トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{S_\beta \subseteq T \vert \beta \in B\}\): \(B \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta} \subseteq \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを記す。
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）\(\{S_\beta \subseteq T \vert \beta \in B\}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、\(\cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta} \subseteq \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを記す。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)に対して、以下を満たすある\(\beta \in B\)、つまり、\(p \in \overline{S_\beta}\)、を取り、2つのケースたちを挙げる、ケース1: \(p \in S_\beta\); ケース2: \(p \notin S_\beta\)および\(p\)は\(S_\beta\)のあるアキューミュレーションポイント（集積点）である; ステップ2: ケース1に対して、\(p \in \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)であることを見る; ステップ3: ケース2に対して、\(p \in \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)に対して、\(p \in \overline{S_\beta}\)、ある\(\beta \in B\)に対して。
\(p \in S_\beta\)または(\(p \notin S_\beta\)および\(p\)は\(S_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ2:
\(p \in S_\beta\)である時、\(p \in \cup_{\beta \in B} S_\beta\)、したがって、\(p \in \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)。
ステップ3:
\(p \notin S_\beta\)および\(p\)は\(S_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である時、\(p\)の各ネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p \cap S_\beta \neq \emptyset\)、したがって、\(N_p \cap (\cup_{\beta \in B} S_\beta) \neq \emptyset\)、したがって、\(p\)は\(\cup_{\beta \in B} S_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。したがって、\(p \in \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)。
ステップ4:
したがって、\(\cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta} \subseteq \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)である。
