2024年12月1日日曜日

880: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
T: ∈{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }
{Sβ⊆T|β∈B}: ∈{T のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）たち }、ここで、B∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∪β∈BSβ―=∪β∈BSβ―
//

2: 自然言語記述


任意のトポロジカルスペース（空間）T、サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）{Sβ⊆T|β∈B}、ここで、Bはアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、∪β∈BSβ―=∪β∈BSβ―。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: ∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―であることを見る; ステップ2: ∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―であることを見る。

ステップ1:

∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題によって。

ステップ2:

∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―であることを見る。

S:=∪β∈BSβを定義しよう。

各p∈S―に対して、p∈Sまたは(p∉SおよびpはSのあるアキューミュレーションポイント（集積点）である）、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。

もしも、p∈Sである場合、p∈Sβ⊆Sβ―、あるβ∈Bに対して、したがって、p∈∪β∈BSβ―。

もしも、p∉SおよびpはSのあるアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、pの任意のネイバーフッド（近傍）Np⊆Tに対して、Np∩S≠∅。実のところ、ある固定したβ∈B（それは、pに依存するかもしれない）に対して、pの任意のネイバーフッド（近傍）Np⊆Tに対して、Np∩Sβ≠∅、なぜなら、もしも、pの以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）Np,β、つまり、Np,β∩Sβ=∅、が各β∈Bに対してあったとしたら、Sβたち（ここで、β∈B）の内のファイナイト（有限）数のものたち、{Sj|j∈J}（ここで、J⊆Bは非空ファイナイト（有限）インデックスセット（集合））、のみと交わるあるNp′がある（もしも、それが空であったら、Np′∩S=∅、\(pがSのアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾）が、Np′∩∩j∈JNp,jはpのネイバーフッド（近傍）であり、β∈Bである任意のSβと交わらないということになり、それはSと交わらないということになる、pがSのアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾。

したがって、pはあるβ∈Bに対してSβのアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、p∈Sβ―。したがって、p∈∪β∈BSβ―。

したがって、S―=∪β∈BSβ―⊆∪β∈BSβ―。

したがって、∪β∈BSβ―=∪β∈BSβ―。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: