セット（集合）に対して、アトラス候補はトポロジーとアトラスを決定することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちを認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{\text{ 全てのインフィニット（無限）かもしれないがカウンタブル（可算）であるインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(C\): \(= \{U_\beta \subseteq S \vert \beta \in B\}\), \(\in \{S \text{ の全てのカバー（被覆）たち }\}\)
\(A\): \(= \{(U_\beta \subseteq S, \phi_\beta) \vert \beta \in B\}\), \(\phi_\beta: U_\beta \to \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\phi_\beta \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\)、\(\phi_\beta (U_\beta) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d \in \{ \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\} \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\)、\(\forall \beta, \beta' \in B (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d \in \{\phi_\beta (U_\beta) \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \land \phi_{\beta'} \circ {\phi_\beta}^{-1} \vert_{\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'})}: \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \to \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'}) \in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\})\)
\(\{D_\beta \vert \beta \in B\}\): \(D_\beta \in \{\phi_\beta (U_\beta) \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\}\)
\(D := \{{\phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq U_\beta \vert \beta \in B, U \in D_\beta\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(D \in \{S \text{ に対する全てのトポロジカルベーシス（基底）たち }\}\)
\(\land\)
(
\(\forall s, s' \in S\)
(
\(1) \exists U_\beta \in C (s, s' \in U_\beta)\)
\(\lor\)
\(2) \exists U_\beta, U_{\beta'} \in C \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } U_\beta \cap U_{\beta'} = \emptyset (s \in U_\beta \land s' \in U_{\beta'})\)
\(\lor\)
\(3) \exists U_\beta, U_{\beta'} \in C ((s \in U_\beta \setminus \overline{U_{\beta'}} \land s' \in U_{\beta'}) \lor (s \in U_\beta \land s' \in U_{\beta'} \setminus \overline{U_\beta}))\)
)
\(\implies\)
\(A \in \{\text{ 当該 } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、 } S \text{ 、 } D \text{ によって生成されたトポロジーを持つ、の全てのアトラスたち }\}\)
)
//
2: 注
\(C\)はオープンカバー（開被覆）であると定義されてはいない、なぜなら、\(S\)はまだ何のトポロジーも持っていない、しかし、後に与えられるトポロジーに関してオープンカバー（開被覆）となる。
\(A\)は"アトラス候補"と呼ばれる、なぜなら、\(S\)はまだ何のトポロジーも持っておらず、\(\phi_\beta\)のホメオモーフィズム（位相同形写像）を語ることができない。
形式上は、最初にあるトポロジーが\(S\)へ与えられ、次に、あるアトラスが当該トポロジカルスペース（空間）へ与えられる。しかし、実際的には、時により、最初に、まだ何のトポロジーも指定されずにあるアトラス候補を決定し、次に、カノニカル（正典）トポロジーが、当該アトラス候補を本当にアトラスにするように決められる、それが、本命題の目的である。
条件1)、または2)、または3)は、当該トポロジカルスペース（空間）がハウスドルフであることを確認するためのものである; 1)および2)はそのままチェックできるが、3)は、当該トポロジーが生成された後にのみチェックできる、なぜなら、当該クロージャー（閉包）たちを取ることは、その前には意味をなさない。もしも、\(C\)が1)または2)を満たすように容易に定義できれば、そうすればよい。なぜ3)がオプションとして加えられたかというと、1)および2)だけというのは、厳しすぎる要件かもしれない: 例えば、\(S = \mathbb{R}\)に対して、\(C = \{(- \infty, 2), (1, \infty)\}\)でアイデンティティマップ（恒等写像）を持つものは、\(s \le 1, 2 \le s'\)に対して1)も2)も満たさない: 例えば、\(s = 0, s' = 3\)は1)も2)も満たさない、しかし、3)を満たす: \(0 \in (- \infty, 2) \setminus [1, \infty), 3 \in (1, \infty)\); 実のところ、\(s = 1, s' = 2\)は3)を満たさない、しかし、私たちは、\((0.5, 2.5)\)を\(C\)へ追加できる、そして、1)が満たされる、\(1, 2 \in (0.5, 2.5)\)であるから、その一方、1)も2)も、\(s = 0, s' = 3\)に対しては未だに満たされない。
実のところ、もしも、ハウスドルフ性を任意の他の方法によってチェックしたら、それで十分である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(D\)は本当にベーシス（基底）であることを見る、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのある基準によって、そして、当該トポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）でありハウスドルフであることを見る; ステップ2: \(A\)は本当に当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(S\)、\(D\)によって生成されたトポロジーを持つ、のアトラスであることを見る。
