アファインシンプレックス（単体）、シンプレックスインテリア（内部）、バーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上のポイントからバーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）とバーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれていることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのシンプレックスインテリア（内部）、その任意のバーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上の任意のポイントから当該バーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）と当該バーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V \text{ 上の全ての、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\([p_0, ..., p_n]\): \(= \text{ 当該アファインシンプレックス（単体） }\)
\([p_0, ..., p_n]^\circ\): \(= [p_0, ..., p_n] \text{ のシンプレックスインテリア（内部） }\)
\(p\): \(\in [p_0, ..., p_n]^\circ\)
\(\overline{p p_k}\): \(= p \text{ から } p_k \text{ へのラインセグメント（線分） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{p p_k} \subseteq [p_0, ..., p_n]^\circ \cup \{p_k\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上の任意の、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\}\)、アファインシンプレックス（単体）\([p_0, ..., p_n]\)、\([p_0, ..., p_n]\)のシンプレックスインテリア（内部）\([p_0, ..., p_n]^\circ\)、任意のポイント\(p \in [p_0, ..., p_n]^\circ\)に対して、\(p\)から\(p_k\)へのラインセグメント（線分）\(\overline{p p_k}\)は\([p_0, ..., p_n]^\circ \cup \{p_k\}\)内に包含されている、つまり、\(\overline{p p_k} \subseteq [p_0, ..., p_n]^\circ \cup \{p_k\}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{p p_k}\)を\(p_k\)および\(p\)を用いてセット（集合）として表現する; ステップ2: \(p\)を\(p_k\)および\(p_j - p_k\)たちのリニアコンビネーション（線形結合）として表現する; ステップ3: ステップ2の表現をステップ1表現内の\(p\)の中へ入れ、\(\overline{p p_k}\)の各要素が\([p_0, ..., p_n]^\circ\)上にあるか\(p_k\)であるかであることを見る。
ステップ1:
\(\overline{p p_k} = \{p_k + t (p - p_k) \vert 0 \le t \le 1\}\)。
ステップ2:
\(p = \sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t^j (p_j - p_k) + p_k\)、ここで、\(0 \lt t^j\)および\(\sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t^j \lt 1\)。
ステップ3:
したがって、\(\overline{p p_k} = \{p_k + t (\sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t^j (p_j - p_k) + p_k - p_k) \vert 0 \le t \le 1\} = \{p_k + \sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t t^j (p_j - p_k) \vert 0 \le t \le 1\}\)。
\(0 \lt t\)である時、\(0 \lt t t^j\)および\(\sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t t^j \lt 1\)、それが意味するのは、\(p_k + \sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t t^j (p_j - p_k) \in [p_0, ..., p_n]^\circ\)。\(0 = t\)である時、\(p_k + \sum_{j \in \{0, 1, ..., n\} \setminus \{k\}} t t^j (p_j - p_k) = p_k\)。
したがって、\(\overline{p p_k} \subseteq [p_0, ..., p_n]^\circ \cup \{p_k\}\)。
