878: インテジャー（整数）たちリング（環）のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）である

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インテジャー（整数）たちリング（環）のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はコミュータティブ（可換）リング（環）であるという命題を認めている。
• 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）の任意のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\mathbb{Z}$: $=\text{ インテジャー（整数）たちリング（環） }$
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
$\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$: $=\mathbb{Z}\text{ の }p\mathbb{Z}\text{ によるクウォシェント（商）リング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

インテジャー（整数）たちリング（環）$\mathbb{Z}$、任意のプライムナンバー（素数）$p$に対して、クウォシェント（商）リング（環）$\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$はフィールド（体）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$はコミュータティブ（可換）リング（環）であることを証明する; ステップ2: $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$の各非ゼロ要素はあるインバース（逆）を持つことを証明する。

ステップ1:

$\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$はコミュータティブ（可換）リング（環）である、なぜなら、$\mathbb{Z}$はコミュータティブ（可換）リング（環）である、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はコミュータティブ（可換）リング（環）であるという命題によって。

ステップ2:

$\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$の各非ゼロ要素はあるインバース（逆）を持つことを証明しよう。

$[p^{\prime }]\in \mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$は、$[p^{\prime }]\ne 0$である任意のものであるとしよう。

私たちは、以下を満たすある$[p^{″}]\in \mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$、つまり、$[p^{\prime }][p^{″}]=[1]$、を探す（すると、$[p^{″}][p^{\prime }]=[1]$は、コミュータティビティ（可換性）から導かれる）。$[p^{\prime }][p^{″}]=[p^{\prime }{p}^{″}]$。それは、以下を満たす何らかの$p^{″},p^{‴}\in \mathbb{Z}$、つまり、$p^{\prime }{p}^{″}+p{p}^{‴}=1$、があるか否かという問題である。

$p$はプライムナンバー（素数）であるから、$gcd(p^{\prime },p)=1$。$\mathbb{Z}$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である、インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題によって、から、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって、本当にそうした$p^{″}$および$p^{‴}$がある: $1\in 1\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}+p^{\prime }\mathbb{Z}$。

したがって、$[p^{\prime }]$はあるインバース（逆）を持つ。

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参考資料

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