849: ディフェオモーフィズムの後のC∞エンベディング（埋め込み）またはC∞エンベディング（埋め込み）後のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）はC∞エンベディング（埋め込み）である

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ディフェオモーフィズムの後の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）または$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）後のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のディフェオモーフィズムの後の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）または任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）後の任意のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_3$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$f_1$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\}$
$f_2$: $:M_2\to M_3$, $\in \{\text{ 全て }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}$
$f_2\circ f_1$: $:M_1\to M_3$
$f_1^{\prime }$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}$
$f_2^{\prime }$: $:M_2\to M_3$, $\in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\}$
$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$: $:M_1\to M_3$
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ステートメント（言明）たち:
$f_2\circ f_1\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}$
$\wedge$
$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f_2\circ f_1$はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ2: $f_2\circ f_1$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ3: $f_2\circ f_1$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見る; ステップ4: $f_2\circ f_1$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見る; ステップ5: $f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ6: $f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ7: $f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見る; ステップ8: $f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見る。

ステップ1:

$f_2\circ f_1$はインジェクティブ（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって: 任意のディフェオモーフィズムまたは任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）はインジェクティブ（単射）である。

ステップ2:

$f_2\circ f_1$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

ステップ3:

$f_2\circ f_1$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見よう。

各$p\in M_1$に対して、$d_p(f_2\circ f_1)=d_{f_1(p)}{f}_2\circ d_p{f}_1$。

$d_p{f}_1$ is injective (in fact, bijective) because $f_1$ is a diffeomorphism and $d_{f_1(p)}{f}_2$ is injective because $f_2$ is a $C^{\mathrm{\infty }}$ embedding. $d_p{f}_1$はインジェクティブ（単射）である（実のところ、バイジェクティブ（全単射））、なぜなら、$f_1$はディフェオモーフィズムであり、$d_{f_1(p)}{f}_2$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、$f_2$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である。

したがって、$d_p(f_2\circ f_1)$はインジェクティブ（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって。

したがって、$f_2\circ f_1$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである。

ステップ4:

$f_2\circ f_1$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）$\overline{f_2\circ f_1}:M_1\to f_2\circ f_1(M_1)\subseteq M_3$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。

$f_2\circ f_1$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$\overline{f_2\circ f_1}$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

$\overline{f_2\circ f_1}$はバイジェクション（全単射）（$f_2\circ f_1$はインジェクティブ（単射）であり、サージェクティブ（全射）となるようにコドメイン（余域）はリストリクテッド（制限された）である）であるから、インバース（逆）${\overline{f_2\circ f_1}}^{-1}:f_2\circ f_1(M_1)\subseteq M_3\to M_1$がある。

$\overline{f_2\circ f_1}=\overline{f_2}\circ f_1$、ここで、$\overline{f_2}:M_2\to f_2(M_2)\subseteq M_3$は$f_2$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）。

したがって、${\overline{f_2\circ f_1}}^{-1}=f_1^{-1}\circ {\overline{f_2}}^{-1}$、しかし、${\overline{f_2}}^{-1}$はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f_2$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であり、$f_1^{-1}$はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f_1$はディフェオモーフィズムである、したがって、${\overline{f_2\circ f_1}}^{-1}$はコンティニュアス（連続）である。

ステップ5:

$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$はインジェクティブ（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって: 任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）または任意のディフェオモーフィズムはインジェクティブ（単射）である。

ステップ6:

$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

ステップ7:

$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見よう。

各$p\in M_1$に対して、$d_p(f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime })=d_{f_1^{\prime }(p)}{f}_2^{\prime }\circ d_p{f}_1^{\prime }$。

$d_p{f}_1^{\prime }$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、$f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である、そして、$d_{f_1^{\prime }(p)}{f}_2^{\prime }$はインジェクティブ（単射）（実のところ、バイジェクティブ（全単射））である、なぜなら、$f_2^{\prime }$はディフェオモーフィズムである。

したがって、$d_p(f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime })$はインジェクティブ（単射）である、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって。

したがって、$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである。

ステップ8:

$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）$\overline{f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }}:M_1\to f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }(M_1)\subseteq M_3$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。

$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

$\overline{f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }}$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

$\overline{f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }}$はバイジェクション（全単射）である（$f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であり、サージェクティブ（全射）となるようにコドメイン（余域）はリストリクテッド（制限された）である）ので、インバース（逆）${\overline{f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }}}^{-1}:f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }(M_1)\subseteq M_3\to M_1$がある。

$\overline{f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }}=\overline{f_2^{\prime }}\circ \overline{f_1^{\prime }}$である、ここで、$\overline{f_1^{\prime }}:M_1\to f_1^{\prime }(M_1)\subseteq M_2$は$f_1^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）であり、$\overline{f_2^{\prime }}:f_1^{\prime }(M_1)\subseteq M_2\to f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }(M_1)\subseteq M_3$は$f_2^{\prime }$のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）である。

したがって、${\overline{f_2^{\prime }\circ f_1^{\prime }}}^{-1}={\overline{f_1^{\prime }}}^{-1}\circ {\overline{f_2^{\prime }}}^{-1}$、しかし、${\overline{f_2^{\prime }}}^{-1}$はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f_2^{\prime }$はディフェオモーフィズムである、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、${\overline{f_1^{\prime }}}^{-1}$はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である。したがって、${\overline{f_2\circ f_1}}^{-1}$はコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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