851: カバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一である

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カバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）オープンセット（開集合）たちペアの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のポイント、当該ポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントの当該近傍上における任意のネイバーフッド（近傍）は当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコネクテッドスペース（空間）の任意のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコネクテッドであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッドでローカルにパスコネクテッドなトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッドでローカルにパスコネクテッドなトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\pi$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのカバリングマップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }{N}_p\subseteq T_2\in \{p\text{ の }\pi \text{ によってイーブンにカバーされた全てのネイバーフッド（近傍）たち }\},\mathrm{\forall }{N}_{p^{\prime }}\subseteq T_2\in \{p^{\prime }\text{ の }\pi \text{ によってイーブンにカバーされた全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}(|\{{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(N_{p^{\prime }}{)}_{{\beta }^{\prime }}|{\beta }^{\prime }\in B^{\prime }\}|)$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $p^{″}$の各コネクテッドネイバーフッド（近傍）$N_{p^{″}}\subseteq N_p$に対して、$|\{{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$であることを見る; ステップ2: イーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_p$たちのことを考えるよう決定する; ステップ3: $U_p\cap U_{p^{\prime }}\ne \mathrm{\varnothing }$である時、$|\{{\pi }^{-1}(U_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_{p^{\prime }}{)}_{{\beta }^{\prime }}|{\beta }^{\prime }\in B^{\prime }\}|$であることを見る; ステップ4: 各$U_p$および$U_{p^{\prime }}$は、イーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）たちを介してファイナイト（有限）数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッドであることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。

ステップ1:

$p^{″}$の各コネクテッドネイバーフッド（近傍）$N_{p^{″}}\subseteq N_p$に対して、$|\{{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$であることを見よう。

注意として、私たちが"コネクテッドネイバーフッド（近傍）"という時、$N_{p^{″}}$が$N_p$のサブスペース（部分空間）とみなされるか$T_2$のサブスペース（部分空間）とみなされるかはどうでもいい、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、そして、$N_{p^{″}}$が$N_p$上のネイバーフッド（近傍）とみなされるか$T_2$上のネイバーフッド（近傍）とみなされるかはどうでもいい、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題および任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のポイント、当該ポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントの当該近傍上における任意のネイバーフッド（近傍）は当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。

$N_{p^{″}}$はイーブンにカバーされていることを見よう。

${\pi }^{-1}(N_{p^{″}})\subseteq {\pi }^{-1}(N_p)={\cup }_{\beta \in B}{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }$。

${\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }:={\pi }^{-1}(N_{p^{″}})\cap {\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }$としよう。

$g_{p,\beta }:=\pi {|}_{{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }}:{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }\to N_p$を当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）としよう。

${\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }={g_{p,\beta }}^{-1}(N_{p^{″}})$、それは、${\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }$のサブスペース（部分空間）としてコネクテッドである、任意のコネクテッドスペース（空間）の任意のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコネクテッドであるという命題によって。

${\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }$はコネクテッドである、$T_1$のサブスペース（部分空間）として、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）であるとみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。

全ての${\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }$たちはディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、それらはディスジョイント（互いに素）な${\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }$たち内に包含されている。

したがって、$\{{\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }|\beta \in B\}$は、${\pi }^{-1}(N_{p^{″}})$のコネクテッドコンポーネントたちに他ならない。

各$\pi {|}_{{\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }}:{\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }\to N_{p^{″}}$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、それはホメオモーフィック（位相同形写像）な$g_{p,\beta }$のリストリクション（制限）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

したがって、$|\{{\pi }^{-1}(N_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(N_{p^{″}}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$。

ステップ2:

私たちは必ずしもオープン（開）でない$N_p$たちについて話しているのであるが、各$N_p$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、$U_p\subseteq N_p$、があり、ステップ1によって、私たちは、$N_p$に対するカーディナリティは$U_p$に対するカーディナリティに等しいことを知っている。

したがって、もしも、全ての$U_p$たちに対するカーディナリティたちが同一であれば、全ての$N_p$たちに対するカーディナリティたちは同一だということになる。

したがって、$U_p$たちに集中しよう。

ステップ3:

$U_p\cap U_{p^{\prime }}\ne \mathrm{\varnothing }$であると仮定しよう。

$|\{{\pi }^{-1}(U_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_{p^{\prime }}{)}_{{\beta }^{\prime }}|{\beta }^{\prime }\in B^{\prime }\}|$であることを見よう。

$U_p\cap U_{p^{\prime }}$は、任意の$p^{″}\in U_p\cap U_{p^{\prime }}$のイーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）である。

ステップ1によって、$|\{{\pi }^{-1}(U_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_p\cap U_{p^{\prime }}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$および$|\{{\pi }^{-1}(U_{p^{\prime }}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_p\cap U_{p^{\prime }}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$。

したがって、$|\{{\pi }^{-1}(U_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_{p^{\prime }}{)}_{{\beta }^{\prime }}|{\beta }^{\prime }\in B^{\prime }\}|$: $B^{\prime }$は$B$であるように取れる。

ステップ4:

各$U_p$および$U_{p^{\prime }}$は、イーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）たちを介してファイナイト（有限）数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッドであることを見よう: ファイナイト（有限）数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）オープンセット（開集合）たちペアの定義を参照。

$T_2$は、イーブンにカバーされたオープンネイバーフッド（開近傍）たち$\{U_p|p\in T_2\}$によってカバーされている。

任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の任意のオープンカバーの任意の要素たちペアは、当該オープンカバーのいくつかの要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であるという命題によって、$U_p$はあるファイナイト（有限）シーケンス$(U_p,U_{p_1},...,U_{p_k},U_{p^{\prime }})$によって$U_{p^{\prime }}$へコネクテッドである。

ステップ5:

$U_p\cap U_{p_1}\ne \mathrm{\varnothing }$であるから、ステップ3によって、$|\{{\pi }^{-1}(U_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_{p_1}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$。

同様に、$|\{{\pi }^{-1}(U_{p_1}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_{p_2}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$。

...

同様に、$|\{{\pi }^{-1}(U_{p_k}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=|\{{\pi }^{-1}(U_{p^{\prime }}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$。

したがって、$|\{{\pi }^{-1}(U_p{)}_{\beta }|\beta \in B\}|=...=|\{{\pi }^{-1}(U_{p^{\prime }}{)}_{\beta }|\beta \in B\}|$。

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参考資料

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