トポロジカルスペース（空間）、ポイント、ポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントの近傍上におけるネイバーフッド（近傍）はポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のポイント、当該ポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントの当該近傍上における任意のネイバーフッド（近傍）は当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(p\): \(\in T\)
\(N'_p\): \(\in \{p \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち } \}\)
\(N_p\): \(\in \{p \text{ の } N'_p \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(N_p\): \(\in \{p \text{ の } T \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、当該ポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）上における任意のオープンネイバーフッド（開近傍）は当該ポイントのベーススペース（空間）上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）というほど明白でない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p\)の\(T\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq T\)、つまり、\(U'_p \subseteq N'_p\)、を取る; ステップ2: \(p\)の\(N'_p\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq N'_p\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、および\(p\)の\(T\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_p \subseteq T\)、つまり、\(U_p = U''_p \cap N'_p\)、を取る; ステップ3: \(U'_p \cap U''_p \subseteq T\)は\(p\)の\(T\)上における以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(U'_p \cap U''_p \subseteq N_p\)、であることを見る。
ステップ1:
\(N'_p\)は\(p\)の\(T\)上におけるネイバーフッド（近傍）であるから、\(p\)の\(T\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq T\)、つまり、\(p \in U'_p \subseteq N'_p\)、がある。
ステップ2:
\(N_p\)は\(p\)の\(N'_p\)上におけるネイバーフッド（近傍）であるから、\(p\)の\(N'_p\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq N'_p\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、がある。
サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(p\)の\(T\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U''_p \subseteq T\)、つまり、\(U_p = U''_p \cap N'_p\)、がある。
ステップ3:
\(U'_p \cap U''_p \subseteq T\)は\(p\)の\(T\)上における以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(U'_p \cap U''_p \subseteq N_p\)、であることを見よう。
\(p \in U'_p \cap U''_p\)。
\(U'_p \cap U''_p\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
したがって、\(U'_p \cap U''_p\)は\(p\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U'_p \cap U''_p \subseteq N'_p \cap U''_p = U_p \subseteq N_p\)。
したがって、\(N_p\)は、\(p\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であるための要件を満たす。
