セット（集合）および2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各トランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ペアたちは同一であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(O_1\): \(\in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
\(O_2\): \(\in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
\(A_1\): \(\in \{S \text{ に対する全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、アトラスたち }\}\)
\(A_2\): \(\in \{S \text{ に対する全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、アトラスたち }\}\)
\((O_1, A_1)\):
\((O_2, A_2)\):
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists \{U_\beta \vert \beta \in B\} \in \{(O_1, A_1) \text{ 内の全てのチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）たち }\} \cap \{(O_2, A_2) \text{ 内の全てのチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall \beta \in B\)
(
\(\phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1}: \phi_{1, \beta} (U_\beta) \to \phi_{2, \beta} (U_\beta) \in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\}\)、ここで、\((U_\beta \subseteq S, \phi_{1, \beta})\)および\((U_\beta \subseteq S, \phi_{2, \beta})\)は\((O_1, A_1)\)および\((O_2, A_2)\)のチャートたちである
)
)
\(\iff\)
\((O_1, A_1) = (O_2, A_2)\)
//
2: 注
本命題の即座の目的は、一定の自由度のあるある特定の方法によって構成された2つの可能なペアたちが同一であることを確かめることである、それが意味するのは、構成は、自由度にもかかわらずユニークであるということ。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対して、トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムであると仮定し、\((O_1, A_1)\)のあるチャート\((U_\beta \subseteq S, \phi_{1, \beta})\)および\((O_2, A_2)\)のあるチャート\((U_\beta \subseteq S, \phi_{2, \beta})\)を取り、\(\phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1}: \phi_{1, \beta} (U_\beta) \to \phi_{2, \beta} (U_\beta)\)、ディフェオモーフィックを取る; ステップ2: \(U_\beta\)の\(O_1\)における任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq U_\beta\)を取り、\(U_1 = {\phi_{2, \beta}}^{-1} \circ \phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1} (\phi_{1, \beta} (U_1))\)は\(U_\beta\)の\(O_2\)におけるオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ3: \(O_1 = O_2\)であると結論する; ステップ4: \(A_1 = A_2\)であると結論する; ステップ5: \((O_1, A_1) = (O_2, A_2)\)であると仮定し、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対して、トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムであると結論する。
ステップ1:
ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対して、トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムであると仮定しよう。
\((O_1, A_1)\)のあるチャート\((U_\beta \subseteq S, \phi_{1, \beta})\)および\((O_2, A_2)\)のあるチャート\((U_\beta \subseteq S, \phi_{2, \beta})\)を取ろう。
\(\phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1}: \phi_{1, \beta} (U_\beta) \to \phi_{2, \beta} (U_\beta)\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それが、仮定が意味することである。
ステップ2:
\(U_\beta\)の\(O_1\)における任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq U_\beta\)を取ろう。
\(U_1 = {\phi_{2, \beta}}^{-1} \circ \phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1} (\phi_{1, \beta} (U_1))\). \(U_1 = {\phi_{2, \beta}}^{-1} \circ \phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1} (\phi_{1, \beta} (U_1))\)。
\(\phi_{1, \beta} (U_1)\)は\(\phi_{1, \beta} (U_\beta)\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(\phi_{1, \beta}\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。\(\phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1}\)はディフェオモーフィックであるから、それはホメオモーフィック（位相同形写像）である、したがって、\(\phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1} (\phi_{1, \beta} (U_1))\)は\(\phi_{2, \beta} (U_\beta)\)上でオープン（開）である。すると、\(U_1 = {\phi_{2, \beta}}^{-1} \circ \phi_{2, \beta} \circ {\phi_{1, \beta}}^{-1} (\phi_{1, \beta} (U_1))\)は\(U_\beta\)上で\(O_2\)においてオープン（開）である、なぜなら、\(\phi_{2, \beta}\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。
ステップ3:
対称性により、\(U_\beta\)の\(O_2\)における任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(O_1\)においてオープン（開）である。
任意のセット（集合）および2つの任意のトポロジーたちに対して、もしも、ある共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該カバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、当該トポロジーたちは同一であるという命題によって、\(O_1 = O_2\)。
ステップ4:
\((U_\beta \subseteq S, \phi_{2, \beta})\)は\((U_\beta \subseteq S, \phi_{1, \beta})\)と\(C^\infty\)コンパチブル（互換）である、なぜなら、当該トランジション（遷移）は\(C^\infty\)である、したがって、\((U_\beta \subseteq S, \phi_{2, \beta}) \in A_1\)。
\(\{(U_\beta \subseteq S, \phi_{2, \beta}) \vert \beta \in B\}\)はアトラスであり、それを\(A_1\)および\(A_2\)両方が含むから、\(A_1 = A_2\): 任意のアトラスを含むマキシマル（最大）アトラスはユニークである。
ステップ5:
\((O_1, A_1) = (O_2, A_2)\)であると仮定しよう。
ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）がある。
各共通チャートに対するトランジション（遷移）はディフェオモーフィズムである。