ステップ1:
\(D\)は本当にベーシス（基底）であることを見よう、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であるための"記述2"によって。
1) \(S = \cup D\)？
各\(\beta \in B\)に対して、\(\phi_\beta (U_\beta) = \cup D_\beta\)、なぜなら、\(D_\beta\)は\(\phi_\beta (U_\beta)\)のベーシス（基底）である、したがって、\(U_\beta = {\phi_\beta}^{-1} (\phi_\beta (U_\beta)) = {\phi_\beta}^{-1} (\cup D_\beta) = \cup \{{\phi_\beta}^{-1} (U) \vert U \in D_\beta\}\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(S = \cup C = \cup_{\beta \in B} U_\beta\)であるから、\(S = \cup_{\beta \in B} (\cup \{{\phi_\beta}^{-1} (U) \vert U \in D_\beta\}) = \cup D\)。
2) 各\({\phi_\beta}^{-1} (U), {\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \in D\)および各ポイント\(s \in {\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U')\)に対して、以下を満たすあるセット（集合）\({\phi_{\beta''}}^{-1} (U'') \in D\)、つまり、\(s \in {\phi_{\beta''}}^{-1} (U'') \subseteq {\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U')\)、があるか？
\(\beta = \beta'\)である時、\({\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_\beta}^{-1} (U') = {\phi_\beta}^{-1} (U \cap U')\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。しかし、\(D_\beta\)はベーシス（基底）であるから、以下を満たすある\(U'' \in D_\beta\)、つまり、\(\phi_\beta (s) \in U'' \subseteq U \cap U'\)、がある、そして、\({\phi_\beta}^{-1} (U'') \in D\)は、\(s \in {\phi_\beta}^{-1} (U'') \subseteq {\phi_\beta}^{-1} (U \cap U') = {\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta}}^{-1} (U')\)を満たす。
\(\beta \neq \beta'\)であると仮定しよう。
以下を満たすある\(U'' \subseteq D_\beta\)、つまり、\(s \in {\phi_\beta}^{-1} (U'') \subseteq {\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U')\)、があることを見よう。
\({\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U') = {\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \cap (U_\beta \cap U_{\beta'}) = ({\phi_\beta}^{-1} (U) \cap (U_\beta \cap U_{\beta'})) \cap ({\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \cap (U_\beta \cap U_{\beta'}))\)。
したがって、\(\phi_\beta ({\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U')) = \phi_\beta (({\phi_\beta}^{-1} (U) \cap (U_\beta \cap U_{\beta'})) \cap ({\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \cap (U_\beta \cap U_{\beta'}))) = \phi_\beta ({\phi_\beta}^{-1} (U) \cap (U_\beta \cap U_{\beta'})) \cap \phi_\beta ({\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \cap (U_\beta \cap U_{\beta'})) = \phi_\beta ({\phi_\beta}^{-1} (U)) \cap \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \cap \phi_\beta ({\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \cap (U_\beta \cap U_{\beta'}))\)、, by 任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= U \cap \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \cap \phi_\beta \circ {\phi_{\beta'}}^{-1} \circ \phi_{\beta'} ({\phi_{\beta'}}^{-1} (U') \cap (U_\beta \cap U_{\beta'})) = U \cap \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \cap \phi_\beta \circ {\phi_{\beta'}}^{-1} (\phi_{\beta'} ({\phi_{\beta'}}^{-1} (U')) \cap \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'}))\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= U \cap \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \cap \phi_\beta \circ {\phi_{\beta'}}^{-1} (U' \cap \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'})) := U'''\)。
