926: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である

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コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についての任意のエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\subseteq T_2^{\prime }$、でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
$f$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}$
$S$: $\subseteq T_2^{\prime }$、でサブスペース（部分空間）トポロジーを持ち、$T_2\subseteq S$を満たすもの
$f^{\prime }$: $:T_1\to S,p\mapsto f(p)$
//

ステートメント（言明）たち:
$f^{\prime }\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2^{\prime }$、任意のサブスペース（部分空間）$T_2\subseteq T_2^{\prime }$、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）$f:T_1\to T_2$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T_2^{\prime }$で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持ち、$T_2\subseteq S$を満たすもの、に対して、$f^{\prime }:T_1\to S,p\mapsto f(p)$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）インジェクション（単射）であることを見る; ステップ2: $f^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）$f^{″}:T_1\to f^{\prime }(T_1)$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る。

ステップ1:

$f^{\prime }$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、$f$がそうである。

$f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

ステップ2:

$f^{\prime }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）を$f^{″}:T_1\to f^{\prime }(T_1)$と記そう。

$f^{″}$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

$f^{″}$はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）$f^{″-1}:f^{\prime }(T_1)\to T_1$がある。$f^{″-1}$はコンティニュアス（連続）であるか？

セット（集合）的に、$f^{\prime }(T_1)=f(T_1)$。$f^{\prime }(T_1)$の、$S$のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、$T_2^{\prime }$のサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。$f^{\prime }(T_1)$の、$T_2^{\prime }$のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、$T_2$のサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。それが意味するのは、$f^{″-1}:f^{\prime }(T_1)\to T_1$は、元の$f$に対するインバース（逆）に他ならないということ、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f$はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

したがって、はい、$f^{″-1}$はコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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