865: セット（集合）に対して、アトラス候補はトポロジーとアトラスを決定する

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セット（集合）に対して、アトラス候補はトポロジーとアトラスを決定することの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちを認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$B$: $\in \{\text{ 全てのインフィニット（無限）かもしれないがカウンタブル（可算）であるインデックスセット（集合）たち }\}$
$C$: $=\{U_{\beta }\subseteq S|\beta \in B\}$, $\in \{S\text{ の全てのカバー（被覆）たち }\}$
$A$: $=\{(U_{\beta }\subseteq S,{\varphi }_{\beta })|\beta \in B\}$, ${\varphi }_{\beta }:U_{\beta }\to {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$で、以下を満たすもの、つまり、${\varphi }_{\beta }\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}$、${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d\in \{{\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d\}\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }$、$\mathrm{\forall }\beta ,{\beta }^{\prime }\in B({\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d\in \{{\varphi }_{\beta }(U_{\beta })\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\wedge {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}\circ {{\varphi }_{\beta }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})}:{\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\to {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\})$
$\{D_{\beta }|\beta \in B\}$: $D_{\beta }\in \{{\varphi }_{\beta }(U_{\beta })\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\}$
$D:=\{{{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq U_{\beta }|\beta \in B,U\in D_{\beta }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$D\in \{S\text{ に対する全てのトポロジカルベーシス（基底）たち }\}$
$\wedge$
(
$\mathrm{\forall }s,s^{\prime }\in S$
(
$1)\mathrm{\exists }{U}_{\beta }\in C(s,s^{\prime }\in U_{\beta })$
$\vee$
$2)\mathrm{\exists }{U}_{\beta },U_{{\beta }^{\prime }}\in C\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{U}_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }(s\in U_{\beta }\wedge s^{\prime }\in U_{{\beta }^{\prime }})$
$\vee$
$3)\mathrm{\exists }{U}_{\beta },U_{{\beta }^{\prime }}\in C((s\in U_{\beta }\setminus \overline{U_{{\beta }^{\prime }}}\wedge s^{\prime }\in U_{{\beta }^{\prime }})\vee (s\in U_{\beta }\wedge s^{\prime }\in U_{{\beta }^{\prime }}\setminus \overline{U_{\beta }}))$
)
$⟹$
$A\in \{\text{ 当該 }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、 }S\text{ 、 }D\text{ によって生成されたトポロジーを持つ、の全てのアトラスたち }\}$
)
//

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2: 注

$C$はオープンカバー（開被覆）であると定義されてはいない、なぜなら、$S$はまだ何のトポロジーも持っていない、しかし、後に与えられるトポロジーに関してオープンカバー（開被覆）となる。

$A$は"アトラス候補"と呼ばれる、なぜなら、$S$はまだ何のトポロジーも持っておらず、${\varphi }_{\beta }$のホメオモーフィズム（位相同形写像）を語ることができない。

形式上は、最初にあるトポロジーが$S$へ与えられ、次に、あるアトラスが当該トポロジカルスペース（空間）へ与えられる。しかし、実際的には、時により、最初に、まだ何のトポロジーも指定されずにあるアトラス候補を決定し、次に、カノニカル（正典）トポロジーが、当該アトラス候補を本当にアトラスにするように決められる、それが、本命題の目的である。

条件1)、または2)、または3)は、当該トポロジカルスペース（空間）がハウスドルフであることを確認するためのものである; 1)および2)はそのままチェックできるが、3)は、当該トポロジーが生成された後にのみチェックできる、なぜなら、当該クロージャー（閉包）たちを取ることは、その前には意味をなさない。もしも、$C$が1)または2)を満たすように容易に定義できれば、そうすればよい。なぜ3)がオプションとして加えられたかというと、1)および2)だけというのは、厳しすぎる要件かもしれない: 例えば、$S=\mathbb{R}$に対して、$C=\{(-\mathrm{\infty },2),(1,\mathrm{\infty })\}$でアイデンティティマップ（恒等写像）を持つものは、$s\le 1,2\le s^{\prime }$に対して1)も2)も満たさない: 例えば、$s=0,s^{\prime }=3$は1)も2)も満たさない、しかし、3)を満たす: $0\in (-\mathrm{\infty },2)\setminus [1,\mathrm{\infty }),3\in (1,\mathrm{\infty })$; 実のところ、$s=1,s^{\prime }=2$は3)を満たさない、しかし、私たちは、$(0.5,2.5)$を$C$へ追加できる、そして、1)が満たされる、$1,2\in (0.5,2.5)$であるから、その一方、1)も2)も、$s=0,s^{\prime }=3$に対しては未だに満たされない。

