステップ2:
\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\)は本当に\(: \pi^{-1} (V) \to V \times \mathbb{R}^k\)である、なぜなら、各\(m \in U\)に対して、\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (m)\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）\(: \pi^{-1} (m) \to \{m\} \times \mathbb{R}^k\)である。
ステップ3:
\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、それは、ホメオモーフィック（位相同形写像）\(\Phi\)のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ4:
各\(m \in V\)に対して、\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V) \vert_{\pi^{-1} (m)}: \pi^{-1} (m) \to \{m\} \times \mathbb{R}^k\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、それは、\(\Phi \vert_{\pi^{-1} (m)}\)に等しい、それは、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
ステップ5:
\(\Phi \vert_{\pi^{-1}} (V)\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それは、\(\Phi\)のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）である、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
