928: シンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはない

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シンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、任意の2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、当該インターセクション（共通集合）は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのシンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、当該インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素シンプリシャルコンプレックスたちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$C_1$: $\in \{V_1\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$C_2$: $\in \{V_2\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$V_1$と$V_2$は$V_1\cap V_2$上でオペレーションたちを共有する
$⟹$
(
$V_1\cap V_2\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つ
$\wedge$
$C_1\cap C_2\in \{V_1\cap V_2\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$\wedge$
$|C_1\cap C_2|\subseteq |C_1|\cap |C_2|$
$\wedge$
Not necessarily $|C_1\cap C_2|=|C_1|\cap |C_2|$
必ずしも以下ではない、$|C_1\cap C_2|=|C_1|\cap |C_2|$
)
//

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2: 自然言語記述

以下を満たす任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、つまり、$V_1$と$V_2$は$V_1\cap V_2$上でオペレーションたちを共有する、$V_1$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C_1$および$V_2$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C_2$に対して、$V_1\cap V_2$は共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であり、$C_1\cap C_2$は$V_1\cap V_2$上のシンプリシャルコンプレックスであり、$|C_1\cap C_2|\subseteq |C_1|\cap |C_2|$、しかし、必ずしも$|C_1\cap C_2|=|C_1|\cap |C_2|$ではない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: see that $V_1\cap V_2$は共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）であることを見る; ステップ2: 各$S\in C_1\cap C_2$は$V_1\cap V_2$上のアファインシンプレックス（単体）であることを見る; ステップ3: $S$の各フェイスは$C_1\cap C_2$内に包含されていることを見る; ステップ4: 各$S_1,S_2\in C_1\cap C_2$に対して、$S_1\cap S_2$は$S_1$のフェイスであり、$S_2$のフェイスであることを見る; ステップ5: $|C_1\cap C_2|\subseteq |C_1|\cap |C_2|$であることを見る; ステップ6: $|C_1\cap C_2|\ne |C_1|\cap |C_2|$である例を見る。

ステップ1:

$V_1\cap V_2$は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）である、任意の2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、当該インターセクション（共通集合）は、共有されたオペレーションたちのリストリクション（制限）を持つベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって。

ステップ2:

各$S\in C_1\cap C_2$に対して、$S\in C_1$および$S\in C_2$。$S\subseteq V_1$および$S\subseteq V_2$、それが意味するのは、$S\subseteq V_1\cap V_2$であること。$S$は$V_1\cap V_2$内のアファインシンプレックス（単体）である、なぜなら、$V_1\cap V_2$は$V_1$のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、そして、$S$のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）は$V_1\cap V_2$上でアファインインディペンデント（独立）である。

ステップ3:

$S$の各フェイスは$C_1$内に包含されている、なぜなら、$S$は$C_1$の要素である、そして同様に、$C_2$内に包含されている。したがって、$S$の各フェイスは$C_1\cap C_2$内に包含されている。

ステップ4:

各$S_1,S_2\in C_1\cap C_2$に対して、$S_1\in C_1$および$S_2\in C_1$。したがって、$S_1\cap S_2$は$S_1$のフェイスである。同様に、$S_1\cap S_2$は$S_2$のフェイスである。

したがって、$C_1\cap C_2$は$V_1\cap V_2$上のシンプリシャルコンプレックスである。

ステップ5:

$|C_1\cap C_2|\subseteq |C_1|\cap |C_2|$であることを証明しよう。

各ポイント$p\in |C_1\cap C_2|$に対して、以下を満たすある$S\in C_1\cap C_2$、つまり、$p\in S$、がある; $S\in C_1$であるので、$p\in |C_1|$、そして同様に、$p\in |C_2|$; したがって、$p\in |C_1|\cap |C_2|$。

ステップ6:

$|C_1\cap C_2|=|C_1|\cap |C_2|$でない1つの例として、$V_1=V_2={\mathbb{R}}^2$で$C_1$は1つの2-シンプレックス（単体）からなり$C_2$は以下を満たす1つの2-シンプレックス（単体）、つまり、前者シンプレックス（単体）のあるバーテックス（頂点）およびあるエッジ（辺）のある1部のみを共有している、からなるものとしよう。すると、$C_1\cap C_2$は共有されたバーテックス（頂点）としての0-シンプレックス（単体）からなり、$|C_1\cap C_2|$は当該バーテックス（頂点）だけからなる、その一方で、$|C_1|\cap |C_2|$は、当該エッジ（辺）の共有された部分からなる。問題は、後者2-シンプレックス（単体）は$C_1$の要素ではないので、当該2つの2-シンプレックス（単体）たちのインターセクション（共通集合）は前者2-シンプレックス（単体）のフェイスである必要はなく、したがって、$C_1$内に包含されている必要はない、ということである。

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4: 注

ユニオン（共通集合）$C_1\cup C_2$は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではない、別の記事内で示されているとおり。

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参考資料

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