インテジャー（整数）たちリング（環）のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はコミュータティブ（可換）リング（環）であるという命題を認めている。
- 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）の任意のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{Z}\): \(= \text{ インテジャー（整数）たちリング（環） }\)
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\): \(= \mathbb{Z} \text{ の } p \mathbb{Z} \text{ によるクウォシェント（商）リング（環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z}) \in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
インテジャー（整数）たちリング（環）\(\mathbb{Z}\)、任意のプライムナンバー（素数）\(p\)に対して、クウォシェント（商）リング（環）\(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)はフィールド（体）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)はコミュータティブ（可換）リング（環）であることを証明する; ステップ2: \(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)の各非ゼロ要素はあるインバース（逆）を持つことを証明する。
ステップ1:
\(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)はコミュータティブ（可換）リング（環）である、なぜなら、\(\mathbb{Z}\)はコミュータティブ（可換）リング（環）である、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はコミュータティブ（可換）リング（環）であるという命題によって。
ステップ2:
\(\mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)の各非ゼロ要素はあるインバース（逆）を持つことを証明しよう。
\([p'] \in \mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)は、\([p'] \neq 0\)である任意のものであるとしよう。
私たちは、以下を満たすある\([p''] \in \mathbb{Z} / (p \mathbb{Z})\)、つまり、\([p'] [p''] = [1]\)、を探す（すると、\([p''] [p'] = [1]\)は、コミュータティビティ（可換性）から導かれる）。\([p'] [p''] = [p' p'']\)。それは、以下を満たす何らかの\(p'', p''' \in \mathbb{Z}\)、つまり、\(p' p'' + p p''' = 1\)、があるか否かという問題である。
\(p\)はプライムナンバー（素数）であるから、\(gcd (p', p) = 1\)。\(\mathbb{Z}\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である、インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題によって、から、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって、本当にそうした\(p''\)および\(p'''\)がある: \(1 \in 1 \mathbb{Z} = p \mathbb{Z} + p' \mathbb{Z}\)。
したがって、\([p']\)はあるインバース（逆）を持つ。
