シンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのシンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、当該インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素シンプリシャルコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(C_1\): \(\in \{V_1 \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(C_2\): \(\in \{V_2 \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V_1\)と\(V_2\)は\(V_1 \cap V_2\)上でオペレーションたちを共有する
\(\implies\)
(
\(V_1 \cap V_2 \in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つ
\(\land\)
\(C_1 \cap C_2 \in \{V_1 \cap V_2 \text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(\land\)
\(\vert C_1 \cap C_2 \vert \subseteq \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)
\(\land\)
Not necessarily \(\vert C_1 \cap C_2 \vert = \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)
必ずしも以下ではない、\(\vert C_1 \cap C_2 \vert = \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)
)
//
2: 自然言語記述
以下を満たす任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、つまり、\(V_1\)と\(V_2\)は\(V_1 \cap V_2\)上でオペレーションたちを共有する、\(V_1\)上の任意のシンプリシャルコンプレックス\(C_1\)および\(V_2\)上の任意のシンプリシャルコンプレックス\(C_2\)に対して、\(V_1 \cap V_2\)は共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であり、\(C_1 \cap C_2\)は\(V_1 \cap V_2\)上のシンプリシャルコンプレックスであり、\(\vert C_1 \cap C_2 \vert \subseteq \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)、しかし、必ずしも\(\vert C_1 \cap C_2 \vert = \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)ではない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: see that \(V_1 \cap V_2\)は共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）であることを見る; ステップ2: 各\(S \in C_1 \cap C_2\)は\(V_1 \cap V_2\)上のアファインシンプレックス（単体）であることを見る; ステップ3: \(S\)の各フェイスは\(C_1 \cap C_2\)内に包含されていることを見る; ステップ4: 各\(S_1, S_2 \in C_1 \cap C_2\)に対して、\(S_1 \cap S_2\)は\(S_1\)のフェイスであり、\(S_2\)のフェイスであることを見る; ステップ5: \(\vert C_1 \cap C_2 \vert \subseteq \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)であることを見る; ステップ6: \(\vert C_1 \cap C_2 \vert \neq \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)である例を見る。
ステップ1:
\(V_1 \cap V_2\)は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）である、任意の2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、当該インターセクション（共通集合）は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって。
ステップ2:
各\(S \in C_1 \cap C_2\)に対して、\(S \in C_1\)および\(S \in C_2\)。\(S \subseteq V_1\)および\(S \subseteq V_2\)、それが意味するのは、\(S \subseteq V_1 \cap V_2\)であること。\(S\)は\(V_1 \cap V_2\)内のアファインシンプレックス（単体）である、なぜなら、\(V_1 \cap V_2\)は\(V_1\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、そして、\(S\)のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）は\(V_1 \cap V_2\)上でアファインインディペンデント（独立）である。
ステップ3:
\(S\)の各フェイスは\(C_1\)内に包含されている、なぜなら、\(S\)は\(C_1\)の要素である、そして同様に、\(C_2\)内に包含されている。したがって、\(S\)の各フェイスは\(C_1 \cap C_2\)内に包含されている。
ステップ4:
各\(S_1, S_2 \in C_1 \cap C_2\)に対して、\(S_1 \in C_1\)および\(S_2 \in C_1\)。したがって、\(S_1 \cap S_2\)は\(S_1\)のフェイスである。同様に、\(S_1 \cap S_2\)は\(S_2\)のフェイスである。
したがって、\(C_1 \cap C_2\)は\(V_1 \cap V_2\)上のシンプリシャルコンプレックスである。
ステップ5:
\(\vert C_1 \cap C_2 \vert \subseteq \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)であることを証明しよう。
各ポイント\(p \in \vert C_1 \cap C_2 \vert\)に対して、以下を満たすある\(S \in C_1 \cap C_2\)、つまり、\(p \in S\)、がある; \(S \in C_1\)であるので、\(p \in \vert C_1 \vert\)、そして同様に、\(p \in \vert C_2 \vert\); したがって、\(p \in \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)。
ステップ6:
\(\vert C_1 \cap C_2 \vert = \vert C_1 \vert \cap \vert C_2 \vert\)でない1つの例として、\(V_1 = V_2 = \mathbb{R}^2\)で\(C_1\)は1つの2-シンプレックス（単体）からなり\(C_2\)は以下を満たす1つの2-シンプレックス（単体）、つまり、前者シンプレックス（単体）のあるバーテックス（頂点）およびあるエッジ（辺）のある1部のみを共有している、からなるものとしよう。すると、\(C_1 \cap C_2\)は共有されたバーテックス（頂点）としての0-シンプレックス（単体）からなり、\(\vert C_1 \cap C_2 \vert\)は当該バーテックス（頂点）だけからなる、その一方で、\(\vert C_1 \vert \cap \vert C_2\vert \)は、当該エッジ（辺）の共有された部分からなる。問題は、後者2-シンプレックス（単体）は\(C_1\)の要素ではないので、当該2つの2-シンプレックス（単体）たちのインターセクション（共通集合）は前者2-シンプレックス（単体）のフェイスである必要はなく、したがって、\(C_1\)内に包含されている必要はない、ということである。
4: 注
ユニオン（共通集合）\(C_1 \cup C_2\)は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではない、別の記事内で示されているとおり。
