923: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間C∞イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルはC∞イマージョンである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のグローバルディファレンシャルの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のダブルの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンに対するランク定理を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_1\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_2\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$f$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ イマージョンたち }\}$
$df$: $:T{M}_1\to T{M}_2$, $=\text{ 当該グローバルディファレンシャル }$
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ステートメント（言明）たち:
$df\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ イマージョンたち }\}$.
//

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2: 証明

全体戦略: 2パートたちで行なう: 第1パート: $M_2$は空バウンダリー（境界）を持つ; 第2パート: $M_2$は非空バウンダリー（境界）を持つ; ステップ1: $M_2$は空バウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ2: 各$m\in M_1$の周りに、以下を満たすあるチャート$(U_m\subseteq M_1,{\varphi }_m)$およびあるチャート$(U_{f(m)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(m)})$、つまり、$\hat{f}:={\varphi }_{f(m)}\circ f\circ {{\varphi }_m}^{-1}$は$:(x^1,...,x^{d_1})\mapsto (x^1,...,x^{d_1},0,...,0)$である、を取る; ステップ3: ${\pi }_1:T{M}_1\to M_1$および${\pi }_2:T{M}_2\to M_2$プロジェクション（射影）たちであるとする; インデュースト（誘導された）チャートたち$({{\pi }_1}^{-1}(U_m)\subseteq T{M}_1,\widetilde{{\varphi }_m})$および$({{\pi }_2}^{-1}(U_{f(m)})\subseteq T{M}_2,\widetilde{{\varphi }_{f(m)}})$を取り、$\widehat{df}:=\widetilde{{\varphi }_{f(m)}}\circ df\circ {\widetilde{{\varphi }_m}}^{-1}$は$:(v^1,...,v^k,x^1,...,x^{d_1})\mapsto (v^1,...,v^k,0,...,0,x^1,...,x^{d_1},0,...,0)$であることを見る; ステップ4: $df$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見る; ステップ5: $M_2$は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう; ステップ6: $M_2$のダブル$D(M_2)$を取り、$\widetilde{M_2}\subseteq D(M_2)$を、$M_2$へディフェオモーフィックな（ディフェオモーフィズム$g:M_2\to \widetilde{M_2}$を持つ）レギュラードメインであるとする、$\tilde{\iota }:\widetilde{M_2}\to D(M_2)$をインクルージョン（封入）とする、$h:=\tilde{\iota }\circ g\circ f$を取り、第1パートの結論を適用して、$dh$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見、$df$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを見る。

ステップ1:

$M_2$空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。

ステップ2:

各$m\in M_1$の周りに、以下を満たすあるチャート$(U_m\subseteq M_1,{\varphi }_m)$およびあるチャート$(U_{f(m)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(m)})$、つまり、$f(U_m)\subseteq U_{f(m)}$および$\hat{f}:={\varphi }_{f(m)}\circ f\circ {{\varphi }_m}^{-1}:{\varphi }_m(U_m)\to {\varphi }_{f(m)}(U_{f(m)})$（$f$のコーディネートたちファンクション（関数））は$:(x^1,...,x^{d_1})\mapsto (x^1,...,x^{d_1},0,...,0)$である、を取ろう、それは可能である、$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンに対するランク定理によって（それは、$M_2$がバウンダリー（境界）なしであることを要求する、それが、ステップ1の仮定を行なった理由である）。

ステップ3:

${\pi }_1:T{M}_1\to M_1$および${\pi }_2:T{M}_2\to M_2$をプロジェクション（射影）たちであるとしよう。

インデュースト（誘導された）チャートたち$({{\pi }_1}^{-1}(U_m)\subseteq T{M}_1,\widetilde{{\varphi }_m})$および$({{\pi }_2}^{-1}(U_{f(m)})\subseteq T{M}_2,\widetilde{{\varphi }_{f(m)}})$を取ろう。

次はよく知られた事実である、つまり、$\widehat{df}:=\widetilde{{\varphi }_{f(m)}}\circ df\circ {\widetilde{{\varphi }_m}}^{-1}:\widetilde{{\varphi }_m}({{\pi }_1}^{-1}(U_m))\to \widetilde{{\varphi }_{f(m)}}({{\pi }_2}^{-1}(U_{f(m)}))$は$:(v^1,...,v^{d_1},x^1,...,x^{d_1})\mapsto (v^1,...,v^{d_1},0,...,0,x^1,...,x^{d_1},0,...,0)$: コンポーネントたち$(v^1,...,v^{d_1})$は$({\partial }_j{\hat{f}}^1{v}^j,...,{\partial }_j{\hat{f}}^{d_2}{v}^j)$へマップされる、しかし、各$1\le j\le d_1$に対して${\hat{f}}^j=x^j$で、各$d_1+1\le j\le d_2$に対して${\hat{f}}^j=0$。

