トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{S_\beta \subseteq T \vert \beta \in B\}\): \(\in \{T \text{ のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）たち }\}\)、ここで、\(B \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta} = \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）\(\{S_\beta \subseteq T \vert \beta \in B\}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、\(\overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta} = \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta} \subseteq \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)であることを見る; ステップ2: \(\overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta} \subseteq \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta} \subseteq \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）は当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されているという命題によって。
ステップ2:
\(\overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta} \subseteq \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)であることを見る。
\(S := \cup_{\beta \in B} S_\beta\)を定義しよう。
各\(p \in \overline{S}\)に対して、\(p \in S\)または(\(p \notin S\)および\(p\)は\(S\)のあるアキューミュレーションポイント（集積点）である）、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
もしも、\(p \in S\)である場合、\(p \in S_\beta \subseteq \overline{S_\beta}\)、ある\(\beta \in B\)に対して、したがって、\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)。
もしも、\(p \notin S\)および\(p\)は\(S\)のあるアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p \cap S \neq \emptyset\)。実のところ、ある固定した\(\beta \in B\)（それは、\(p\)に依存するかもしれない）に対して、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(N_p \cap S_\beta \neq \emptyset\)、なぜなら、もしも、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(N_{p, \beta}\)、つまり、\(N_{p, \beta} \cap S_\beta = \emptyset\)、が各\(\beta \in B\)に対してあったとしたら、\(S_\beta\)たち（ここで、\(\beta \in B\)）の内のファイナイト（有限）数のものたち、\(\{S_j \vert j \in J\}\)（ここで、\(J \subseteq B\)は非空ファイナイト（有限）インデックスセット（集合））、のみと交わるある\(N'_p\)がある（もしも、それが空であったら、\(N'_p \cap S = \emptyset、\(p\)が\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾）が、\(N'_p \cap \cap_{j \in J} N_{p, j}\)は\(p\)のネイバーフッド（近傍）であり、\(\beta \in B\)である任意の\(S_\beta\)と交わらないということになり、それは\(S\)と交わらないということになる、\(p\)が\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾。
したがって、\(p\)はある\(\beta \in B\)に対して\(S_\beta\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p \in \overline{S_\beta}\)。したがって、\(p \in \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)。
したがって、\(\overline{S} = \overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta} \subseteq \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)。
したがって、\(\overline{\cup_{\beta \in B} S_\beta} = \cup_{\beta \in B} \overline{S_\beta}\)。
