828: C∞トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）はC∞トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明

---

話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）および$C^{\mathrm{\infty }}$ローカルトリビアライゼーションの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$E$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$k$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$\pi$: $:E\to M$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$U$: $\in \{M\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$\mathrm{\Phi }$: $:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ローカルトリビアライゼーションたち }\}$
$V$: $\in \{U\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$: $:{\pi }^{-1}(V)\to V\times {\mathbb{R}}^k$
//

ステートメント（言明）たち:
$V\in \{M\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ローカルトリビアライゼーションたち }\}$
//

---

2: 証明

全体戦略: ステップ1: $V$は$M$のオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ2: $\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$は本当に$:{\pi }^{-1}(V)\to V\times {\mathbb{R}}^k$であることを見る; ステップ3: $\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ4: 各$m\in V$に対して、$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V){|}_{{\pi }^{-1}(m)}:{\pi }^{-1}(m)\to \{m\}\times {\mathbb{R}}^k$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ5: $\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$はディフェオモーフィズムであることを見る。

ステップ1:

$V$は$M$のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

ステップ2:

$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$は本当に$:{\pi }^{-1}(V)\to V\times {\mathbb{R}}^k$である、なぜなら、各$m\in U$に対して、$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(m)$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）$:{\pi }^{-1}(m)\to \{m\}\times {\mathbb{R}}^k$である。

ステップ3:

$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、それは、ホメオモーフィック（位相同形写像）$\mathrm{\Phi }$のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

ステップ4:

各$m\in V$に対して、$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V){|}_{{\pi }^{-1}(m)}:{\pi }^{-1}(m)\to \{m\}\times {\mathbb{R}}^k$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、それは、$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}(m)}$に等しい、それは、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

ステップ5:

$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}}(V)$はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それは、$\mathrm{\Phi }$のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）である、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>