したがって、$df$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ4:

${\pi }_1^{\prime }:TT{M}_1\to T{M}_1$および${\pi }_2^{\prime }:TT{M}_2\to T{M}_2$をプロジェクション（射影）たちとしよう。

インデュースト（誘導された）チャートたち$({{\pi }_1^{\prime }}^{-1}({{\pi }_1}^{-1}(U_m))\subseteq TT{M}_1,\widetilde{\stackrel{~}{{\varphi }_m}})$および$({{\pi }_2^{\prime }}^{-1}({{\pi }_2}^{-1}(U_{f(m)}))\subseteq TT{M}_2,\widetilde{\stackrel{~}{{\varphi }_{f(m)}}})$としよう。

次はよく知られた事実である、つまり、$\widehat{ddf}:=\widetilde{\stackrel{~}{{\varphi }_{f(m)}}}\circ ddf\circ {\widetilde{\stackrel{~}{{\varphi }_m}}}^{-1}:\widetilde{\stackrel{~}{{\varphi }_m}}({{\pi }_1^{\prime }}^{-1}({{\pi }_1}^{-1}(U_m)))\to \widetilde{\stackrel{~}{{\varphi }_{f(m)}}}({{\pi }_2^{\prime }}^{-1}({{\pi }_2}^{-1}(U_{f(m)})))$は$:(w^1,...,w^{2d_1},v^1,...,v^{d_1},x^1,...,x^{d_1})\mapsto (w^1,...,w^{d_1},0,...,0,w^{d_1+1},...,w^{2d_1},0,...,0,v^1,...,v^{d_1},0,...,0,x^1,...,x^{d_1},0,...,0)$である: コンポーネントたち$(w^1,...,w^{2d_1})$は$({\partial }_j{\widehat{df}}^1{w}^j,...,{\partial }_j{\widehat{df}}^{2d_2}{w}^j)$へマップされる、ここで、$1\le j\le d_1$に対する${\partial }_j$たちは$v^j$たちにより、$d_1+1\le j\le 2d_1$に対する${\partial }_j$たちは$x^{j-d_1}$たちによる、しかし、各$1\le j\le d_1$に対して${\widehat{df}}^j=v^j$、各$d_1+1\le j\le d_2$に対して${\widehat{df}}^j=0$、各$d_2+1\le j\le d_2+d_1$に対して${\widehat{df}}^j=x^{j-d_2}$、各$d_2+d_1+1\le j\le 2d_2$に対して${\widehat{df}}^j=0$。

それは明らかにインジェクティブ（単射）である。

したがって、$df$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである。

ステップ5:

$M_2$は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。

ステップ6:

$M_2$のダブル$D(M_2)$を取ろう。

$D(M_2)$は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）なし、で、レギュラードメイン$\widetilde{M_2}$、それは$M_2$へディフェオモーフィックである、を持つ。

あるディフェオモーフィズムを$g:M_2\to \widetilde{M_2}$としよう。

$\tilde{\iota }:\widetilde{M_2}\to D(M_2)$をインクルージョン（封入）としよう、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョン（実のところ、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み））である、なぜなら、$\widetilde{M_2}$は$D(M_2)$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）（実のところ、レギュラードメイン）である。

$h:M_1\to D(M_2)=\tilde{\iota }\circ g\circ f:M_1\to M_2\to \widetilde{M_2}\to D(M_2)$のことを考えよう。

$h$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$h$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである、なぜなら、$dh=d\tilde{\iota }\circ dg\circ df$で、$df$、$dg$、$d\tilde{\iota }$はインジェクティブ（単射）である。

第1パートの結論によって、$dh=d\tilde{\iota }\circ dg\circ df$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである、それが意味するのは、$ddh=dd\tilde{\iota }\circ ddg\circ ddf$は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）であるということ。

すると、$ddf$は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）である、なぜなら、そうでなければ、$ddf$の下で同一ベクトルにマップされた2つのベクトルたちは、$ddh$の下で異なるベクトルたちへマップされることはないだろう。

したがって、$df$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンである。

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参考資料

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