リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M'\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( E'\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( (E', M', \pi')\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\( M\): \(\in \{M \text{ の全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\( E\): \(= \pi'^{-1} (M) \subseteq E'\)で、下に指定されるトポロジーおよびアトラスを持つもの
\( \pi\): \(= \pi \vert_{E}: E \to M\), \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } C^\infty \text{ ローカルにトリビアルなサージェクション（全射）たち }\}\)
\(*(E, M, \pi)\):
//
コンディションたち:
各\(m \in M\)に対して、\(m \in M'\)の周りのあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_m \subseteq M'\)を取る。
\(m \in M\)の周りの以下を満たすあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\iota (U_m) \subseteq U'_m\)および\(U_m\)は\(M'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きである: \(\iota\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(m\)の\(M\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）がインクルージョン（封入）下で\(U'_m\)の中へマップされるように取れ、あるチャートドメイン（定義域）が当該オープンネイバーフッド（開近傍）の内部に取れる、その時、当該チャートドメイン（定義域）は\(M'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、にできる、なぜなら、任意のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、は、ローカルにエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
\(\{U_m \vert m \in M\}\)は\(M\)のオープンカバー（開被覆）であり、任意のカウンタブル（可算）サブカバー\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\)を取る、それは可能である、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題によって。
対応するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを\(\{U'_\beta \vert \beta \in B\}\)と記し、トリビアライゼーションたち\(\{\Phi'_\beta: \pi'^{-1} (U'_\beta) \to U'_\beta \times \mathbb{R}^k \vert \beta \in B\}\)を取る。
\(\Phi_\beta: \pi^{-1} (U_\beta) \to U_\beta \times \mathbb{R}^k := ({\iota'_\beta}^{-1}, id) \circ \Phi'_\beta \circ \tau_\beta\)としよう、ここで、\(\tau_\beta: \pi^{-1} (U_\beta) \to \pi'^{-1} (U'_\beta)\)は当該インクルージョン（封入）、\(\iota_\beta: U_\beta \to M'\)は当該インクルージョン（封入）、\(\iota'_\beta: U_\beta \to \iota_\beta (U_\beta) \subseteq M'\)は\(\iota_\beta\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）。
\(\lambda: \mathbb{R}^{d + k} \to \mathbb{R}^{d + k}, (r^1, ..., r^d, r^{d + 1}, ..., r^{d + k}) \mapsto (r^{d + 1}, ..., r^{d + k}, r^1, ..., r^d)\)とする。
\(\widetilde{\phi_\beta}: \pi^{-1} (U_\beta) \to \mathbb{R}^{d + k} \text{ or } \mathbb{H}^{d + k}\), \(= \lambda \circ (\phi_\beta, id) \circ \Phi_\beta\)とする。
\(E\)に対するアトラス候補\(\{(\pi^{-1} (U_\beta), \widetilde{\phi_\beta}) \vert \beta \in B\}\)に\(E\)のトポロジーおよびアトラスを決定させる、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題によって。
//
2: 注
\(\{(\pi^{-1} (U_\beta), \widetilde{\phi_\beta}) \vert \beta \in B\}\)は、本当に任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題内で言及されているアトラス候補であることを見よう。
\(\{\pi^{-1} (U_\beta) \vert \beta \in B\}\)は本当に\(E\)のカウンタブル（可算）カバーである。
\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta)) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)はオープン（開）である、なぜなら、\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta)) = \lambda \circ (\phi_\beta, id) \circ \Phi_\beta (\pi^{-1} (U_\beta)) = \lambda \circ (\phi_\beta, id) \circ ({\iota'_\beta}^{-1}, id) \circ \Phi'_\beta \circ \tau_\beta (\pi^{-1} (U_\beta)) = \lambda \circ (\phi_\beta, id) (U_\beta \times \mathbb{R}^k) = \lambda (\phi_\beta (U_\beta) \times \mathbb{R}^k) = \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)、それは\(\mathbb{R}^{d + k}\)または\(\mathbb{H}^{d + k}\)上でオープン（開）である。
