861: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または任意のクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）から同一ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または同一ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）から対応するディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のオープンサブセット（開部分集合）の上への任意のマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
${\mathbb{H}}^d$: $=\text{ 当該クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }$
$U$: $\in \{M\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$\bar{U}$: $\in \{{\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$f$: $:U\to \bar{U}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\}$
$⟺$
$(U\subseteq M,f)\in \{M\text{ に対する全てのチャートたち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はディフェオモーフィックであると仮定し、以下を満たす任意のチャート$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi )$、つまり、$U^{\prime }\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$、を取り、$(U\subseteq M,f)$と$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi )$が$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブル（互換）であることを見る; ステップ2: $(U\subseteq M,f)$はチャートであると仮定し、チャート$(\bar{U}\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d,id)$を取り、$f$および$f^{-1}$の当該チャートたちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）たちは$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る。

ステップ1:

$f$はディフェオモーフィズムであると仮定しよう。

$f$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

以下を満たす任意のチャート$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi )$、つまり、$U^{\prime }\cap U\ne \mathrm{\varnothing }$、を取ろう。

チャート$(\bar{U}\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d,id)$を取ろう。

$f(U^{\prime }\cap U)\subseteq \bar{U}$。

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、$f$のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）$id\circ f\circ {\varphi }^{-1}{|}_{\varphi (U^{\prime }\cap U)}:\varphi (U^{\prime }\cap U)\to \bar{U}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

しかし、それは$f\circ {\varphi {|}_{U^{\prime }\cap U}}^{-1}:\varphi (U^{\prime }\cap U)\to \bar{U}$に等しく、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）$f\circ {\varphi {|}_{U^{\prime }\cap U}}^{-1}:\varphi (U^{\prime }\cap U)\to f(U^{\prime }\cap U)$はトランジション（遷移）マップ（写像）であり、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$f(U^{\prime }\cap U)\subseteq f(U)$は$\overline{U^{\prime }}=f(U)$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、$f$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、したがって、$(f(U^{\prime }\cap U)\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ or }{\mathbb{H}}^d,id)$は${\mathbb{R}}^d$または${\mathbb{H}}^d$に対するチャートである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって。

$f^{-1}(f(U^{\prime }\cap U))\subseteq U^{\prime }$。

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、$f^{-1}$のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）$\varphi \circ f^{-1}\circ i{d}^{-1}:id(f(U^{\prime }\cap U))\to \varphi (U^{\prime })$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

しかし、それは$\varphi \circ f^{-1}:f(U^{\prime }\cap U)\to \varphi (U^{\prime })$に等しく、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）$\varphi \circ f^{-1}:f(U^{\prime }\cap U)\to \varphi (U^{\prime }\cap U)$はトランジション（遷移）マップ（写像）であり、それは$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

それが意味するのは、$(U\subseteq M,f)$は$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi )$と$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブル（互換）であるということ。

したがって、$(U\subseteq M,f)$は当該マキシマル（最大）アトラス内にある。

ステップ2:

$(U\subseteq M,f)$はチャートであると仮定しよう。

チャート$(\bar{U}\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d,id)$を取ろう。

$f$のコンポーネントたちファンクション（関数）$id\circ f\circ f^{-1}:f(U)\to id(\bar{U})$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは$id$である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または任意のクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）から同一ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または同一ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

$f^{-1}$のコンポーネントたちファンクション（関数）$f\circ f^{-1}\circ i{d}^{-1}:id(\bar{U})\to f(U)$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは$id$である、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または任意のクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）から同一ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または同一ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

したがって、$f$はディフェオモーフィックである。

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参考資料

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