実のところ、もしも、ハウスドルフ性を任意の他の方法によってチェックしたら、それで十分である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $D$は本当にベーシス（基底）であることを見る、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのある基準によって、そして、当該トポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）でありハウスドルフであることを見る; ステップ2: $A$は本当に当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$S$、$D$によって生成されたトポロジーを持つ、のアトラスであることを見る。

ステップ1:

$D$は本当にベーシス（基底）であることを見よう、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であるための"記述2"によって。

1) $S=\cup D$？

各$\beta \in B$に対して、${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })=\cup D_{\beta }$、なぜなら、$D_{\beta }$は${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$のベーシス（基底）である、したがって、$U_{\beta }={{\varphi }_{\beta }}^{-1}({\varphi }_{\beta }(U_{\beta }))={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(\cup D_{\beta })=\cup \{{{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)|U\in D_{\beta }\}$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。

$S=\cup C={\cup }_{\beta \in B}{U}_{\beta }$であるから、$S={\cup }_{\beta \in B}(\cup \{{{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)|U\in D_{\beta }\})=\cup D$。

2) 各${{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U),{{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\in D$および各ポイント$s\in {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })$に対して、以下を満たすあるセット（集合）${{\varphi }_{{\beta }^{″}}}^{-1}(U^{″})\in D$、つまり、$s\in {{\varphi }_{{\beta }^{″}}}^{-1}(U^{″})\subseteq {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })$、があるか？

$\beta ={\beta }^{\prime }$である時、${{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{\prime })={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U\cap U^{\prime })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。しかし、$D_{\beta }$はベーシス（基底）であるから、以下を満たすある$U^{″}\in D_{\beta }$、つまり、${\varphi }_{\beta }(s)\in U^{″}\subseteq U\cap U^{\prime }$、がある、そして、${{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{″})\in D$は、$s\in {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{″})\subseteq {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U\cap U^{\prime })={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{\prime })$を満たす。

$\beta \ne {\beta }^{\prime }$であると仮定しよう。

以下を満たすある$U^{″}\subseteq D_{\beta }$、つまり、$s\in {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{″})\subseteq {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })$、があることを見よう。

${{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})=({{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))\cap ({{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))$。

したがって、${\varphi }_{\beta }({{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime }))={\varphi }_{\beta }(({{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))\cap ({{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})))={\varphi }_{\beta }({{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))\cap {\varphi }_{\beta }({{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))={\varphi }_{\beta }({{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U))\cap {\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\cap {\varphi }_{\beta }({{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))$、, by 任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、$=U\cap {\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\cap {\varphi }_{\beta }\circ {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}\circ {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}({{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })\cap (U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))=U\cap {\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\cap {\varphi }_{\beta }\circ {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}({\varphi }_{{\beta }^{\prime }}({{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime }))\cap {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))$、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、$=U\cap {\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\cap {\varphi }_{\beta }\circ {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime }\cap {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})):=U^{‴}$。

$U$は${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$上でオープン（開）である; ${\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})$は${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$上でオープン（開）である、仮定によって; ${\varphi }_{\beta }\circ {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime }\cap {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}))$は${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$上でオープン（開）である、なぜなら、$U^{\prime }\cap {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})$は${\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{{\beta }^{\prime }})$上でオープン（開）である（なぜなら、$U^{\prime }$および${\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})$がそうである、仮定によって）、そして、${\varphi }_{\beta }\circ {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}$はディフェオモーフィックである。したがって、$U^{‴}$は${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$上でオープン（開）である。

$D_{\beta }$はベーシス（基底）であるから、以下を満たすある$U^{″}\in D_{\beta }$、つまり、${\varphi }_{\beta }(s)\in U^{″}\subseteq U^{‴}$、がある。