\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (U_{\beta'})) = \widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta \cap U_{\beta'})) = \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'})\)、それは、\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta)) = \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U_\beta \cap U_{\beta'}\)は\(U_\beta\)上でオープン（開）である、したがって、\(\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'})\)は\(\phi_\beta (U_\beta)\)上でオープン（開）である。
\(\widetilde{\phi_\beta}\)は明らかにインジェクティブ（単射）である。
\(\widetilde{\phi_{\beta'}} \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (U_{\beta'}))} = \lambda \circ (\phi_{\beta'}, id) \circ \Phi_{\beta'} \circ {\Phi_\beta}^{-1} \circ (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}))}\)、なぜなら、\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (U_{\beta'})) = \widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta \cap U_{\beta'})) = \lambda \circ (\phi_\beta, id) \circ \Phi_\beta (\pi^{-1} (U_\beta \cap U_{\beta'})) = \lambda \circ (\phi_\beta, id) ((U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k) = \lambda \circ (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}), \mathbb{R}^k) = \mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}))\)。
\(= \lambda \circ (\phi_{\beta'}, id) \circ ({\iota'_{\beta'}}^{-1}, id) \circ \Phi'_{\beta'} \circ \tau_{\beta'} \circ (({\iota'_\beta}^{-1}, id) \circ \Phi'_\beta \circ \tau_\beta)^{-1} \circ (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}))} = \lambda \circ (\phi_{\beta'}, id) \circ ({\iota'_{\beta'}}^{-1}, id) \circ \Phi'_{\beta'} \circ \tau_{\beta'} \circ {\tau_\beta}^{-1} \circ {\Phi'_\beta}^{-1} \circ ({\iota'_\beta}^{-1}, id)^{-1} \circ (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}))} = \lambda \circ (\phi_{\beta'}, id) \circ ({\iota'_{\beta'}}^{-1}, id) \circ \Phi'_{\beta'} \circ \tau_{\beta'} \circ {\tau'_\beta}^{-1} \circ {\Phi'_\beta}^{-1} \circ (\iota'_\beta, id) \circ (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}))}\)、ここで、\(\tau'_\beta: \pi^{-1} (U_\beta) \to \tau_\beta (\pi^{-1} (U_\beta)) \subseteq \pi'^{-1} (U'_\beta)\)は\(\tau_\beta\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）である。
\(= \lambda \circ (\phi_{\beta'}, id) \circ ({\iota'_{\beta'}}^{-1}, id) \circ \Phi'_{\beta'} \circ {\Phi'_\beta}^{-1} \circ (\iota'_\beta, id) \circ (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}))}\)、それは、\(: \mathbb{R}^k \times (\phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'})) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k} \to \phi_\beta (U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^k \text{ または } \mathbb{H}^d \times \mathbb{R}^k \to (U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k \subseteq U_\beta \times \mathbb{R}^k \to (U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k \subseteq M' \times \mathbb{R}^k \to \pi'^{-1} (U_\beta \cap U_{\beta'}) \subseteq \pi'^{-1} (U'_\beta \cap U'_{\beta'}) \to (U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k \subseteq M' \times \mathbb{R}^k \to (U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k \subseteq U_{\beta'} \times \mathbb{R}^k \to \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'}) \times \mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^k \text{ または } \mathbb{H}^d \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k \times \phi_{\beta'} (U_\beta \cap U_{\beta'}) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)。