\(U\)は\(\phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である; \(\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'})\)は\(\phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である、仮定によって; \(\phi_\beta \circ {\phi_{\beta'}}^{-1} (U' \cap \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'}))\)は\(\phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U' \cap \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'})\)は\(\phi_{\beta'} (U_{\beta'})\)上でオープン（開）である（なぜなら、\(U'\)および\(\phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'})\)がそうである、仮定によって）、そして、\(\phi_\beta \circ {\phi_{\beta'}}^{-1}\)はディフェオモーフィックである。したがって、\(U'''\)は\(\phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である。
\(D_\beta\)はベーシス（基底）であるから、以下を満たすある\(U'' \in D_\beta\)、つまり、\(\phi_\beta (s) \in U'' \subseteq U'''\)、がある。
すると、\({\phi_\beta}^{-1} (U'') \in D\)および\(s \in {\phi_\beta}^{-1} (U'') \subseteq {\phi_\beta}^{-1} (U''') = {\phi_\beta}^{-1} (U) \cap {\phi_{\beta'}}^{-1} (U')\)。
したがって、\(D\)は本当に\(S\)に対するベーシス（基底）であり、\(S\)に対するトポロジーを生成する。
\(D\)はカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(B\)はカウンタブル（可算）であり、各\(\beta \in B\)に対して、\(D_\beta\)はカウンタブル（可算）である。
\(D\)はハウスドルフである、なぜなら、各\(s, s' \in S\)に対して、1) \(s, s' \in U_\beta\)である時、以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_s, U_{s'} \subseteq U_\beta\)、つまり、\(U_s \cap U_{s'} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(\phi_\beta (U_\beta)\)はハウスドルフであるから、\(\phi_\beta (s)\)および\(\phi_\beta (s')\)の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{\phi_\beta (s)}, U_{\phi_\beta (s')} \in D_\beta\)、つまり、\(U_{\phi_\beta (s)} \cap U_{\phi_\beta (s')} = \emptyset\)、があり、\(U_s := {\phi_\beta}^{-1} (U_{\phi_\beta (s)}), U_{s'} := {\phi_\beta}^{-1} (U_{\phi_\beta (s')})\)でよい; 2) \(U_\beta \cap U_{\beta'} = \emptyset\)および\(s \in U_\beta\)かつ\(s' \in U_{\beta'}\)である時、\(U_s := U_\beta, U_{s'} := U_{\beta'}\)でよい; 3) \(s \in U_\beta \setminus \overline{U_{\beta'}} \land s' \in U_{\beta'}\)である時、\(s\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_s \subseteq U_\beta \setminus \overline{U_{\beta'}}\)があり、\(U_{s'} := U_{\beta'}\)として、\(U_s \cap U_{s'} \subseteq U_\beta \setminus \overline{U_{\beta'}} \cap U_{\beta'} \subseteq U_\beta \setminus U_{\beta'} \cap U_{\beta'} = \emptyset\); \(s \in U_\beta \land s' \in U_{\beta'} \setminus \overline{U_\beta}\)に対しても同様。
ステップ2:
\(A\)は本当に当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(S\)、\(D\)によって生成されたトポロジーを持つもの、のアトラスであることを見よう。
各\((U_\beta \subseteq S, \phi_\beta)\)は本当にチャートである、なぜなら、\(U_\beta\)は\(S\)のオープンサブセット（開部分集合）である、\(\phi_\beta (U_\beta)\)は\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{H}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である、\(\phi_\beta: U_\beta \to \phi_\beta (U_\beta) \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である: each open subset of \(\phi_\beta (U_\beta)\)の各オープンサブセット（開部分集合）は\(D_\alpha\)のいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である、その\(\phi_\beta\)下のプリイメージ（前像）は当該要素たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）である、当該要素たちは\(D\)の対応する要素たちである、当該ユニオン（和集合）は\(U_\beta\)上でオープン（開）である; \(U_\beta\)の各オープンサブセット（開部分集合）は\(D\)のいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である、その\(\phi_\beta\)下のイメージ（像）は当該要素たちのイメージ（像）のユニオン（和集合）である、当該要素たちは\(D_\beta\)の対応する要素たちである、当該ユニオン（和集合）は\(\phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である。
各トランジション（遷移）\(\phi_{\beta'} \circ {\phi_\beta}^{-1} \vert_{\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'})}: \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \to \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'})\)はディフェオモーフィズムである、仮定によって。
当該チャートたちは\(S\)をカバーする。
したがって、\(A\)は本当に当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(S\)、\(D\)によって生成されたトポロジーを持つもの、のアトラスである。
