2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、インターセクション（共通集合）はベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、当該インターセクション（共通集合）は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、オペレーションたち\(+_1, ._1\)を持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、オペレーションたち\(+_2, ._2\)を持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(V_1 \cap V_2 \neq \emptyset\)
\(\land\)
\(\forall r_1, r_2 \in F, \forall v_1, v_2 \in V_1 \cap V_2 (r_1 \text{ } ._{1} \text{ } v_1 \text{ } +_{1} \text{ } r_2 \text{ } ._{1} \text{ } v_2 = r_1 \text{ }._{2} \text{ } v_1 \text{ }+_{2} \text{ } r_2 \text{ }._{2} \text{ } v_2)\)
)
\(\implies\)
\(V_1 \cap V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、オペレーションたち\(+, .\)、それは、\(+_1, ._1\)のリストリクション（制限）および\(+_2, ._2\)のリストリクション（制限）の両方に等しい、を持つもの。
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)で、オペレーションたち\(+_1, ._1\)を持つもの、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)で、オペレーションたち\(+_2, ._2\)を持つもの、に対して、もしも、\(V_1 \cap V_2 \neq \emptyset\)で、各\(r_1, r_2 \in F\)および各\(v_1, v_2 \in V_1 \cap V_2\)に対して、\(r_1 \text{ } ._{1} \text{ } v_1 \text{ } +_{1} \text{ } r_2 \text{ } ._{1} \text{ } v_2 = r_1 \text{ }._{2} \text{ } v_1 \text{ }+_{2} \text{ } r_2 \text{ }._{2} \text{ } v_2\)である場合、\(V_1 \cap V_2\)はベクトルたちスペース（空間）で、オペレーションたち\(+, .\)、それは、\(+_1, ._1\)のリストリクション（制限）および\(+_2, ._2\)のリストリクション（制限）の両方に等しい、を持つもの、である。
3: 注
条件\(r_1 \text{ } ._{1} \text{ } v_1 \text{ } +_{1} \text{ } r_2 \text{ } ._{1} \text{ } v_2 = r_1 \text{ }._{2} \text{ } v_1 \text{ }+_{2} \text{ } r_2 \text{ }._{2} \text{ } v_2\)が本命題にとって肝要である。
反例として、ディスジョイント（互いに素）な何らかの\(V_1\)および\(V_2\)を考え、\(V_2\)の何らかの2ポイントたちを\(V_1\)の何らかの2ポイントたちで置き換え、\(+_2, ._2\)を、当該置換を受け入れて当該ベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）を保持するように変えよう（新たなポイントたちは古いポイントたちと同様に扱われる）。すると、\(V_1 \cap V_2\)は当該2ポイントたちのみからなるが、それはベクトルたちスペース（空間）ではない。
別の反例として、2つの\(\mathbb{R}^2\)ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちであるライン（線）でインターセクトする（交わる）が原点たちを共有しないものたちを考えよう。すると、\(V_1 \cap V_2\)、それはライン（線）である、は、ベクトルたちスペース（空間）ではない、\(+_1, ._1\)のリストリクション（制限）を持っても、\(+_2, ._2\)のリストリクション（制限）を持っても: 例えば、\(0 \text{ }._1\text{ } v = 0_1\)も\(0 \text{ }._2\text{ } v = 0_2\)も\(V_1 \cap V_2\)内に包含されていない。確かに、あるオペレーションたちペアを発明して、\(V_1 \cap V_2\)をベクトルたちスペース（空間）にすることはできるが、本命題が関心を持っているのは、オペレーションたちを\(+_1, ._1\)または\(+_2, ._2\)のリストリクション（制限）として持つことである。
4: 証明