要点は、\({\iota'_{\beta'}}^{-1}\)は\(C^\infty\)であるということ、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題によって。実のところ、そのために、\(U_\beta\)は\(M'\)内にエンベッデッドである必要がある。
\({\Phi'_\beta}^{-1}\)および\(\Phi'_{\beta'}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それらは、確立された\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\((E', M', \pi')\)に対するトリビアライゼーションたちである。
\(\widetilde{\phi_{\beta'}} \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (U_{\beta'}))}\)の各構成要素は\(C^\infty\)である、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
したがって、\(\widetilde{\phi_{\beta'}} \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (U_{\beta'}))}\)は、\(C^\infty\)マップ（写像）たちの妥当なチェイン（連鎖）であり、\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(\widetilde{\phi_{\beta}} \circ {\widetilde{\phi_{\beta'}}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_{\beta'}} (\pi^{-1} (U_{\beta'}) \cap \pi^{-1} (U_\beta))}\)も\(C^\infty\)である、対称性によって。
\(E\)はハウスドルフであることを見よう: 任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題に対する"注"を参照。\(e, e' \in E\)を\(e \neq e'\)である任意のものとしよう。\(\pi (e) = \pi (e')\)である時、以下を満たすある\(\pi^{-1} (U_\beta)\)、つまり、\(e, e' \in \pi^{-1} (U_\beta)\)、がある。\(\pi^{-1} (U_\beta)\)は\(\mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)へホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、\(\widetilde{\phi_\beta} (e) \neq \widetilde{\phi_\beta} (e')\)、そして、以下を満たす、\(\widetilde{\phi_\beta} (e)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\widetilde{\phi_\beta} (e)} \subseteq \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)および\(\widetilde{\phi_\beta} (e')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\widetilde{\phi_\beta} (e')} \subseteq \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)、つまり、\(U_{\widetilde{\phi_\beta} (e)} \cap U_{\widetilde{\phi_\beta} (e')} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(\mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)はハウスドルフである、なぜなら、\(\mathbb{R}^{d + k}\)または\(\mathbb{H}^{d + k}\)はハウスドルフである。すると、\({\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} (U_{\widetilde{\phi_\beta} (e)})\)および\({\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} (U_{\widetilde{\phi_\beta} (e')})\)は、それぞれ、\(e\)および\(e'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）たちである、そして、\({\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} (U_{\widetilde{\phi_\beta} (e)}) \cap {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} (U_{\widetilde{\phi_\beta} (e')} = \emptyset\)。\(\pi (e) \neq \pi (e')\)である時、以下を満たす、\(\pi (e)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\pi (e)} \subseteq M\)および\(\pi (e')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\pi (e')} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\pi (e)} \cap U_{\pi (e')} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(M\)はハウスドルフである。\(U_{\pi (e)}\)および\(U_{\pi (e')}\)は、それぞれ\(U_\beta\)および\(U_{\beta'}\)内に包含されているようにできる、ここで、\(U_\beta = U_{\beta'}\)であるかもしれないしないかもしれない。\(\pi^{-1} (U_{\pi (e)}) \subseteq \pi^{-1} (U_\beta)\)はオープン（開）である、なぜなら、\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_{\pi (e)})) = \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_{\pi (e)}) \subseteq \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta)\)、それはオープン（開）である。同様に、\(\pi^{-1} (U_{\pi (e')}) \subseteq \pi^{-1} (U_\beta')\)はオープン（開）である。\(\pi^{-1} (U_{\pi (e)}) \cap \pi^{-1} (U_{\pi (e')}) = \emptyset\)。
