2024年12月1日日曜日

879: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されている

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トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されていることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
T: ∈{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }
{Sβ⊆T|β∈B}: B∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを記す。
//

2: 自然言語記述


任意のトポロジカルスペース（空間）T、任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）{Sβ⊆T|β∈B}、ここで、Bはアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―、ここで、上線たちはクロージャー（閉包）たちを記す。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: 各p∈∪β∈BSβ―に対して、以下を満たすあるβ∈B、つまり、p∈Sβ―、を取り、2つのケースたちを挙げる、ケース1: p∈Sβ; ケース2: p∉SβおよびpはSβのあるアキューミュレーションポイント（集積点）である; ステップ2: ケース1に対して、p∈∪β∈BSβ―であることを見る; ステップ3: ケース2に対して、p∈∪β∈BSβ―であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

各p∈∪β∈BSβ―に対して、p∈Sβ―、あるβ∈Bに対して。

p∈Sβまたは(p∉SβおよびpはSβのアキューミュレーションポイント（集積点）である)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。

ステップ2:

p∈Sβである時、p∈∪β∈BSβ、したがって、p∈∪β∈BSβ―。

ステップ3:

p∉SβおよびpはSβのアキューミュレーションポイント（集積点）である時、pの各ネイバーフッド（近傍）Np⊆Tに対して、Np∩Sβ≠∅、したがって、Np∩(∪β∈BSβ)≠∅、したがって、pは∪β∈BSβのアキューミュレーションポイント（集積点）である。したがって、p∈∪β∈BSβ―。

ステップ4:

したがって、∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―である。

参考資料
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