2024年11月17日日曜日

866: セット（集合）および2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各トランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ペアたちは同一である

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セット（集合）および2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各トランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ペアたちは同一であることの記述/証明

話題


About: C∞マニフォールド（多様体）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
S: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
O1: ∈{S に対する全てのトポロジーたち }
O2: ∈{S に対する全てのトポロジーたち }
A1: ∈{S に対する全ての C∞ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、アトラスたち }
A2: ∈{S に対する全ての C∞ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、アトラスたち }
(O1,A1):
(O2,A2):
//

ステートメント（言明）たち:
(
∃{Uβ|β∈B}∈{(O1,A1) 内の全てのチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）たち }∩{(O2,A2) 内の全てのチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）たち }
∧
∀β∈B
(
ϕ2,β∘ϕ1,β−1:ϕ1,β(Uβ)→ϕ2,β(Uβ)∈{ 全てのディフェオモーフィズムたち }、ここで、(Uβ⊆S,ϕ1,β)および(Uβ⊆S,ϕ2,β)は(O1,A1)および(O2,A2)のチャートたちである
)
)
⟺
(O1,A1)=(O2,A2)
//

2: 注


本命題の即座の目的は、一定の自由度のあるある特定の方法によって構成された2つの可能なペアたちが同一であることを確かめることである、それが意味するのは、構成は、自由度にもかかわらずユニークであるということ。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対して、トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムであると仮定し、(O1,A1)のあるチャート(Uβ⊆S,ϕ1,β)および(O2,A2)のあるチャート(Uβ⊆S,ϕ2,β)を取り、ϕ2,β∘ϕ1,β−1:ϕ1,β(Uβ)→ϕ2,β(Uβ)、ディフェオモーフィックを取る; ステップ2: UβのO1における任意のオープンサブセット（開部分集合）U1⊆Uβを取り、U1=ϕ2,β−1∘ϕ2,β∘ϕ1,β−1(ϕ1,β(U1))はUβのO2におけるオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ3: O1=O2であると結論する; ステップ4: A1=A2であると結論する; ステップ5: (O1,A1)=(O2,A2)であると仮定し、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対して、トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムであると結論する。

ステップ1:

ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対して、トランジション（遷移）はディフェオモーフィズムであると仮定しよう。

(O1,A1)のあるチャート(Uβ⊆S,ϕ1,β)および(O2,A2)のあるチャート(Uβ⊆S,ϕ2,β)を取ろう。

ϕ2,β∘ϕ1,β−1:ϕ1,β(Uβ)→ϕ2,β(Uβ)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それが、仮定が意味することである。

ステップ2:

UβのO1における任意のオープンサブセット（開部分集合）U1⊆Uβを取ろう。

U1=ϕ2,β−1∘ϕ2,β∘ϕ1,β−1(ϕ1,β(U1)). U1=ϕ2,β−1∘ϕ2,β∘ϕ1,β−1(ϕ1,β(U1))。

ϕ1,β(U1)はϕ1,β(Uβ)上でオープン（開）である、なぜなら、ϕ1,βはホメオモーフィック（位相同形写像）である。ϕ2,β∘ϕ1,β−1はディフェオモーフィックであるから、それはホメオモーフィック（位相同形写像）である、したがって、ϕ2,β∘ϕ1,β−1(ϕ1,β(U1))はϕ2,β(Uβ)上でオープン（開）である。すると、U1=ϕ2,β−1∘ϕ2,β∘ϕ1,β−1(ϕ1,β(U1))はUβ上でO2においてオープン（開）である、なぜなら、ϕ2,βはホメオモーフィック（位相同形写像）である。

ステップ3:

対称性により、UβのO2における任意のオープンサブセット（開部分集合）はO1においてオープン（開）である。

任意のセット（集合）および2つの任意のトポロジーたちに対して、もしも、ある共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該カバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、当該トポロジーたちは同一であるという命題によって、O1=O2。

ステップ4:

(Uβ⊆S,ϕ2,β)は(Uβ⊆S,ϕ1,β)とC∞コンパチブル（互換）である、なぜなら、当該トランジション（遷移）はC∞である、したがって、(Uβ⊆S,ϕ2,β)∈A1。

{(Uβ⊆S,ϕ2,β)|β∈B}はアトラスであり、それをA1およびA2両方が含むから、A1=A2: 任意のアトラスを含むマキシマル（最大）アトラスはユニークである。

ステップ5:

(O1,A1)=(O2,A2)であると仮定しよう。

ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）がある。

各共通チャートに対するトランジション（遷移）はディフェオモーフィズムである。

参考資料
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