927: 2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、インターセクション（共通集合）はベクトルたちスペース（空間）である

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2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、インターセクション（共通集合）はベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、当該インターセクション（共通集合）は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、オペレーションたち${+}_1,{.}_1$を持つもの
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、オペレーションたち${+}_2,{.}_2$を持つもの
//

ステートメント（言明）たち:
(
$V_1\cap V_2\ne \mathrm{\varnothing }$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }{r}_1,r_2\in F,\mathrm{\forall }{v}_1,v_2\in V_1\cap V_2(r_1{.}_1{v}_1{+}_1{r}_2{.}_1{v}_2=r_1{.}_2{v}_1{+}_2{r}_2{.}_2{v}_2)$
)
$⟹$
$V_1\cap V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、オペレーションたち$+,.$、それは、${+}_1,{.}_1$のリストリクション（制限）および${+}_2,{.}_2$のリストリクション（制限）の両方に等しい、を持つもの。
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_1$で、オペレーションたち${+}_1,{.}_1$を持つもの、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_2$で、オペレーションたち${+}_2,{.}_2$を持つもの、に対して、もしも、$V_1\cap V_2\ne \mathrm{\varnothing }$で、各$r_1,r_2\in F$および各$v_1,v_2\in V_1\cap V_2$に対して、$r_1{.}_1{v}_1{+}_1{r}_2{.}_1{v}_2=r_1{.}_2{v}_1{+}_2{r}_2{.}_2{v}_2$である場合、$V_1\cap V_2$はベクトルたちスペース（空間）で、オペレーションたち$+,.$、それは、${+}_1,{.}_1$のリストリクション（制限）および${+}_2,{.}_2$のリストリクション（制限）の両方に等しい、を持つもの、である。

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3: 注

条件$r_1{.}_1{v}_1{+}_1{r}_2{.}_1{v}_2=r_1{.}_2{v}_1{+}_2{r}_2{.}_2{v}_2$が本命題にとって肝要である。

反例として、ディスジョイント（互いに素）な何らかの$V_1$および$V_2$を考え、$V_2$の何らかの2ポイントたちを$V_1$の何らかの2ポイントたちで置き換え、${+}_2,{.}_2$を、当該置換を受け入れて当該ベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）を保持するように変えよう（新たなポイントたちは古いポイントたちと同様に扱われる）。すると、$V_1\cap V_2$は当該2ポイントたちのみからなるが、それはベクトルたちスペース（空間）ではない。

別の反例として、2つの${\mathbb{R}}^2$ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちであるライン（線）でインターセクトする（交わる）が原点たちを共有しないものたちを考えよう。すると、$V_1\cap V_2$、それはライン（線）である、は、ベクトルたちスペース（空間）ではない、${+}_1,{.}_1$のリストリクション（制限）を持っても、${+}_2,{.}_2$のリストリクション（制限）を持っても: 例えば、$0{.}_{1}v=0_1$も$0{.}_{2}v=0_2$も$V_1\cap V_2$内に包含されていない。確かに、あるオペレーションたちペアを発明して、$V_1\cap V_2$をベクトルたちスペース（空間）にすることはできるが、本命題が関心を持っているのは、オペレーションたちを${+}_1,{.}_1$または${+}_2,{.}_2$のリストリクション（制限）として持つことである。

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4: 証明

実のところ、$r_1{.}_1{v}_1{+}_1{r}_2{.}_1{v}_2=r_1{.}_2{v}_1{+}_2{r}_2{.}_2{v}_2$は、既に、$r_1{.}_1{v}_1{+}_1{r}_2{.}_1{v}_2,r_1{.}_2{v}_1{+}_2{r}_2{.}_2{v}_2\in V_1\cap V_2$であることを仮定している、なぜなら、そうでなければ、$r_1{.}_1{v}_1{+}_1{r}_2{.}_1{v}_2$と$r_1{.}_2{v}_1{+}_2{r}_2{.}_2{v}_2$は、比較することもできない。

${+}_1,{.}_1$と${+}_2,{.}_2$は$V_1\cap V_2$上で同じであるから、$V_1\cap V_2$上における当該同一オペレーションたちを$+,.$と記そう。

$V_1\cap V_2$で、オペレーションたち$+,.$を持つものは、$F$ベクトルたちスペース（空間）であるための諸条件たちを満たしていることを証明しよう。

1) 任意の要素たち$v_1,v_2\in V_1\cap V_2$に対して、$v_1+v_2\in V_1\cap V_2$、なぜなら、それは、"証明"の第1パラグラフ内で示されたことである。

2) 任意の要素たち$v_1,v_2\in V_1\cap V_2$に対して、$v_1+v_2=v_2+v_1$、なぜなら、$v_1+v_2=v_1{+}_1{v}_2=v_2{+}_1{v}_1=v_2+v_1$。

3) 任意の要素たち$v_1,v_2,v_3\in V_1\cap V_2$に対して、$(v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3)$、なぜなら、$(v_1+v_2)+v_3=(v_1{+}_1{v}_2){+}_1{v}_3=v_1{+}_1(v_2{+}_1{v}_3)=v_1+(v_2+v_3)$。

4) ある0要素$0\in V_1\cap V_2$で以下を満たすもの、つまり、任意の$v\in V_1\cap V_2$に対して、$v+0=v$、がある、なぜなら、ある$v^{\prime }\in V_1\cap V_2$があるところ、$0{.}_1{v}^{\prime }=0_1\in V_1\cap V_2$である、"証明"の第1パラグラフ内で示されたとおり、そして、$v+0_1=v{+}_1{0}_1=v$、そして、私たちはこれ以降、$0_1$を$0$と記そう。

5) 任意の要素$v\in V_1\cap V_2$に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素$v^{\prime }\in V_1\cap V_2$、つまり、$v^{\prime }+v=0$、がある、なぜなら、$v^{\prime }:=-1{.}_{1}v\in V_1\cap V_2$、"証明"の第1パラグラフによって、そして、$v^{\prime }+v=v^{\prime }{+}_{1}v=0_1=0$。

6) 任意の要素$v\in V_1\cap V_2$、任意のスカラー$r\in F$に対して、$r.v\in V_1\cap V_2$、なぜなら、それは、"証明"の第1パラグラフ内で示されたことである。

7) 任意の要素$v\in V_1\cap V_2$、任意のスカラーたち$r_1,r_2\in F$に対して、$(r_1+r_2).v=r_1.v+r_2.v$、なぜなら、$(r_1+r_2).v=(r_1+r_2){.}_{1}v=r_1{.}_{1}v{+}_1{r}_2{.}_{1}v=r_1.v+r_2.v$。

8) 任意の要素たち$v_1,v_2\in V_1\cap V_2$、任意のスカラー$r\in F$に対して、$r.(v_1+v_2)=r.v_1+r.v_2$、なぜなら、$r.(v_1+v_2)=r{.}_1(v_1{+}_1{v}_2)=r{.}_1{v}_1{+}_{1}r{.}_1{v}_2=r.v_1+r.v_2$。

9) 任意の要素$v\in V_1\cap V_2$任意のスカラーたち$r_1,r_2\in F$に対して、$(r_1{r}_2).v=r_1.(r_2.v)$、なぜなら、$(r_1{r}_2).v=(r_1{r}_2){.}_{1}v=r_1{.}_1(r_2{.}_{1}v)=r_1.(r_2.v)$。

10) 任意の要素$v\in V_1\cap V_2$に対して、$1.v=v$、なぜなら、$1.v=1{.}_{1}v=v$。

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参考資料

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