\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)イマージョンの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）のグローバルディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のダブルの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)イマージョンに対するランク定理を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\)
\(d f\): \(: T M_1 \to T M_2\), \(= \text{ 当該グローバルディファレンシャル }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d f \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ イマージョンたち }\}\).
//
2: 証明
全体戦略: 2パートたちで行なう: 第1パート: \(M_2\)は空バウンダリー（境界）を持つ; 第2パート: \(M_2\)は非空バウンダリー（境界）を持つ; ステップ1: \(M_2\)は空バウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ2: 各\(m \in M_1\)の周りに、以下を満たすあるチャート\((U_m \subseteq M_1, \phi_m)\)およびあるチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)、つまり、\(\widehat{f} := \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}\)は\(: (x^1, ..., x^{d_1}) \mapsto (x^1, ..., x^{d_1}, 0, ..., 0)\)である、を取る; ステップ3: \(\pi_1: T M_1 \to M_1\)および\(\pi_2: T M_2 \to M_2\)プロジェクション（射影）たちであるとする; インデュースト（誘導された）チャートたち\(({\pi_1}^{-1} (U_m) \subseteq T M_1, \widetilde{\phi_m})\)および\(({\pi_2}^{-1} (U_{f (m)}) \subseteq T M_2, \widetilde{\phi_{f (m)}})\)を取り、\(\widehat{d f} := \widetilde{\phi_{f (m)}} \circ d f \circ {\widetilde{\phi_m}}^{-1}\)は\(: (v^1, ..., v^k, x^1, ..., x^{d_1}) \mapsto (v^1, ..., v^k, 0, ..., 0, x^1, ..., x^{d_1}, 0, ..., 0)\)であることを見る; ステップ4: \(d f\)は\(C^\infty\)イマージョンであることを見る; ステップ5: \(M_2\)は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう; ステップ6: \(M_2\)のダブル\(D (M_2)\)を取り、\(\widetilde{M_2} \subseteq D (M_2)\)を、\(M_2\)へディフェオモーフィックな（ディフェオモーフィズム\(g: M_2 \to \widetilde{M_2}\)を持つ）レギュラードメインであるとする、\(\widetilde{\iota}: \widetilde{M_2} \to D (M_2)\)をインクルージョン（封入）とする、\(h := \widetilde{\iota} \circ g \circ f\)を取り、第1パートの結論を適用して、\(d h\)は\(C^\infty\)イマージョンであることを見、\(d f\)は\(C^\infty\)イマージョンであることを見る。
ステップ1:
\(M_2\)空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。
ステップ2:
各\(m \in M_1\)の周りに、以下を満たすあるチャート\((U_m \subseteq M_1, \phi_m)\)およびあるチャート\((U_{f (m)} \subseteq M_2, \phi_{f (m)})\)、つまり、\(f (U_m) \subseteq U_{f (m)}\)および\(\widehat{f} := \phi_{f (m)} \circ f \circ {\phi_m}^{-1}: \phi_m (U_m) \to \phi_{f (m)} (U_{f (m)})\)（\(f\)のコーディネートたちファンクション（関数））は\(: (x^1, ..., x^{d_1}) \mapsto (x^1, ..., x^{d_1}, 0, ..., 0)\)である、を取ろう、それは可能である、\(C^\infty\)イマージョンに対するランク定理によって（それは、\(M_2\)がバウンダリー（境界）なしであることを要求する、それが、ステップ1の仮定を行なった理由である）。
ステップ3:
\(\pi_1: T M_1 \to M_1\)および\(\pi_2: T M_2 \to M_2\)をプロジェクション（射影）たちであるとしよう。
インデュースト（誘導された）チャートたち\(({\pi_1}^{-1} (U_m) \subseteq T M_1, \widetilde{\phi_m})\)および\(({\pi_2}^{-1} (U_{f (m)}) \subseteq T M_2, \widetilde{\phi_{f (m)}})\)を取ろう。
次はよく知られた事実である、つまり、\(\widehat{d f} := \widetilde{\phi_{f (m)}} \circ d f \circ {\widetilde{\phi_m}}^{-1}: \widetilde{\phi_m} ({\pi_1}^{-1} (U_m)) \to \widetilde{\phi_{f (m)}} ({\pi_2}^{-1} (U_{f (m)}))\)は\(: (v^1, ..., v^{d_1}, x^1, ..., x^{d_1}) \mapsto (v^1, ..., v^{d_1}, 0, ..., 0, x^1, ..., x^{d_1}, 0, ..., 0)\): コンポーネントたち\((v^1, ..., v^{d_1})\)は\((\partial_j \widehat{f}^1 v^j, ..., \partial_j \widehat{f}^{d_2} v^j)\)へマップされる、しかし、各\(1 \le j \le d_1\)に対して\(\widehat{f}^j = x^j\)で、各\(d_1 + 1 \le j \le d_2\)に対して\(\widehat{f}^j = 0\)。
