2024年11月17日日曜日

867: リストリクテッド(制限された)Cベクトルたちバンドル(束)

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リストリクテッド(制限された)Cベクトルたちバンドル(束)の定義

話題


About: Cマニフォールド(多様体)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、リストリクテッド(制限された)Cベクトルたちバンドル(束)の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
M: { 全ての d ディメンショナル(次元) C マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }
E: { 全ての C マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }
(E,M,π): { ランク k の全ての C ベクトルたちバンドル(束)たち }
M: {M の全ての d ディメンショナル(次元)イマーストサブマニフォールド、バウンダリー(境界)付き、たち }
ι: :MM, = 当該インクルージョン(封入) 
E: =π1(M)Eで、下に指定されるトポロジーおよびアトラスを持つもの
π: =π|E:EM, { ランク k の全ての C ローカルにトリビアルなサージェクション(全射)たち }
(E,M,π):
//

コンディションたち:
mMに対して、mMの周りのあるトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)UmMを取る。
mMの周りの以下を満たすあるチャート(UmM,ϕm)、つまり、ι(Um)UmおよびUmMのエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付きである: ιはコンティニュアス(連続)であるから、mM上におけるあるオープンネイバーフッド(開近傍)がインクルージョン(封入)下でUmの中へマップされるように取れ、あるチャートドメイン(定義域)が当該オープンネイバーフッド(開近傍)の内部に取れる、その時、当該チャートドメイン(定義域)はMのエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、にできる、なぜなら、任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー(境界)付き、は、ローカルにエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、である。
{Um|mM}Mのオープンカバー(開被覆)であり、任意のカウンタブル(可算)サブカバー{Uβ|βB}を取る、それは可能である、任意のセカンドカウンタブル(可算)トポロジカルスペース(空間)上で、任意のサブセット(部分集合)の任意のオープンカバー(開被覆)はカウンタブル(可算)サブカバーを持つという命題によって。
対応するトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)たちを{Uβ|βB}と記し、トリビアライゼーションたち{Φβ:π1(Uβ)Uβ×Rk|βB}を取る。
Φβ:π1(Uβ)Uβ×Rk:=(ιβ1,id)Φβτβとしよう、ここで、τβ:π1(Uβ)π1(Uβ)は当該インクルージョン(封入)、ιβ:UβMは当該インクルージョン(封入)、ιβ:Uβιβ(Uβ)Mιβのコドメイン(余域)リストリクション(制限)。
λ:Rd+kRd+k,(r1,...,rd,rd+1,...,rd+k)(rd+1,...,rd+k,r1,...,rd)とする。
ϕβ~:π1(Uβ)Rd+k or Hd+k, =λ(ϕβ,id)Φβとする。
Eに対するアトラス候補{(π1(Uβ),ϕβ~)|βB}Eのトポロジーおよびアトラスを決定させる、任意のセット(集合)に対して、任意のアトラス候補はカノニカル(正典)トポロジーとアトラスを決定するという命題によって。
//


2: 注


{(π1(Uβ),ϕβ~)|βB}は、本当に任意のセット(集合)に対して、任意のアトラス候補はカノニカル(正典)トポロジーとアトラスを決定するという命題内で言及されているアトラス候補であることを見よう。

{π1(Uβ)|βB}は本当にEのカウンタブル(可算)カバーである。

ϕβ~(π1(Uβ))Rd+k または Hd+kはオープン(開)である、なぜなら、ϕβ~(π1(Uβ))=λ(ϕβ,id)Φβ(π1(Uβ))=λ(ϕβ,id)(ιβ1,id)Φβτβ(π1(Uβ))=λ(ϕβ,id)(Uβ×Rk)=λ(ϕβ(Uβ)×Rk)=Rk×ϕβ(Uβ)、それはRd+kまたはHd+k上でオープン(開)である。

ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uβ))=ϕβ~(π1(UβUβ))=Rk×ϕβ(UβUβ)、それは、ϕβ~(π1(Uβ))=Rk×ϕβ(Uβ)上でオープン(開)である、なぜなら、UβUβUβ上でオープン(開)である、したがって、ϕβ(UβUβ)ϕβ(Uβ)上でオープン(開)である。

ϕβ~は明らかにインジェクティブ(単射)である。

ϕβ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uβ))=λ(ϕβ,id)ΦβΦβ1(ϕβ,id)1λ1|Rk×(ϕβ(UβUβ))、なぜなら、ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uβ))=ϕβ~(π1(UβUβ))=λ(ϕβ,id)Φβ(π1(UβUβ))=λ(ϕβ,id)((UβUβ)×Rk)=λ(ϕβ(UβUβ),Rk)=Rk×(ϕβ(UβUβ))

=λ(ϕβ,id)(ιβ1,id)Φβτβ((ιβ1,id)Φβτβ)1(ϕβ,id)1λ1|Rk×(ϕβ(UβUβ))=λ(ϕβ,id)(ιβ1,id)Φβτβτβ1Φβ1(ιβ1,id)1(ϕβ,id)1λ1|Rk×(ϕβ(UβUβ))=λ(ϕβ,id)(ιβ1,id)Φβτβτβ1Φβ1(ιβ,id)(ϕβ,id)1λ1|Rk×(ϕβ(UβUβ))、ここで、τβ:π1(Uβ)τβ(π1(Uβ))π1(Uβ)τβのコドメイン(余域)リストリクション(制限)である。

=λ(ϕβ,id)(ιβ1,id)ΦβΦβ1(ιβ,id)(ϕβ,id)1λ1|Rk×(ϕβ(UβUβ))、それは、:Rk×(ϕβ(UβUβ))Rd+k または Hd+kϕβ(UβUβ)×RkRd×Rk または Hd×Rk(UβUβ)×RkUβ×Rk(UβUβ)×RkM×Rkπ1(UβUβ)π1(UβUβ)(UβUβ)×RkM×Rk(UβUβ)×RkUβ×Rkϕβ(UβUβ)×RkRd×Rk または Hd×RkRk×ϕβ(UβUβ)Rd+k または Hd+k

要点は、ιβ1Cであるということ、任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、に対して、コドメイン(余域)リストリクテッド(制限された)インクルージョン(封入)のインバース(逆)はCであるという命題によって。実のところ、そのために、UβM内にエンベッデッドである必要がある。

Φβ1およびΦβCである、なぜなら、それらは、確立されたCベクトルたちバンドル(束)(E,M,π)に対するトリビアライゼーションたちである。

ϕβ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uβ))の各構成要素はCである、バウンダリー(境界)付き任意のCマニフォールド(多様体)たちの任意のサブセット(部分集合)たち間の任意のマップ(写像)で任意のポイントにおいてCkであるもの、ここで、kを含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン(定義域)についてのリストリクション(制限)は当該ポイントにおいてCkであるという命題および任意のバウンダリー(境界)付きCマニフォールド(多様体)たちの任意のサブセット(部分集合)たち間の任意のマップ(写像)で任意のポイントにおいてCkであるもの、ここで、kを含む、に対して、レンジ(値域)を包含する任意のコドメイン(余域)についてのリストリクション(制限)またはエクスパンション(拡張)は当該ポイントにおいてCkであるという命題によって。

したがって、ϕβ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uβ))は、Cマップ(写像)たちの妥当なチェイン(連鎖)であり、Cである、任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たちの任意のサブセット(部分集合)たち間の任意のマップ(写像)たちで対応するポイントたちにおいてCkであるものたち、ここで、kを含む、に対して、コンポジション(合成)はポイントにおいてCkであるという命題によって。

ϕβ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uβ))Cである、対称性によって。

Eはハウスドルフであることを見よう: 任意のセット(集合)に対して、任意のアトラス候補はカノニカル(正典)トポロジーとアトラスを決定するという命題に対する"注"を参照。e,eEeeである任意のものとしよう。π(e)=π(e)である時、以下を満たすあるπ1(Uβ)、つまり、e,eπ1(Uβ)、がある。π1(Uβ)Rk×ϕβ(Uβ)へホメオモーフィズム(位相同形写像)であり、ϕβ~(e)ϕβ~(e)、そして、以下を満たす、ϕβ~(e)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)Uϕβ~(e)Rk×ϕβ(Uβ)およびϕβ~(e)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)Uϕβ~(e)Rk×ϕβ(Uβ)、つまり、Uϕβ~(e)Uϕβ~(e)=、がある、なぜなら、Rk×ϕβ(Uβ)はハウスドルフである、なぜなら、Rd+kまたはHd+kはハウスドルフである。すると、ϕβ~1(Uϕβ~(e))およびϕβ~1(Uϕβ~(e))は、それぞれ、eおよびeのオープンネイバーフッド(開近傍)たちである、そして、ϕβ~1(Uϕβ~(e))ϕβ~1(Uϕβ~(e)=π(e)π(e)である時、以下を満たす、π(e)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)Uπ(e)Mおよびπ(e)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)Uπ(e)M、つまり、Uπ(e)Uπ(e)=、がある、なぜなら、Mはハウスドルフである。Uπ(e)およびUπ(e)は、それぞれUβおよびUβ内に包含されているようにできる、ここで、Uβ=Uβであるかもしれないしないかもしれない。π1(Uπ(e))π1(Uβ)はオープン(開)である、なぜなら、ϕβ~(π1(Uπ(e)))=Rk×ϕβ(Uπ(e))Rk×ϕβ(Uβ)、それはオープン(開)である。同様に、π1(Uπ(e))π1(Uβ)はオープン(開)である。π1(Uπ(e))π1(Uπ(e))=

したがって、{(π1(Uβ),ϕβ~)|βB}は本当に、任意のセット(集合)に対して、任意のアトラス候補はカノニカル(正典)トポロジーとアトラスを決定するという命題内に言及されているアトラス候補である。

πCである: 各eEに対して、以下を満たすあるβB、つまり、eπ1(Uβ)、がある; チャートたち(π1(Uβ)E,ϕβ~)および(UβM,ϕβ)を取る; ϕβπϕβ~1は、:(v,ϕβ(p)ϕβ(p))である、それは明らかにCである。