したがって、\(\{(\pi^{-1} (U_\beta), \widetilde{\phi_\beta}) \vert \beta \in B\}\)は本当に、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題内に言及されているアトラス候補である。
\(\pi\)は\(C^\infty\)である: 各\(e \in E\)に対して、以下を満たすある\(\beta \in B\)、つまり、\(e \in \pi^{-1} (U_\beta)\)、がある; チャートたち\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq E, \widetilde{\phi_\beta})\)および\((U_\beta \subseteq M, \phi_\beta)\)を取る; \(\phi_\beta \circ \pi \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1}\)は、\(: (v, \phi_\beta (p) \mapsto \phi_\beta (p))\)である、それは明らかに\(C^\infty\)である。
\(\Phi_\beta\)はランク\(k\)のトリビアライゼーションであることを見よう。
\(\widetilde{\phi_\beta} = \lambda \circ (\phi_\beta, id) \circ \Phi_\beta\)であるので、\(\Phi_\beta = (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \circ \widetilde{\phi_\beta} = ({\phi_\beta}^{-1}, id) \circ {\lambda}^{-1} \circ \widetilde{\phi_\beta}\)、それはディフェオモーフィックである、なぜなら、\({\phi_\beta}^{-1}\)および\(\widetilde{\phi_\beta}\)はディフェオモーフィックである。
各\(m \in U_\beta\)に対して、\(\Phi_\beta \vert_{\pi^{-1} (m)}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、なぜなら、それは、\(\Phi'_\beta \vert_{\pi^{-1} (m)}\)に等しい。
したがって、\((E, M, \pi)\)は本当に\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である。
当該トポロジーおよび当該アトラスはユニークに定義されていることを見よう: 上記手順は、表面上は\(\{(U_\beta, \phi_\beta) \vert \beta \in B\}\)および\(\{\Phi'_\beta \vert \beta \in B\}\)の選択たちに依存している。
別の選択たちを\(\{(\overline{U_\gamma}, \overline{\phi_\gamma)} \vert \gamma \in \overline{B}\}\)および\(\{\overline{\Phi'_\gamma} \vert \gamma \in \overline{B}\}\)としよう。
すると、私たちは、\(\overline{\Phi_\gamma} = ({\iota'_\gamma}^{-1}, id) \circ \overline{\Phi'_\gamma} \circ \tau_\gamma\)および\(\widetilde{\overline{\phi_\gamma}}: \pi^{-1} (\overline{U_\gamma}) \to \mathbb{R}^{d + k} \text{ or } \mathbb{H}^{d + k} = \lambda \circ (\overline{\phi_\gamma}, id) \circ \overline{\Phi_\gamma}\)を持つ。
私たちは、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題を適用する。
\(\{\pi^{-1} (U_\beta) \vert \beta \in B)\}\)は、前者トポロジー-アトラスペアに対するチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）であり、\(\{\pi^{-1} (\overline{U_\gamma}) \vert \gamma \in \overline{B})\}\)は、後者トポロジー-アトラスペアに対するチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）である。\(\{\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (\overline{U_\gamma}) \vert (\beta, \gamma) \in B \times \overline{B})\}\)はカウンタブル（可算）共通チャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、\(\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (\overline{U_\gamma}) = \pi^{-1} (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) = {\Phi_\beta}^{-1} ((U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k)\)、それは\(\pi^{-1} (U_\beta)\)上でオープン（開）である、そして、同様に、それは\(\pi^{-1} (\overline{U_\gamma})\)上でオープン（開）である。
\(\widetilde{\overline{\phi_\gamma}} \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (\overline{U_\gamma}))} = \lambda \circ (\overline{\phi_\gamma}, id) \circ \overline{\Phi_\gamma} \circ {\Phi_\beta}^{-1} \circ (\phi_\beta, id)^{-1} \circ {\lambda}^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta \cap \overline{U_\gamma})}\)、なぜなら、\(\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (\overline{U_\gamma})) = \widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta \cap \overline{U_\gamma})) = \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta \cap \overline{U_\gamma})\)。