すると、${{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{″})\in D$および$s\in {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{″})\subseteq {{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U^{‴})={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U)\cap {{\varphi }_{{\beta }^{\prime }}}^{-1}(U^{\prime })$。

したがって、$D$は本当に$S$に対するベーシス（基底）であり、$S$に対するトポロジーを生成する。

$D$はカウンタブル（可算）である、なぜなら、$B$はカウンタブル（可算）であり、各$\beta \in B$に対して、$D_{\beta }$はカウンタブル（可算）である。

$D$はハウスドルフである、なぜなら、各$s,s^{\prime }\in S$に対して、1) $s,s^{\prime }\in U_{\beta }$である時、以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_s,U_{s^{\prime }}\subseteq U_{\beta }$、つまり、$U_s\cap U_{s^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$、がある、なぜなら、${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$はハウスドルフであるから、${\varphi }_{\beta }(s)$および${\varphi }_{\beta }(s^{\prime })$の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_{{\varphi }_{\beta }(s)},U_{{\varphi }_{\beta }(s^{\prime })}\in D_{\beta }$、つまり、$U_{{\varphi }_{\beta }(s)}\cap U_{{\varphi }_{\beta }(s^{\prime })}=\mathrm{\varnothing }$、があり、$U_s:={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U_{{\varphi }_{\beta }(s)}),U_{s^{\prime }}:={{\varphi }_{\beta }}^{-1}(U_{{\varphi }_{\beta }(s^{\prime })})$でよい; 2) $U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$および$s\in U_{\beta }$かつ$s^{\prime }\in U_{{\beta }^{\prime }}$である時、$U_s:=U_{\beta },U_{s^{\prime }}:=U_{{\beta }^{\prime }}$でよい; 3) $s\in U_{\beta }\setminus \overline{U_{{\beta }^{\prime }}}\wedge s^{\prime }\in U_{{\beta }^{\prime }}$である時、$s$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_s\subseteq U_{\beta }\setminus \overline{U_{{\beta }^{\prime }}}$があり、$U_{s^{\prime }}:=U_{{\beta }^{\prime }}$として、$U_s\cap U_{s^{\prime }}\subseteq U_{\beta }\setminus \overline{U_{{\beta }^{\prime }}}\cap U_{{\beta }^{\prime }}\subseteq U_{\beta }\setminus U_{{\beta }^{\prime }}\cap U_{{\beta }^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$; $s\in U_{\beta }\wedge s^{\prime }\in U_{{\beta }^{\prime }}\setminus \overline{U_{\beta }}$に対しても同様。

ステップ2:

$A$は本当に当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$S$、$D$によって生成されたトポロジーを持つもの、のアトラスであることを見よう。

各$(U_{\beta }\subseteq S,{\varphi }_{\beta })$は本当にチャートである、なぜなら、$U_{\beta }$は$S$のオープンサブセット（開部分集合）である、${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$は${\mathbb{R}}^d$または${\mathbb{H}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）である、${\varphi }_{\beta }:U_{\beta }\to {\varphi }_{\beta }(U_{\beta })\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$はホメオモーフィック（位相同形写像）である: each open subset of ${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$の各オープンサブセット（開部分集合）は$D_{\alpha }$のいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である、その${\varphi }_{\beta }$下のプリイメージ（前像）は当該要素たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）である、当該要素たちは$D$の対応する要素たちである、当該ユニオン（和集合）は$U_{\beta }$上でオープン（開）である; $U_{\beta }$の各オープンサブセット（開部分集合）は$D$のいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である、その${\varphi }_{\beta }$下のイメージ（像）は当該要素たちのイメージ（像）のユニオン（和集合）である、当該要素たちは$D_{\beta }$の対応する要素たちである、当該ユニオン（和集合）は${\varphi }_{\beta }(U_{\beta })$上でオープン（開）である。

各トランジション（遷移）${\varphi }_{{\beta }^{\prime }}\circ {{\varphi }_{\beta }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})}:{\varphi }_{\beta }(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})\to {\varphi }_{{\beta }^{\prime }}(U_{\beta }\cap U_{{\beta }^{\prime }})$はディフェオモーフィズムである、仮定によって。

当該チャートたちは$S$をカバーする。

したがって、$A$は本当に当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$S$、$D$によって生成されたトポロジーを持つもの、のアトラスである。

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参考資料

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