実のところ、\(r_1 \text{ }._{1}\text{ } v_1 \text{ }+_{1}\text{ } r_2 \text{ }._{1}\text{ } v_2 = r_1 \text{ }._{2}\text{ } v_1 \text{ }+_{2}\text{ } r_2 \text{ }._{2}\text{ } v_2\)は、既に、\(r_1 \text{ }._{1}\text{ } v_1 \text{ }+_{1}\text{ } r_2 \text{ }._{1}\text{ } v_2, r_1 \text{ }._{2}\text{ } v_1 \text{ }+_{2}\text{ } r_2 \text{ }._{2}\text{ } v_2 \in V_1 \cap V_2\)であることを仮定している、なぜなら、そうでなければ、\(r_1 \text{ }._{1}\text{ } v_1 \text{ }+_{1}\text{ } r_2 \text{ }._{1}\text{ } v_2\)と\(r_1 \text{ }._{2}\text{ } v_1 \text{ }+_{2}\text{ } r_2 \text{ }._{2}\text{ } v_2\)は、比較することもできない。
\(+_1, ._1\)と\(+_2, ._2\)は\(V_1 \cap V_2\)上で同じであるから、\(V_1 \cap V_2\)上における当該同一オペレーションたちを\(+, .\)と記そう。
\(V_1 \cap V_2\)で、オペレーションたち\(+, .\)を持つものは、\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であるための諸条件たちを満たしていることを証明しよう。
1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V_1 \cap V_2\)に対して、\(v_1 + v_2 \in V_1 \cap V_2\)、なぜなら、それは、"証明"の第1パラグラフ内で示されたことである。
2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V_1 \cap V_2\)に対して、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)、なぜなら、\(v_1 + v_2 = v_1 +_1 v_2 = v_2 +_1 v_1 = v_2 + v_1\)。
3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in V_1 \cap V_2\)に対して、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)、なぜなら、\((v_1 + v_2) + v_3 = (v_1 +_1 v_2) +_1 v_3 = v_1 +_1 (v_2 +_1 v_3) = v_1 + (v_2 + v_3)\)。
4) ある0要素\(0 \in V_1 \cap V_2\)で以下を満たすもの、つまり、任意の\(v \in V_1 \cap V_2\)に対して、\(v + 0 = v\)、がある、なぜなら、ある\(v' \in V_1 \cap V_2\)があるところ、\(0 \text{ }._1\text{ } v' = 0_1 \in V_1 \cap V_2\)である、"証明"の第1パラグラフ内で示されたとおり、そして、\(v + 0_1 = v \text{ }+_1\text{ } 0_1 = v\)、そして、私たちはこれ以降、\(0_1\)を\(0\)と記そう。
5) 任意の要素\(v \in V_1 \cap V_2\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in V_1 \cap V_2\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある、なぜなら、\(v' := -1 \text{ }._1\text{ } v \in V_1 \cap V_2\)、"証明"の第1パラグラフによって、そして、\(v' + v = v' \text{ }+_1\text{ } v = 0_1 = 0\)。
6) 任意の要素\(v \in V_1 \cap V_2\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . v \in V_1 \cap V_2\)、なぜなら、それは、"証明"の第1パラグラフ内で示されたことである。
7) 任意の要素\(v \in V_1 \cap V_2\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\)、なぜなら、\((r_1 + r_2) . v = (r_1 + r_2) \text{ }._1\text{ } v = r_1 \text{ }._1\text{ } v +_1 r_2 \text{ }._1\text{ } v = r_1 . v + r_2 . v\)。
8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V_1 \cap V_2\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\)、なぜなら、\(r . (v_1 + v_2) = r \text{ }._1\text{ } (v_1 +_1 v_2) = r \text{ }._1\text{ } v_1 +_1 r \text{ }._1\text{ } v_2 = r . v_1 + r . v_2\)。
9) 任意の要素\(v \in V_1 \cap V_2\)任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\)、なぜなら、\((r_1 r_2) . v = (r_1 r_2) \text{ }._1\text{ } v = r_1 \text{ }._1\text{ } (r_2 \text{ }._1\text{ } v) = r_1 . (r_2 . v)\)。
10) 任意の要素\(v \in V_1 \cap V_2\)に対して、\(1 . v = v\)、なぜなら、\(1 . v = 1 \text{ }._1\text{ } v = v\)。
