850: トポロジカルスペース（空間）、ポイント、ポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントの近傍上におけるネイバーフッド（近傍）はポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）である

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トポロジカルスペース（空間）、ポイント、ポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントの近傍上におけるネイバーフッド（近傍）はポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のポイント、当該ポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントの当該近傍上における任意のネイバーフッド（近傍）は当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$p$: $\in T$
$N_p^{\prime }$: $\in \{p\text{ の }T\text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}$
$N_p$: $\in \{p\text{ の }{N}_p^{\prime }\text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$N_p$: $\in \{p\text{ の }T\text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}$
//

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2: 注

本命題は、当該ポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）上における任意のオープンネイバーフッド（開近傍）は当該ポイントのベーススペース（空間）上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）というほど明白でない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p$の$T$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq T$、つまり、$U_p^{\prime }\subseteq N_p^{\prime }$、を取る; ステップ2: $p$の$N_p^{\prime }$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq N_p^{\prime }$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、および$p$の$T$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\subseteq T$、つまり、$U_p=U_p^{″}\cap N_p^{\prime }$、を取る; ステップ3: $U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\subseteq T$は$p$の$T$上における以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、$U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\subseteq N_p$、であることを見る。

ステップ1:

$N_p^{\prime }$は$p$の$T$上におけるネイバーフッド（近傍）であるから、$p$の$T$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq T$、つまり、$p\in U_p^{\prime }\subseteq N_p^{\prime }$、がある。

ステップ2:

$N_p$は$p$の$N_p^{\prime }$上におけるネイバーフッド（近傍）であるから、$p$の$N_p^{\prime }$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq N_p^{\prime }$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、がある。

サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、$p$の$T$上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{″}\subseteq T$、つまり、$U_p=U_p^{″}\cap N_p^{\prime }$、がある。

ステップ3:

$U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\subseteq T$は$p$の$T$上における以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、$U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\subseteq N_p$、であることを見よう。

$p\in U_p^{\prime }\cap U_p^{″}$。

$U_p^{\prime }\cap U_p^{″}$は$T$のオープンサブセット（開部分集合）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。

したがって、$U_p^{\prime }\cap U_p^{″}$は$p$の$T$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\subseteq N_p^{\prime }\cap U_p^{″}=U_p\subseteq N_p$。

したがって、$N_p$は、$p$の$T$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であるための要件を満たす。

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参考資料

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