\(= \lambda \circ (\overline{\phi_\gamma}, id) \circ ({\iota'_\gamma}^{-1}, id) \circ \overline{\Phi'_\gamma} \circ \tau_\gamma \circ (({\iota'_\beta}^{-1}, id) \circ \Phi'_\beta \circ \tau_\beta)^{-1} \circ ({\phi_\beta}^{-1}, id) \circ {\lambda}^{-1} = \lambda \circ (\overline{\phi_\gamma}, id) \circ ({\iota'_\gamma}^{-1}, id) \circ \overline{\Phi'_\gamma} \circ \tau_\gamma \circ {\tau_\beta}^{-1} \circ {\Phi'_\beta}^{-1} \circ ({\iota'_\beta}^{-1}, id)^{-1} \circ ({\phi_\beta}^{-1}, id) \circ {\lambda}^{-1} = \lambda \circ (\overline{\phi_\gamma}, id) \circ ({\iota'_\gamma}^{-1}, id) \circ \overline{\Phi'_\gamma} \circ {\Phi'_\beta}^{-1} \circ ({\iota'_\beta}^{-1}, id)^{-1} \circ ({\phi_\beta}^{-1}, id) \circ {\lambda}^{-1}\)。
それは、\(: \mathbb{R}^k \times \phi_\beta (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k} \to \phi_\beta (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^k \text{ または } \mathbb{H}^d \times \mathbb{R}^k \to (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k \subseteq U_\beta \times \mathbb{R}^k \to (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k \subseteq M' \times \mathbb{R}^k \to \pi^{-1} (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \subseteq \pi^{-1} (U'_\beta \cap \overline{U'_\gamma}) \to (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k \subseteq M' \times \mathbb{R}^k \to (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k \subseteq \overline{U_\gamma} \times \mathbb{R}^k \to \overline{\phi_\gamma} (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \times \mathbb{R}^k \subseteq \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^k \text{ または } \mathbb{H}^d \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k \times \overline{\phi_\gamma} (U_\beta \cap \overline{U_\gamma}) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}\)、それは、\(C^\infty\)マップ（写像）たちの妥当なチェイン（連鎖）である。
したがって、\(\widetilde{\overline{\phi_\gamma}} \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (\overline{U_\gamma}))}\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
また、\(\widetilde{\phi_\beta} \circ {\widetilde{\overline{\phi_\gamma}}}^{-1} \vert_{\widetilde{\overline{\phi_\gamma}} (\pi^{-1} (\overline{U_\gamma}) \cap \pi^{-1} (U_\beta))}\)も\(C^\infty\)である、対称性によって。
したがって、\(\widetilde{\overline{\phi_\gamma}} \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_\beta} (\pi^{-1} (U_\beta) \cap \pi^{-1} (\overline{U_\gamma}))}\)はディフェオモーフィックである。
したがって、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題によって、当該2つのトポロジー-アトラスペアたちは同一である、それが意味するのは、当該トポロジーおよび当該アトラスは、当該指定によってユニークに決定されるということ。
\(E\)は\(E'\)のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、であることを見よう。
\(\tau: E \to E'\)は当該インクルージョン（封入）としよう。
\(U'_\beta\)は単にトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であると選択されたが、\(U'_\beta\)はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）にでき、それを今はする。
各\(e \in E\)に対して、以下を満たすチャートたち\((\pi^{-1} (U_\beta) \subseteq E, \widetilde{\phi_\beta})\)および\((\pi'^{-1} (U'_\beta) \subseteq E', \widetilde{\phi'_\beta})\)、つまり、\(e \in \pi^{-1} (U_\beta)\)、を選択しよう、それは不可避に、\(\tau (e) \in \pi'^{-1} (U'_\beta)\)および\(\tau (\pi^{-1} (U_\beta)) \subseteq \pi'^{-1} (U'_\beta)\)を含意する。
\(\widetilde{\phi'_\beta} \circ \tau \circ {\widetilde{\phi_\beta}}^{-1}\)は、\(: (v, \phi_\beta (p)) \mapsto (v, \phi'_\beta (p)) = (id, \phi'_\beta \circ {\phi_\beta}^{-1})\)、それが含意するのは、\(\tau\)はインジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョンであるということ、なぜなら、\(\phi'_\beta \circ {\phi_\beta}^{-1}\)は、\(\iota: M \to M'\)をインジェクティブ（単射）\(C^\infty\)イマージョンにする諸特性たちを満たしている。
