925: アファインシンプレックス（単体）、シンプレックスインテリア（内部）、バーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上のポイントからバーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）とバーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれている

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アファインシンプレックス（単体）、シンプレックスインテリア（内部）、バーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上のポイントからバーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）とバーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれていることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、そのシンプレックスインテリア（内部）、その任意のバーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上の任意のポイントから当該バーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）と当該バーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上の全ての、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\text{ 当該アファインシンプレックス（単体） }$
$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }$: $=[p_0,...,p_n]\text{ のシンプレックスインテリア（内部） }$
$p$: $\in [p_0,...,p_n{]}^{\circ }$
$\overline{p{p}_k}$: $=p\text{ から }{p}_k\text{ へのラインセグメント（線分） }$
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ステートメント（言明）たち:
$\overline{p{p}_k}\subseteq [p_0,...,p_n{]}^{\circ }\cup \{p_k\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$上の任意の、ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}$、アファインシンプレックス（単体）$[p_0,...,p_n]$、$[p_0,...,p_n]$のシンプレックスインテリア（内部）$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }$、任意のポイント$p\in [p_0,...,p_n{]}^{\circ }$に対して、$p$から$p_k$へのラインセグメント（線分）$\overline{p{p}_k}$は$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }\cup \{p_k\}$内に包含されている、つまり、$\overline{p{p}_k}\subseteq [p_0,...,p_n{]}^{\circ }\cup \{p_k\}$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $\overline{p{p}_k}$を$p_k$および$p$を用いてセット（集合）として表現する; ステップ2: $p$を$p_k$および$p_j-p_k$たちのリニアコンビネーション（線形結合）として表現する; ステップ3: ステップ2の表現をステップ1表現内の$p$の中へ入れ、$\overline{p{p}_k}$の各要素が$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }$上にあるか$p_k$であるかであることを見る。

ステップ1:

$\overline{p{p}_k}=\{p_k+t(p-p_k)|0\le t\le 1\}$。

ステップ2:

$p=\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}{t}^j(p_j-p_k)+p_k$、ここで、$0<t^j$および$\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}{t}^j<1$。

ステップ3:

したがって、$\overline{p{p}_k}=\{p_k+t(\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}{t}^j(p_j-p_k)+p_k-p_k)|0\le t\le 1\}=\{p_k+\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}t{t}^j(p_j-p_k)|0\le t\le 1\}$。

$0<t$である時、$0<t{t}^j$および$\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}t{t}^j<1$、それが意味するのは、$p_k+\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}t{t}^j(p_j-p_k)\in [p_0,...,p_n{]}^{\circ }$。$0=t$である時、$p_k+\sum _{j\in \{0,1,...,n\}\setminus \{k\}}t{t}^j(p_j-p_k)=p_k$。

したがって、$\overline{p{p}_k}\subseteq [p_0,...,p_n{]}^{\circ }\cup \{p_k\}$。

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参考資料

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