Φβはランクkのトリビアライゼーションであることを見よう。

ϕβ~=λ(ϕβ,id)Φβであるので、Φβ=(ϕβ,id)1λ1ϕβ~=(ϕβ1,id)λ1ϕβ~、それはディフェオモーフィックである、なぜなら、ϕβ1およびϕβ~はディフェオモーフィックである。

mUβに対して、Φβ|π1(m)は'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィック(同形写像)である、なぜなら、それは、Φβ|π1(m)に等しい。

したがって、(E,M,π)は本当にCベクトルたちバンドル(束)である。

当該トポロジーおよび当該アトラスはユニークに定義されていることを見よう: 上記手順は、表面上は{(Uβ,ϕβ)|βB}および{Φβ|βB}の選択たちに依存している。

別の選択たちを{(Uγ,ϕγ)|γB}および{Φγ|γB}としよう。

すると、私たちは、Φγ=(ιγ1,id)Φγτγおよびϕγ~:π1(Uγ)Rd+k or Hd+k=λ(ϕγ,id)Φγを持つ。

私たちは、任意のセット(集合)および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン(定義域)たちオープンカバー(開被覆)があり、各共通チャートに対するトランジション(遷移)がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題を適用する。

{π1(Uβ)|βB)}は、前者トポロジー-アトラスペアに対するチャートドメイン(定義域)たちオープンカバー(開被覆)であり、{π1(Uγ)|γB)}は、後者トポロジー-アトラスペアに対するチャートドメイン(定義域)たちオープンカバー(開被覆)である。{π1(Uβ)π1(Uγ)|(β,γ)B×B)}はカウンタブル(可算)共通チャートドメイン(定義域)たちオープンカバー(開被覆)である、なぜなら、π1(Uβ)π1(Uγ)=π1(UβUγ)=Φβ1((UβUγ)×Rk)、それはπ1(Uβ)上でオープン(開)である、そして、同様に、それはπ1(Uγ)上でオープン(開)である。

ϕγ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uγ))=λ(ϕγ,id)ΦγΦβ1(ϕβ,id)1λ1|Rk×ϕβ(UβUγ)、なぜなら、ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uγ))=ϕβ~(π1(UβUγ))=Rk×ϕβ(UβUγ)

=λ(ϕγ,id)(ιγ1,id)Φγτγ((ιβ1,id)Φβτβ)1(ϕβ1,id)λ1=λ(ϕγ,id)(ιγ1,id)Φγτγτβ1Φβ1(ιβ1,id)1(ϕβ1,id)λ1=λ(ϕγ,id)(ιγ1,id)ΦγΦβ1(ιβ1,id)1(ϕβ1,id)λ1

それは、:Rk×ϕβ(UβUγ)Rd+k または Hd+kϕβ(UβUγ)×RkRd×Rk または Hd×Rk(UβUγ)×RkUβ×Rk(UβUγ)×RkM×Rkπ1(UβUγ)π1(UβUγ)(UβUγ)×RkM×Rk(UβUγ)×RkUγ×Rkϕγ(UβUγ)×RkRd×Rk または Hd×RkRk×ϕγ(UβUγ)Rd+k または Hd+k、それは、Cマップ(写像)たちの妥当なチェイン(連鎖)である。

したがって、ϕγ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uγ))Cである、任意のCマニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たちの任意のサブセット(部分集合)たち間の任意のマップ(写像)たちで対応するポイントたちにおいてCkであるものたち、ここで、kを含む、に対して、コンポジション(合成)はポイントにおいてCkであるという命題によって。

また、ϕβ~ϕγ~1|ϕγ~(π1(Uγ)π1(Uβ))Cである、対称性によって。

したがって、ϕγ~ϕβ~1|ϕβ~(π1(Uβ)π1(Uγ))はディフェオモーフィックである。

したがって、任意のセット(集合)および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン(定義域)たちオープンカバー(開被覆)があり、各共通チャートに対するトランジション(遷移)がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題によって、当該2つのトポロジー-アトラスペアたちは同一である、それが意味するのは、当該トポロジーおよび当該アトラスは、当該指定によってユニークに決定されるということ。

EEのイマーストサブマニフォールド、バウンダリー(境界)付き、であることを見よう。

τ:EEは当該インクルージョン(封入)としよう。

Uβは単にトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)であると選択されたが、Uβはチャートトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)にでき、それを今はする。

eEに対して、以下を満たすチャートたち(π1(Uβ)E,ϕβ~)および(π1(Uβ)E,ϕβ~)、つまり、eπ1(Uβ)、を選択しよう、それは不可避に、τ(e)π1(Uβ)およびτ(π1(Uβ))π1(Uβ)を含意する。

ϕβ~τϕβ~1は、:(v,ϕβ(p))(v,ϕβ(p))=(id,ϕβϕβ1)、それが含意するのは、τはインジェクティブ(単射)Cイマージョンであるということ、なぜなら、ϕβϕβ1は、ι:MMをインジェクティブ(単射)Cイマージョンにする諸特性たちを満たしている。


参考資料


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