したがって、\(d f\)は\(C^\infty\)である。
ステップ4:
\(\pi'_1: T T M_1 \to T M_1\)および\(\pi'_2: T T M_2 \to T M_2\)をプロジェクション（射影）たちとしよう。
インデュースト（誘導された）チャートたち\(({\pi'_1}^{-1} ({\pi_1}^{-1} (U_m)) \subseteq T T M_1, \widetilde{\widetilde{\phi_m}})\)および\(({\pi'_2}^{-1} ({\pi_2}^{-1} (U_{f (m)})) \subseteq T T M_2, \widetilde{\widetilde{\phi_{f (m)}}})\)としよう。
次はよく知られた事実である、つまり、\(\widehat{d d f} := \widetilde{\widetilde{\phi_{f (m)}}} \circ d d f \circ {\widetilde{\widetilde{\phi_m}}}^{-1}: \widetilde{\widetilde{\phi_m}} ({\pi'_1}^{-1} ({\pi_1}^{-1} (U_m))) \to \widetilde{\widetilde{\phi_{f (m)}}} ({\pi'_2}^{-1} ({\pi_2}^{-1} (U_{f (m)})))\)は\(: (w^1, ..., w^{2 d_1}, v^1, ..., v^{d_1}, x^1, ..., x^{d_1}) \mapsto (w^1, ..., w^{d_1}, 0, ..., 0, w^{d_1 + 1}, ..., w^{2 d_1}, 0, ..., 0, v^1, ..., v^{d_1}, 0, ..., 0, x^1, ..., x^{d_1}, 0, ..., 0)\)である: コンポーネントたち\((w^1, ..., w^{2 d_1})\)は\((\partial_j \widehat{d f}^1 w^j, ..., \partial_j \widehat{d f}^{2 d_2} w^j)\)へマップされる、ここで、\(1 \le j \le d_1\)に対する\(\partial_j\)たちは\(v^j\)たちにより、\(d_1 + 1 \le j \le 2 d_1\)に対する\(\partial_j\)たちは\(x^{j - d_1}\)たちによる、しかし、各\(1 \le j \le d_1\)に対して\(\widehat{d f}^j = v^j\)、各\(d_1 + 1 \le j \le d_2\)に対して\(\widehat{d f}^j = 0\)、各\(d_2 + 1 \le j \le d_2 + d_1\)に対して\(\widehat{d f}^j = x^{j - d_2}\)、各\(d_2 + d_1 + 1 \le j \le 2 d_2\)に対して\(\widehat{d f}^j = 0\)。
それは明らかにインジェクティブ（単射）である。
したがって、\(d f\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
ステップ5:
\(M_2\)は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。
ステップ6:
\(M_2\)のダブル\(D (M_2)\)を取ろう。
\(D (M_2)\)は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）なし、で、レギュラードメイン\(\widetilde{M_2}\)、それは\(M_2\)へディフェオモーフィックである、を持つ。
あるディフェオモーフィズムを\(g: M_2 \to \widetilde{M_2}\)としよう。
\(\widetilde{\iota}: \widetilde{M_2} \to D (M_2)\)をインクルージョン（封入）としよう、それは、\(C^\infty\)イマージョン（実のところ、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み））である、なぜなら、\(\widetilde{M_2}\)は\(D (M_2)\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）（実のところ、レギュラードメイン）である。
\(h: M_1 \to D (M_2) = \widetilde{\iota} \circ g \circ f: M_1 \to M_2 \to \widetilde{M_2} \to D (M_2)\)のことを考えよう。
\(h\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(h\)は\(C^\infty\)イマージョンである、なぜなら、\(d h = d \widetilde{\iota} \circ d g \circ d f\)で、\(d f\)、\(d g\)、\(d \widetilde{\iota}\)はインジェクティブ（単射）である。
第1パートの結論によって、\(d h = d \widetilde{\iota} \circ d g \circ d f\)は\(C^\infty\)イマージョンである、それが意味するのは、\(d d h = d d \widetilde{\iota} \circ d d g \circ d d f\)は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）であるということ。
すると、\(d d f\)は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）である、なぜなら、そうでなければ、\(d d f\)の下で同一ベクトルにマップされた2つのベクトルたちは、\(d d h\)の下で異なるベクトルたちへマップされることはないだろう。
したがって、\(d f\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
