コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についての任意のエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T'_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\subseteq T'_2\)、でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T'_2\)、でサブスペース（部分空間）トポロジーを持ち、\(T_2 \subseteq S\)を満たすもの
\(f'\): \(: T_1 \to S, p \mapsto f (p)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T'_2\)、任意のサブスペース（部分空間）\(T_2 \subseteq T'_2\)、任意のコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）\(f: T_1 \to T_2\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T'_2\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持ち、\(T_2 \subseteq S\)を満たすもの、に対して、\(f': T_1 \to S, p \mapsto f (p)\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'\)はコンティニュアス（連続）インジェクション（単射）であることを見る; ステップ2: \(f'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f'' : T_1 \to f' (T_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る。
ステップ1:
\(f'\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(f\)がそうである。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）を\(f'' : T_1 \to f' (T_1)\)と記そう。
\(f''\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f''\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f''^{-1}: f' (T_1) \to T_1\)がある。\(f''^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であるか？
セット（集合）的に、\(f' (T_1) = f (T_1)\)。\(f' (T_1)\)の、\(S\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、\(T'_2\)のサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。\(f' (T_1)\)の、\(T'_2\)のサブスペース（部分空間）とみなしたものは、\(T_2\)のサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。それが意味するのは、\(f''^{-1}: f' (T_1) \to T_1\)は、元の\(f\)に対するインバース（逆）に他ならないということ、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
したがって、はい、\(f''^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
